《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解直接证明和间接证明(含解析)

三维设计 2014 届高考数学一轮复习教学案 复习技法 第六节直接证明和间接证明 知识能否忆起 一 直接证明 内容综合法分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最 后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成 立的充分条件 直到最后 把要证明的 结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为 止 实质由因导果 顺推证法 执果索因 框图表示 P Q1Q1 Q2Qn Q Q P1P1 P2 得到一个明显 成立的条件 文字语言因为 所以 或由 得 要证 只需证 即证 二 间接证明 反证法 假设原命题不成立 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫反证法 小题能否全取 1 教材习题改编 用反证法证明命题 三角形三个内角至少有一个不大于 60 时 应假设 A 三个内角都不大于 60 B 三个内角都大于 60 C 三个内角至多有一个大于 60 D 三个内角至多有两个大于 60 解析 选 B 假设为 三个内角都大于 60 2 设 a lg 2 lg 5 b ex x 0 则 a 与 b 大小关系为 A a b B a b C a b D a b 三维设计 2014 届高考数学一轮复习教学案 复习技法 解析 选 A a lg 2 lg 5 lg 10 1 b ex 1 则 a b 3 命题 对于任意角 cos4 sin4 cos 2 的证明 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos 2 过程应用了 A 分析法 B 综合法 C 综合法 分析法综合使用 D 间接证明法 解析 选 B 因为证明过程是 从左往右 即由条件 结论 4 用反证法证明命题 如果 a b 那么 时 假设的内容是 3 a 3 b 解析 如果 a b 那么 若用反证法证明 其假设为 3 a 3 b 3 a 3 b 答案 3 a 3 b 5 如果 a b a b 则 a b 应满足的条件是 abba 解析 a b a b 2 0 a 0 b 0 且 a b abbaabab 答案 a 0 b 0 且 a b 1 证明方法的合理选择 1 当题目条件较多 且都很明确时 由因导果较容易 一般用综合法 2 当题目条件较少 可逆向思考时 执果索因 使用分析法解决 但在证明过程中 注意文字语言的准确表述 2 使用反证法的注意点 1 用反证法证明问题的第一步是 反设 这一步一定要准确 否则后面的部分毫无 意义 2 应用反证法证明问题时必须导出矛盾 综 合 法 典题导入 例 1 2011 大纲全国卷 设数列 an 满足 a1 0 且 1 1 1 an 1 1 1 an 1 求 an 的通项公式 2 设 bn 记 Sn k 证明 Sn 1 1 an 1 n n k 1 b 自主解答 1 由题设 1 1 1 an 1 1 1 an 得是公差为 1 的等差数列 1 1 an 三维设计 2014 届高考数学一轮复习教学案 复习技法 又 1 故 n 所以 an 1 1 1 a1 1 1 an 1 n 2 证明 由 1 得 bn 1 an 1 n n 1 n n 1 n 1 n 1 n 1 Sn k 1 b c 且 a b c 0 求证0 B a c 0 C a b a c 0 D a b a c 0 解析 选 C a b2 ac 3a2 b2 ac3 a c 2 ac 3a2 a2 2ac c2 ac 3a2 0 2a2 ac c20 a c 2a c 0 a c a b 0 6 不相等的三个正数 a b c 成等差数列 并且 x 是 a b 的等比中项 y 是 b c 的 等比中项 则 x2 b2 y2三数 A 成等比数列而非等差数列 B 成等差数列而非等比数列 C 既成等差数列又成等比数列 D 既非等差数列又非等比数列 解析 选 B 由已知条件 可得Error 由 得Error 代入 得 2b x2 b y2 b 即 x2 y2 2b2 故 x2 b2 y2成等差数列 7 设 a 2 b 2 则 a b 的大小关系为 327 解析 a 2 b 2 两式的两边分别平方 可得 327 a2 11 4 b2 11 4 显然 a b 6767 答案 a b 8 2012 黄冈质检 在不等边三角形中 a 为最大边 要想得到 A 为钝角的结论 则 三边 a b c 应满足 解析 由余弦定理 cos A 0 b2 c2 a2 2bc 所以 b2 c2 a2 0 即 a2 b2 c2 三维设计 2014 届高考数学一轮复习教学案 复习技法 答案 a2 b2 c2 9 2012 肇庆模拟 已知点 An n an 为函数 y 图象上的点 Bn n bn 为函数 x2 1 y x 图象上的点 其中 n N 设 cn an bn 则 cn与 cn 1的大小关系为 解析 由条件得 cn an bn n n2 1 1 n2 1 n cn随 n 的增大而减小 cn 1 cn 答案 cn 1 cn 10 若 a b c d 0 且 a d b c 求证 dabc 证明 要证 只需证 2 2 dabcdabc 即 a d 2 b c 2 adbc 因 a d b c 只需证 adbc 即 ad bc 设 a d b c t 则 ad bc t d d t c c c d c d t 0 故 ad bc 成立 从而 成立 dabc 11 求证 a b c 为正实数的充要条件是 a b c 0 且 ab bc ca 0 和 abc 0 证明 必要性 直接证法 a b c 为正实数 a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 因此必要性成立 充分性 反证法 假设 a b c 是不全为正的实数 由于 abc 0 则它们只能是两负一正 不妨设 a 0 b 0 c 0 又 ab bc ca 0 a b c bc 0 且 bc 0 a b c 0 又 a 0 b c 0 a b c 0 这与 a b c 0 相矛盾 故假设不成立 原结论成立 即 a b c 均为正实数 12 设 f x ex 1 当 a ln 2 1 且 x 0 时 证明 f x x2 2ax 证明 欲证 f x x2 2ax 即 ex 1 x2 2ax 也就是 ex x2 2ax 1 0 可令 u x ex x2 2ax 1 则 u x ex 2x 2a 令 h x ex 2x 2a 则 h x ex 2 当 x ln 2 时 h x 0 函数 h x 在 ln 2 上单调递减 当 x ln 三维设计 2014 届高考数学一轮复习教学案 复习技法 2 时 h x 0 函数 h x 在 ln 2 上单调递增 所以 h x 的最小值为 h ln 2 eln 2 2ln 2 2a 2 2ln 2 2a 因为 a ln 2 1 所以 h ln 2 2 2ln 2 2 ln 2 1 0 即 h ln 2 0 所以 u x h x 0 即 u x 在 R 上为增函数 故 u x 在 0 上为增函数 所以 u x u 0 而 u 0 0 所以 u x ex x2 2ax 1 0 即当 a ln 2 1 且 x 0 时 f x x2 2ax 1 已知函数 y f x 的定义域为 D 若对于任意的 x1 x2 D x1 x2 都有 f x1 x2 2 则称 y f x 为 D 上的凹函数 由此可得下列函数中的凹函数为 f x1 f x2 2 A y log2x B y x C y x2 D y x3 解析 选 C 可以根据图象直观观察 对于 C 证明如下 欲证 f x1 x2 2 f x1 f x2 2 即证 2 即证 x1 x2 20 显然成立 故原不等式得证 2 2012 邯郸模拟 设 a b 是两个实数 给出下列条件 a b 1 a b 2 a b 2 a2 b2 2 ab 1 其中能推出 a b 中至少有一个大于 1 的条件是 填序号 解析 若 a b 则 a b 1 1 2 2 3 但 a 1 b2 故 推不出 若 a 2 b 3 则 ab 1 故 推不出 对于 即 a b 2 则 a b 中至少有一个大于 1 反证法 假设 a 1 且 b 1 则 a b 2 与 a b 2 矛盾 因此假设不成立 故 a b 中至少有一个大于 1 三维设计 2014 届高考数学一轮复习教学案 复习技法 答案 3 已知二次函数 f x ax2 bx c a 0 的图象与 x 轴有两个不同的交点 若 f c 0 且 0 x c 时 f x 0 1 证明 是函数 f x 的一个零点 1 a 2 试比较 与 c 的大小 1 a 解 1 证明 f x 的图象与 x 轴有两个不同的交点 f x 0 有两个不等实根 x1 x2 f c 0 x1 c 是 f x 0 的根 又 x1x2 c a x2 1 a 1 a c 是 f x 0 的一个根 1 a 即 是函数 f x 的一个零点 1 a 2 假设 c 0 1 a 1 a 由 0 x c 时 f x 0 知 f 0 1 a 这与 f 0 矛盾 c 1 a 1 a 又 c c 1 a 1 a 1 已知非零向量 a b 且 a b 求证 a b a b 2 证明 a b a b 0 要证 a b a b 2 只需证 a b a b 2 只需证 a 2 2 a b b 2 2 a2 2a b b2 三维设计 2014 届高考数学一轮复习教学案 复习技法 只需证 a 2 2 a b b 2 2a2 2b2 只需证 a 2 b 2 2 a b 0 即 a b 2 0 上式显然成立 故原不等式得证 2 已知 an 是正数组成的数列 a1 1 且点 an 1 n N 在函数 y x2 1 的图 an 象上 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足 b1 1 bn 1 bn 2an 求证 bn bn 2 b 2n 1 解 1 由已知得 an 1 an 1 则 an 1 an 1 又 a1 1 所以