《任意角的三角函数》说课稿

1 任意角的三角函数 说课稿 尊敬的各位领导 各位老师 你们好 我说课的课题是 任意角的三角函数 内容取自人教版普通高中 课程标准实验教科书 数学 必修 第 1 2 1 节 一 说教材一 说教材 1 本节内容在全书及章节的地位 三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型 有非常广泛的应用 三角函数的定义是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的 角的概念的推 广 的基础上讨论和研究的 三角函数的定义是本章最基本的概念 对三角内 容的整体学习至关重要 是其他所有知识的出发点 紧紧扣住三角函数定义这 个宝贵的源泉 可以自然地导出本章的具体内容 三角函数线 定义域 符号 判断 值域 同角三角函数关系 多组诱导公式 多组变换公式 图象和性质 三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用 一方面 通过这部分内容的学 习 可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念 另一方面它又为平面向量 解析几何等内容的学习作必要的准备 三角函数知识还是物理学 高等数学 测量学 天文学的重要基础 三角函数定义必然是学好全章内容的关键 如果学生掌握不好 将直接影 响到后续内容的学习 由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教 材的重点就是定义本身 数学思想方法分析 作为一名数学老师 不仅要传授给学生数学知识 更重要 的是传授给学生数学思想 数学意识 因此本节课在教学中力图向学生展示尝 试类比 数形结合等数学思想方法 2 教学重点 难点 关键 根据课程标准 本节内容的重难点以及关键点如下 教学重点 任意角的三角函数的定义 三角函数的符号规律 教学难点 任意角的三角函数概念的建构过程 教学关键 如何想到建立直角坐标系 六个比值的确定性 确定 比值 也随之确定 与依赖性 比值随着 的变化而变化 3 学情分析 学生已经掌握的内容及学生学习能力 1 学生在初中时已经学习了基本的锐角三角函数的定义 掌握了锐角三 角函数的一些常见的知识和求法 2 同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性 3 在探究问题的能力 合作交流的意识等方面发展不够均衡 必须在老师 一定的指导下才能进行 4 教学目标 根据上述教材结构与内容分析 考虑到学生已有的认知结构心理特征 我制 定如下教学目标 1 知识与技能 掌握任意角的正弦 余弦 正切函数的定义 包括定义域 正负符号判断 了解任意角的余切 正割 余割函数的定义 2 过程与方法 经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广 过程 体验三角函数概念的产生 发展过程 领悟直角坐标系的工具功能 丰 富数形结合的经验 3 情感态度价值观 通过学习 渗透数形结合和类比的数学思想 培养学生 2 良好的思维习惯 培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点 渗透事物 相互联系 相互转化的辩证唯物主义世界观 下面 为了讲清重点 难点 使学生能达到本节设定的教学目标 我再从 教法和学法上谈谈 二 说教法二 说教法 数学是一门培养和发展人的思维的重要学科 因此 在教学中 不仅要使 学生 知其然 而且要使学生 知其所以然 为了体现以学生发展为本 遵 循学生的认知规律 体现循序渐进与启发式的教学原则 我进行的教法设计 在教师的引导下 创设情境 通过开放性问题的设置来启发学生思考 在思 考中体会数学概念形成过程中所蕴含的数学方法 使之内心获得真切的感受 教学中注意用新课程理念处理传统教材 学生的数学学习活动不仅要接受 记忆 模仿和练习 而且要自主探索 合作交流 师生互动 教师发挥组织者 引导者 合作者的作用 引导学生主体参与 揭示本质 经历过程 三 说学法三 说学法 课程改革的具体目标之一是 改变课程实施过于强调接受学习 死记硬背 机械训练的现状 倡导学生主动参与 乐于探究 勤于动手 培养学生收集和 处理信息的能力 获取新知识的能力 分析和解决问题的能力以及交流合作的 能力 数学作为基础教育的核心课程之一 转变学生的数学学习方式 不仅有 利于提高学生的教学素养 而且有利于促进学生整体学习方式的转变 我以建 构主义理论为指导 辅以多媒体手段 采用着重于学生探索研究的启发式教学 方法 结合师生共同讨论 归纳 根据本节课内容 根据学生认知特点 本节课采用 启发探索 讲练结合 的 方法组织教学教法 在课堂结构上 设计了 1 创设情境 复习引入概念 2 观 察归纳 形成概念 3 例题讲解 深化概念 4 归纳小结 提高认识 5 布置作业 6 课后反思 六个层次的学法 它们环环相扣 层层深入 从而顺利完成教学 目标 接下来 我再具体谈一谈这堂课的教学过程 四 教学程序及设想四 教学程序及设想 1 1 创设情境 复习引入概念创设情境 复习引入概念 思考 我们已经学过锐角三角函数 知道它们都是以锐角为自变量 以比值为函数值 的函数 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗 结论 在 Rt ABC 中 设 A 对边为 a B 对边为 b C 对边为 c 锐角 A 的正弦 余弦 正切依次为 aba sinAcosAtanA ccb 锐角三角函数就是以锐角为自变量 以比值为函数值的函数锐角三角函数就是以锐角为自变量 以比值为函数值的函数 思考 1 角推广后 这样的三角函数的定义不再适用 我们必须对三角函数重新 定义 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗 3 MO P a b Y x 1 A 1 0 MO P a b Y x A 1 0 O P x y Y x 如图 设锐角的顶点与原点重合 始边与轴的正半轴重合 那么它的终 Ox 边在第一象限 在的终边上任取一点 它与原点的距离 P a b 22 0rab 过作轴的垂线 垂足为 则线段的长度为 线段的长度为 PxMOMaMPb 则 sin MPb OPr cos OMa OPr tan MPb OMa 思考 2 对于确定的角 这三个比值是 否会随点在的终边上P 的位置的改变而改变呢 为什么 根据相似三角形的知识 对于确定的角 三个比值不以点 P 在 的终 边上的位置的改变而改变大小 我们可以将点 P 取在使线段的长的特殊位置上 这OP1r 样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数 sin MP b OP cos OM a OP tan MPb OMa 单位圆单位圆 在直角坐标系中 我们称以原点为圆心 以单位长度为O半径 的圆称为单位圆 上述 P 点就是的终边与单位圆的交点 锐角的三角函数可以用单位圆上点 的坐标表示 2 2 观察归纳 形成概念观察归纳 形成概念 1 任意角的三角函数的定义 结合上述锐角的三角函数值的求法 我们应如何求解任意角的三角函数值 呢 显然 我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数 如图 设是一个任意角 它的终边与单位圆交于点 那么 P x y 1 叫做的正弦 sine 记做 y sin 即 siny 2 叫做的余弦 cossine 记做 x cos 即 cosx 3 叫做的正切 tangent 记做 y x tan 即 tan 0 y x x 思考思考 3 3 在上述三角函数定义中在上述三角函数定义中 自变量是什么自变量是什么 对应关系有什么特点对应关系有什么特点 函数值是什么函数值是什么 说明 1 1 当时 的终边在轴上 终边上任意一点的横坐标都等 2 kkZ yx 于 所以无意义 除此情况外 对于确定的值 上述三各值都是唯一确定的0tan y x 4 5 3 A 1 0 O B Y x 实数 2 2 当是锐角时 此定义与初中定义相同 当不是锐角时 也能够找出三角 函数 因为 既然有角 就必然有终边 终边就必然与单位圆有交点 P x y 从而就必然能够最终算出三角函数值 3 正弦 余弦 正切都是以角为自变量 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 我们将这种函数统称为三角函数三角函数 3 3 例题讲解 深化概念例题讲解 深化概念 2 利用定义求角的三角函数值 例 1 求的正弦 余弦和正切值 5 3 解 在直角坐标系中 作 5 3 AOB 的终边与单位圆的交点坐标为 AOB 13 22 所以 53515 sin cos tan3 32323 思考 如果将变为呢 5 3 7 6 例 2 已知角的终边过点 求角的正弦 余弦和正切值 0 3 4 P 思考 如何根据例题 1 解答 思考 一般的 设角终边上任意一点的坐标为 x y 它与原点的距离为 r 则a 你能自己给出证明吗 sin cos tan yxy aaa rrx 思考 如果将题目中的坐标改为 3a 4a 题目又应该怎么做 课后练习 设计意图 为了使学生达到对知识的深化理解 从而达到巩固提高的效果 把课本的例题融入及时训练中 通过学生的观察思考 讨论研究 教师引导来 巩固新知识 3 三角函数的定义域和函数值符号 探究 请根据上述任意角的三角函数定义 先将正弦 余弦和正切函数在弧度制 下的定义域填入下表 再将这三种函数的值再各象限的符号填入下表 函 数定 义 域 siny R cosy R tany 2 kkZ 5 例 3 求证 当下列不等式组成立时 角为第三象限角 反之也对a sin0 tan0 a a 证明 如果成立 那么角的终边可能位于第三或第四象限 也可能与sin0a a 轴的非负半轴重合 如果 所以角的终边可能位于第一或第三象限ytan0a a 所以 角的终边只能位于第三象限 时第三象限角a 反过来 请同学们自己证明 变式训练 一 判断下列各式的符号 1 2 00 sin340cos265 23 sin4 tan 4 二 求函数的定义域sintanyaa 4 诱导公式一 由三角函数的定义 可以知道 终边相同的角的同一三角函数的值相等 由此得到一组公式 sin 2 sinaka cos 2 cosaka tan 2 tanaka 利用公式一 可以把任意角的三角函数值 转化为求 0 到的三角函数值2 例 4 确定下列三角函数值的符号 1 2 3 4 0 cos250sin 4 0 tan 672 tan3 变式训练 一 求下列各式的值 1 2515 costan 34 2 0000 sin420 cos750sin 690 cos 660 4 归纳小结 提高认识 归纳小结 提高认识 1 任意角的三角函数的定义 6 2 三角函数的定义域及三角函数值的符号 3 诱导公式 让学生通过知识性的小结 把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质 通过数学思想方法的小结 是学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的 地位和运用 并且逐渐培养学生良好的个性品质 5 布置作业布置作业 必做 课本习题 1 2A 组第 3 7 9 题 选作 课本习题 1 2B 组 3 学生经过上面的学习 已经初步掌握了三角函数的基本知识 有待进一步 提高认知水平 因此针对学生素质的差异设计了有层次的训练题 留给学生课 后自主探究练习 这样既使学生掌握基础知识 又使学有余力的同学有所提高 从而达到 拔尖 和 减负 的目的 6 课后反思课后反思 五 五 说板书设计说板书设计 1 2 任意角的 三角函数的定 义 一 复习引入 二 新课讲授 1 任意角的三角函 数的定义