山西省四校2012届高三数学第三次联考试题 理

用心 爱心 专心1 2 20 01 12 2 届届高高三三年年级级第第 三三次次四四校校联联考考 数数学学 理理 试试题题 满分 150 分 考试时间为 120 分钟 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 设复数的共轭复数为 若 为虚数单位 则的值为zz1zi i 2 z z z A B C D i 3 i 2 ii 2 曲线在点处的切线与直线垂直 则实数的值为lnyxx ee1xay a A 2B 2C D 1 2 1 2 3 设函数的最小正周期为 则 0 3 2 sin 3 2 sin xxxf A 在单调递减 B 在单调递增 xf 2 0 xf 4 0 C 在单调递增 D 在单调递减 xf 2 0 xf 4 0 4 已知等比数列 n a中 各项都是正数 且 231 2 2 1 aaa成等差数列 则 89 67 aa aa 等于 A 21 B 21 C 223 D 223 5 下列命题中是假命题的是 A 使是幂函数mR 2 43 1 mm f xmx B 函数有零点0a 2 lnlnf xxxa C 使 R cos coscos D 函数都不是偶函数 R sin f xx 6 已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的球面上 且AB BC 2 则棱锥 O ABCD的体积为 A B 3 C 2D 515151516 7 定义在上的函数满足 则的值为 R xf 0 21 0 8log2 xxfxf xx xf 3f A 1 B 2 C D 2 3 8 连续投掷两次骰子得到的点数分别为 向量与向量的夹角记nm am n 0 1 b 为 则的概率为 4 0 A B C D 18 5 12 5 2 1 12 7 用心 爱心 专心2 9 执行如图所示的程序框图 输入 N 的值为 2012 则输出 S 的值是 A 2011B 2012 C 2010D 2009 10 设 x y 满足约束条件 若目标函 0 0432 032 y yx yx 数 其中 的最大值为 3 则byaxz 0 0 ba 的最小值为 ba 21 A 3B 1 C 2 D 4 11 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点 F 且两曲 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 8yx 线的一个交点为 P 若 PF 5 则双曲线的渐近线方程为 A B C D 3 3 yx 3yx 2yx 2 2 yx 12 已知函数 是定义在上的增函数 函数的图象关于点 1 0 xfy R 1 xfy 对称 若对任意的 不等式恒成立 Ryx 08216 22 yyfxxf 则当 3 时 的取值范围是x 22 yx A 3 7 B 9 25 C 13 49 D 9 49 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把正确答案填在题中横线上 13 若 则二项式展开式中含的项的系数是 0 sinaxdx 6 1 a x x x 14 有七名同学站成一排照相 其中甲必须站在正中间 并且乙 丙两位同学要站在一 起 则不同的站法有 15 一个棱锥的三视图如图 尺寸的长度单位为m 则该棱锥的全面积是 单位 m2 用心 爱心 专心3 正视图 侧视图 俯视图 16 函数若关于的方程有五个不同的 1 1 1 1 1 2 x a x f x x x 2 2 23 30fxaf xa 实数解 则的取值范围是 a 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 70 分 解答应给出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题满分 12 分 在中 分别是角 A B C 的对边 且 ABC abc 2 coscos0acBbC 1 求角的值 B 2 已知函数 将的图像向左平移个单位长度后得 2cos 2 f xxB f x 12 到函数的图像 求的单调增区间 g x g x 18 本题满分 12 分 如图 四棱锥的底面是正方形 平面 点ESABCD SDABCD SDADa 是SD上的点 且 01DEa 1 求证 对任意的 都有AC BE 0 1 2 若二面角C AE D的大小为 求的值 60 19 本题满分 12 分 中华人民共和国 道路交通安全法 中将饮酒后违 法驾驶机动车的行为分成两个档次 酒后驾车 和 醉酒驾车 其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含 量Q 简称血酒含量 单位是毫克 100 毫升 当 20 Q 80 时 为酒后驾车 当Q 80 时 为醉酒驾车 某市公安局交通管理部门于 2011 年 2 月的某天晚上 8 点至 11 点在市区设点进行一次拦查行动 共依法查出 了 60 名饮酒后违法驾驶机动车者 如图为这 60 名驾驶 员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图 其中Q 140 的人数计入 120 Q 140 人 数之内 1 求此次拦查中醉酒驾车的人数 2 从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8人做样本进行研究 再从抽取的8人中任取3人 求3人中含有醉酒驾车人数X的分布列和期望 20 本题满分 12 分 D A B C S E 用心 爱心 专心4 已知椭圆的离心率为 以原点为圆心 椭圆的短半 22 22 1 xy C ab 0 ab 2 2 轴长为半径的圆与直线相切 20 xy 1 求椭圆的方程 C 2 若过点 2 0 的直线与椭圆相交于两点 设为椭圆上一点 且MC A BP 满足 为坐标原点 当 时 求实数OPtOBOA OPBPA 2 5 3 取值范围 t 21 本题满分 12 分 已知函数 1 2 ln2 f xaxax aR x 1 当时 求的极值 0a f x 2 求的单调区间 f x 3 若对任意的 恒有 12 3 2 1 3ax x 12 ln3 2ln3 maf xf x 成立 求实数的取值范围 m 请考生在 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多答 则按做的第一题记 分 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑 22 本题满分 10 分 选修 4 1 几何证明与选讲 如图 已知PA与圆 O 相切于点 A 经过点 O 的割线PBC 交圆 O 于点B C 的平分线分别交AB AC于点APC D E 1 证明 ADEAED 2 若AC AP 求的值 PC PA 23 本题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知点 参数 点 Q 在曲线 C 上 1 cos sin P 0 9 2sin 4 1 求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程 2 求点P与点Q之间距离的最小值 24 本题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 mxxxf 2 1 log 2 1 当时 求函数的定义域 7 m xf 用心 爱心 专心5 2 若关于的不等式的解集是 求的取值范围 x2 xfRm 第三次四校联考答案数学 理科 一 选择题 1 5 D A D C D 6 10 A D B A A 11 12 B C 二 填空题 13 240 14 192 15 16 624 2 2 3 2 3 1 三 解答题 17 本小题满分 12 分 解 1 由正弦定理得 2sinA sinC cosB sinBcosC 0 2 分 即 2sinAcosB sinCcosB cosCsinB 0 得 2sinAcosB sin B C 0 3 分 因为 A B C 所以 sin B C sinA 得 2sinAcosB sinA 0 因为 sinA 0 所以 cosB 5 分 1 2 又 B 为三角形的内角 所以 B 6 分 2 3 2 B f x 2cos 2x 7 分 2 3 2 3 g x 2cos 2 x 2cos 2x 2sin2x 9 分 12 2 3 2 由 2k 2x 2k k Z 得 k x k k Z 2 2 4 4 故 f x 的单调增区间为 k k k Z 12 分 4 4 18 本小题满分 12 分 证明 1 如图建立空间直角坐标系 则Dxyz 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A aB a aCaDEa 0 ACa aBEaaa 对任意都成立 0ACBE 0 1 z y x D A B C S E 用心 爱心 专心6 即 AC BE 恒成立 6 分 2 显然是平面的一个法向量 1 0 1 0n ADE 设平面的一个法向量为 ACE 2 nx y z 0 0 ACa aAEaa 2 2 000 00 0 nACaxayxy axazxz nAE 取 则 10 分1z xy 2 1nx y z 二面角 C AE D 的大小为 60 12 12 2 12 12 cos 0 1 22 12 nn n n n n 为所求 12 分 2 2 19 解 1 0 0032 0 0043 0 0050 20 0 25 0 25 60 15 所以此次拦查中醉酒驾车的人数为 15 人 4 分 2 易知利用分层抽样抽取 8 人中含有醉酒驾车者为 2 人 所以 x 的所有可能取值为 0 1 2 P x 0 3 8 3 6 C C 14 5 P X 1 3 8 1 2 2 6 C CC 28 15 P x 2 3 8 2 2 1 6 C CC 28 3 X 的分布列为 10 分 4 3 28 3 2 28 15 1 14 5 0 XE 12 分 20 1 解 由 题意知 所以 2 2 a c e 2 1 2 22 2 2 2 a ba a c e 22 2ba 又 1 11 2 b1 2 22 ba X012 P 14 5 28 15 28 3 用心 爱心 专心7 故所求椭圆的方程为 4 分C1 2 2 2 y x 2 由题意知直线的斜率存在 设其方程为 AB 2 yk x 由得 2 2 2 1 2 yk x x y 2222 12 8820kxk xk 422 644 21 82 0kkk 2 1 2 k 设 6 分 11 A x y 22 B xy P x y 2 12 2 8 12 k xx k 2 2 21 21 28 k k xx OPtOBOA 1212 xxyyt x y 2 12 2 8 12 xxk x ttk 12 12 2 14 4 12 yyk yk xxk tttk 点在椭圆上 8 分 P 222 222222 8 4 22 12 12 kk tktk 222 16 12 ktk PBPA 2 5 3 2 12 2 5 1 3 kxx 9 20 4 1 21 2 21 2 xxxxk 即 9 20 21 28 4 21 64 1 2 2 22 4 2 k k k k k 得 10 分0 1314 14 22 kk 4 1 2 k 2 1 4 1 2 k 又 22 2 2222 21 8 8 21 16 21 16 kk k tktk 或 3 62 2 t2 3 62 t 故实数 t 的取值范围是 12 分 2 3 62 3 62 2 21 解 1 当 1 分 x xxfa 1 ln2 0 0 1212 22 x x x xx xf 在上是减函数 在上是增函数 3 分 xf 2 1 0 2 1 用心 爱心 专心8 的极小值为2 2ln2 无极大值 4 分 xf 2 1 f 2 0 1 2 2 2 12 2 2 2 x x xaax a xx a xf 当时 在上是减函数 在上是增函数 0 a xf 2 1 0 2 1 当时 在上是减函数 在上是增函数 6 分0 a xf 2 1 0 2 1 当时 在与上是减函数 在上是增函数02 a xf 2 1 0 1 a 1 2 1 a 当时 在上是减函数 2 a xf 0 当时 在与上是减函数 在上是增函数 8 分 2 a xf 2 1 1 0 a 2 1 1 a 3 当时 在上是减函数23 a xf 3 1 10 分3ln 2 4 3 2 3 1 21 aaffxfxf 由恒成立 12 ln3 2ln3 maf xf x max 21 3ln2 3ln xfxfam 3ln 2 4 3 2 3ln2 3ln aaam 23 4 3 2 a ama 23 3 2 4 a a m 得 12 分 3 13 m 22 本小题满分 10 选修 4 1 几何证明与选讲 解 1 PA 是切线 AB 是弦 BAP C 2 分 又 APD CPE BAP APD C CPE ADE BAP APD AED C CPE 4 分 ADE AED 5 分 用心 爱心 专心9 2 由 1 知 BAP C 又 APC BPA APC BPA 7 分 PCCA PAAB AC AP APC C BAP 由三角形内角和定理可知 APC C CAP 180 BC 是圆 O 的直径 BAC 90 APC C BAP 180 90 90 C APC BAP 90 30 9 分 1 3 在 Rt ABC 中 10 分 CA AB 3 PCCA PAAB 3 23 本小题满分 10 选修 4 4 坐标系与参数方程 解 1 由得点 P 的轨迹方程 x 1 2 y2 1 y 0 2 分 1 cos sin x y 又由 得 9 9 2sin 4 9 sincos sincos 曲线 C 的直角坐标方