江苏省连云港市东海高级中学2012-2013学年高三数学上学期期中试卷 文（含解析）

1 2012 20132012 2013 学年江苏省连云港市东海高级中学高三 上 期中数学学年江苏省连云港市东海高级中学高三 上 期中数学 试卷 文科 试卷 文科 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分 分 1 5 分 命题 p x R 使得 x2 x 1 0 则 p x R 均有 x2 x 1 0 考点 命题的否定 分析 根据命题 p x R 使得 x2 x 1 0 是特称命题 其否定为全称命题 将 存 在 改为 任意的 改为 即可得答案 解答 解 命题 p x R 使得 x2 x 1 0 是特称命题 p x R 均有 x2 x 1 0 故答案为 x R 均有 x2 x 1 0 点评 本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题 这里注意全称命题的否定为特 称命题 反过来特称命题的否定是全称命题 2 5 分 若函数 y loga 3 ax 在 0 1 上是减函数 则 a 的取值范围是 1 3 考点 对数函数的单调性与特殊点 专题 计算题 分析 由于 函数 y loga 3 ax 在 0 1 上是减函数 故 a 1 且 3 a 0 由此求 得 a 的取值范围 解答 解 由于 函数 y loga 3 ax 在 0 1 上是减函数 故 a 1 且 3 a 0 3 a 1 故答案为 1 3 点评 本题考查对数函数的单调性和特殊点 得到 a 1 且 3 a 0 是将诶提的关键 3 5 分 若函数 f x ex 2x a 在 R 上有两个零点 则实数 a 的取值范围是 2 2ln2 考点 函数的零点 专题 计算题 分析 画出函数 f x ex 2x a 的简图 欲使函数 f x ex 2x a 在 R 上有两个零点 由图可知 其极小值要小于 0 由此求得实数 a 的取值范围 解答 解 令 f x ex 2 0 则 x ln2 x ln2 f x ex 2 0 x ln2 f x ex 2 0 函数 f x 在 ln2 上是增函数 在 ln2 上是减函数 2 函数 f x ex 2x a 在 R 上有两个零点 所以 f ln2 2 2ln2 a 0 故 a 2 2ln2 故填 2 2ln2 点评 本题主要考查函数的零点以及数形结合方法 数形结合是数学解题中常用的思想方 法 能够变抽象思维为形象思维 有助于把握数学问题的本质 另外 由于使用了 数形结合的方法 很多问题便迎刃而解 且解法简捷 4 5 分 函数 y 1 x R 的最大值与最小值之和为 2 考点 奇偶函数图象的对称性 函数奇偶性的性质 专题 函数的性质及应用 分析 构造函数 g x 可判断 g x 为奇函数 利用奇函数图象的性质即 可求出答案 解答 解 f x 1 x R 设 g x 因为 g x g x 所以函数 g x 是奇函数 奇函数的图象关于原点对称 它的最大值与最小值互为相反数 设 g x 的最大值为 M 则 g x 的最小值为 M 所以函数 f x 的最大值为 1 M 则 f x 的最小值为 1 M 3 函数 f x 的最大值与最小值之和为 2 故答案为 2 点评 本题主要考查奇函数图象的性质 函数的最值及分析问题解决问题的能力 解决本 题的关键是恰当构造奇函数 5 5 分 定义在 R 上的函数 f x 满足 且 为奇 函数 给出下列命题 1 函数 f x 的最小正周期为 2 函数 y f x 的图象关于点 对称 3 函数 y f x 的图象关于 y 轴对称 其中真命题有 2 3 填序号 考点 函数的周期性 奇偶函数图象的对称性 专题 计算题 分析 本题可先由恒等式 得出函数的周期是 3 可以判断 1 再 由函数 是奇函数求出函数的对称点来判断 2 3 综合可得答 案 解答 解 由题意定义在 R 上的函数 y f x 满足条件 故有 恒成立 故函数周期是 3 故 1 错 又函数 是奇函数 故函数 y f x 的图象关于点 对称 由此知 2 3 是正确的选项 故答案为 2 3 点评 本题考查奇偶函数图象的对称性 求解本题的关键是由题设条件把函数的性质研究 清楚 解答关键是得出函数是周期函数 6 5 分 已知函数 给定条件 p 条件 q 2 f x m 2 若 p 是 q 的充分条件 则实数 m 的取值范围为 3 5 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 正弦函数的定义域和值域 4 专题 计算题 分析 本题考查的知识点是充要条件的定义 及正弦型函数的定义域和值域 由若 p 是 q 的充分条件 则满足条件 p 的 x 的取值范围 P 与满足条件 q 的 x 的取值范围 Q 之间 满足 P Q 然后结合正弦型函数的定义域和值域即可得到答案 解答 解 p 是 q 的充分条件 P Q 又 P x 此时 f x 3 5 又 Q x 2 f x m 2 m 3 5 故答案为 3 5 点评 判断充要条件的方法是 若 p q 为真命题且 q p 为假命题 则命题 p 是命题 q 的 充分不必要条件 若 p q 为假命题且 q p 为真命题 则命题 p 是命题 q 的必要不 充分条件 若 p q 为真命题且 q p 为真命题 则命题 p 是命题 q 的充要条件 若 p q 为假命题且 q p 为假命题 则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件 判断命题 p 与命题 q 所表示的范围 再根据 谁大谁必要 谁小谁充分 的原则 判断命题 p 与命题 q 的关系 7 5 分 已知函数 的解集为 0 2 考 点 运用诱导公式化简求值 指 对数不等式的解法 专 题 计算题 三角函数的求值 不等式的解法及应用 分 析 根据三角函数的奇偶性得 f x 是奇函数 从而得到 f 1 1 再 用正弦 正切的诱导公式 化简整理可得 f 24 1 原不等式化简为 log2x 1 解之即可得到所求解集 解 答 解 f x 可得 f x 是奇函数 f 1 1 f 1 1 5 而 f 24 f 24 1 不等式 f 24 log2x 即 log2x 1 log22 解之得 0 x 2 得原不等式的解集为 0 2 故答案为 0 2 点 评 本题给出三角函数式 要求根据此函数式解关于 x 的不等式 着重考查了三角函数的奇偶性 三角函数诱 导公式和对数不等式的解法等知识 属于中档题 8 5 分 如图 平面四边形 ABCD 中 若 AC BD 2 则 1 考点 平面向量数量积的运算 专题 综合题 分析 先利用向量的加减法运算 化简向量 再利用数量积公式 即可求得结论 解答 解 AC BD 2 1 1 故答案为 1 点评 本题考查向量的线性运算及数量积运算 化简向量是解题的关键 属于中档题 9 5 分 若正六棱锥的底面边长为 3cm 侧面积是底面积的倍 则这个棱锥的高是 cm 考点 棱柱 棱锥 棱台的体积 专题 计算题 转化思想 6 分析 由已知中正六棱锥的全面积是底面积的倍 得到其侧高与底面中心到对称棱的距 离之间为 1 构造直角三角形 PQO 其中 P 为棱锥的顶点 Q 为底面棱的中点 O 为底面的中心 解三角形即可得到侧面与底面所成的角 最后利用直角三角形求 出棱锥的高 解答 解 由于正六棱锥的全面积是底面积的 3 倍 不妨令 P 为棱锥的顶点 Q 为底面棱的中点 O 为底面的中心 侧面积是底面积的 3 倍 则 PQ 3OQ 则 PQO 即为侧面与底面所成的角 cos PQO sin PQO tan PQO 在直角三角 PQO 中 PO QO tan PQO 故答案为 点评 本题考查棱锥的结构特征等基础知识 考查运算求解能力 考查化归与转化思 想 属于基础题 10 5 分 设 2 若 则的值为 考点 二倍角的余弦 两角和与差的正切函数 专题 三角函数的求值 分析 利用两角和差的正切公式求得 tan 5 8 再利用同角三角函数的基本关系求得 sin2 和 cos2 的值 再由 coscos2 sinsin2 运算求得结果 7 解答 解 tan 5 8 再由 sin2 cos2 可得 coscos2 sinsin2 故答案为 点评 本题主要考查两角和差的正切公式 余弦公式 同角三角函数的基本关系的应用 属于中档题 11 5 分 设关于 x 的不等式组解集为 A Z 为整数集 且 A Z 共有 两个元素 则实数 a 的取值范围为 考点 集合的包含关系判断及应用 交集及其运算 专题 数形结合 分析 由条件 x 1 2 得 3 x 1 A Z 共有两个元素 说明不等式 x2 2ax 3 0 的解 的集合的区间长度有着限制 解答 解 由条件 x 1 2 得 3 x 1 由分析知 不等式 x2 2ax 3 a 0 的解的集合 的区间长度有着限制 也即方程 x2 2ax 3 a 0 的解的集合的区间长度有着限制 设 f x x2 2ax 3 a 则有 f 0 5 3 25 0 结合 3 x 1 和抛物线的图象 8 得或 解之得 实数 a 的取值范围为 故填 点评 本题属于难题了 难在对于条件的转化 难在数形结合思想的应用 12 5 分 2012 山东 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 一单位圆的圆心的初始位置在 0 1 此时圆上一点 P 的位置在 0 0 圆在 x 轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位 于 2 1 时 的坐标为 2 sin2 1 cos2 考点 圆的参数方程 平面向量坐标表示的应用 专题 计算题 综合题 压轴题 分析 设滚动后圆的圆心为 O 切点为 A 连接 O P 过 O 作与 x 轴正方向平行的射线 交圆 O 于 B 3 1 设 BO P 则根据圆的参数方程 得 P 的坐标为 2 cos 1 sin 再根据圆的圆心从 0 1 滚动到 2 1 算出 2 结合三角函数的诱导公式 化简可得 P 的坐标为 2 sin2 1 cos2 即为向量的坐标 解答 解 设滚动后的圆的圆心为 O 切点为 A 2 0 连接 O P 过 O 作与 x 轴正方向平行的射线 交圆 O 于 B 3 1 设 BO P O 的方程为 x 2 2 y 1 2 1 根据圆的参数方程 得 P 的坐标为 2 cos 1 sin 单位圆的圆心的初始位置在 0 1 圆滚动到圆心位于 2 1 AO P 2 可得 2 可得 cos cos 2 sin2 sin sin 2 cos2 代入上面所得的式子 得到 P 的坐标为 2 sin2 1 cos2 的坐标为 2 sin2 1 cos2 故答案为 2 sin2 1 cos2 9 点评 本题根据半径为 1 的圆的滚动 求一个向量的坐标 着重考查了圆的参数方程和平 面向量的坐标表示的应用等知识点 属于中档题 13 5 分 已知 AB 3 C 是线段 AB 上异于 A B 的一点 ADC BCE 均为等边三角形 则 CDE 的外接圆的半径的最小值是 考点 解三角形 专题 计算题 分析 设 AC m CB n 则 m n 3 在 CDE 中 由余弦定理知 DE2 9 3mn 利用基本不等 式 可得 再利用 CDE 的外接圆的半径 即可得 到结论 解答 解 设 AC m CB n 则 m n 3 在 CDE 中 由余弦定理知 DE2 CD2 CE2 2CD CEcos DCE m2 n2 mn m n 2 3mn 9 3mn 又 当且仅当时 取 所以 又 CDE 的外接圆的半径 CDE 的外接圆的半径的最小值是 故答案为 点评 本题考查余弦定理的运用 考查基本不等式 考查正弦定理的运用 确定 DE 的范围 是关键 10 14 5 分 若方程 lgkx 2lg x 1 仅有一个实根 那么 k 的取值范围是 k 4 或 k 0 考点 根的存在性及根的个数判断 对数函数的图像与性质 专题 计算题 转化思想 分析 先将方程 lgkx 2lg x 1 转化为 lgkx 2lg x 1 0 先对参数 k 的取值范围进 行分类讨论 得出函数的定义域再分别研究仅有一根时的参数的取值范围 得出答 案 解答 解 由题意 当 k 0 时 函数定义域是 0 当 k 0 时 函数定义域是 1 0 当 k 0 时 lgkx 2lg x 1 lgkx 2lg x 1 0 lgkx lg x 1 2 0 即 kx x 1 2在 0 仅有一个解 x2 k 2 x 1 0 在 0 仅有一个解 令 f x x2 k 2 x 1 又当 x 0 时 f x x2 k 2 x 1 1 0 k 2 2 4 0 k 2 2 k 0 舍 或 4 k 0 时 lgkx 无意义 舍去 k 4 当 k 0 时 函数定义域是 1 0 函数 y kx 是一个递减过 1 k 与 0 0 的线段 函数 y x 1 2在 1 0 递增且过两点 1 0 与 0 1 此时两曲线段恒有一个交点 故 k 0 符合题意 故答案为 k 4 或 k 0 点评 本题主要考查在对数方程的应用 要按照解对数方程的思路熟练应用对数的性质及 其运算法则转化问题 二 解答题 本大题二 解答题 本大题 6 6 小题 共小题 共 9090 分 分 15 14 分 已知集合 A x x 2 x 2a 5 0 函数的定义 域为集合 B 1 若 a 4 求集合 A B 2 已知 且 x A 是 x B 的必要条件 求实数 a 的取值范围 考点 必要条件 一元二次不等式的解法 指 对数不等式的解法 专题 计算题 11 分析 1 由 a 4 确定集合 A 利用对数函数的定义域 确定集合 B 从而可求集合 A B 2 根据已知 确定集合 A B 利用 x A 是 x B 的必要条件 可知 B A 从而建立不等式 即可求得实数 a 的取值范围 解答 解 1 当 a 4 时 集合 A x x 2 x 13 0 x 2 x 13 函数 的定义域为 x 8 x 18 B x 8 x 18 集合 A B x 8 x 13 2 2a 5 2 A 2 2a 5 a2 2 2a B 2a a2 2 x A 是 x B 的必要条件 B A 1 a 3 实数 a 的取值范围是 1 3 点评 本题主要考查了集合的运算 集合之间的关系 考查四种条件的运用 解决本题的 关键是要熟练掌握分式不等式与对数函数的定义 16 14 分 2012 枣庄一模 如图 已知 AB 平面 ACD DE AB ACD 是正三角形 AD DE 2AB 且 F 是 CD 的中点 求证 AF 平面 BCE 求证 平面 BCE 平面 CDE 考点 平面与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 专题 证明题 分析 取 CE 中点 P 连接 FP BP 欲证 AF 平面 BCE 根据直线与平面平行的判定 定理可知只需证 AF 与平面平面 BCE 内一直线平行 而 AF BP AF 平面 BCE BP 12 平面 BCE 满足定理条件 欲证平面 BCE 平面 CDE 根据面面垂直的判定定理可知在平面 BCE 内一直线 与平面 CDE 垂直 而根据题意可得 BP 平面 CDE BP 平面 BCE 满足定理条件 解答 证明 取 CE 中点 P 连接 FP BP F 为 CD 的中点 FP DE 且 FP 又 AB DE 且 AB AB FP 且 AB FP ABPF 为平行四边形 AF BP 4 分 又 AF 平面 BCE BP 平面 BCE AF 平面 BCE 6 分 ACD 为正三角形 AF CD AB 平面 ACD DE AB DE 平面 ACD 又 AF 平面 ACD DE AF 又 AF CD CD DE D AF 平面 CDE 10 分 又 BP AF BP 平面 CDE 又 BP 平面 BCE 平面 BCE 平面 CDE 12 分 点评 本小题主要考查空间中的线面关系 考查线面平行 面面垂直的判定 考查运算能 力和推理论证能力 考查转化思想 属于基础题 17 15 分 2012 普陀区一模 已知 ABC 中 记 1 求 f x 解析式及定义域 2 设 g x 6m f x 1 是否存在正实数 m 使函数 g x 的值域 为 若存在 请求出 m 的值 若不存在 请说明理由 考 点 平面向量数量积的运算 正弦函数的定义域和值域 正弦定理 13 专 题 计算题 分 析 1 结合正弦定理 可以表示出 BC AB 边的长 根据边长为正 可求出 x 的取值范围 即定义域 同时我们不难给出求 f x 解析式 2 由 1 的结论写出 g x 的解析式 并求出 g x 的值域 边界含参数 利用集合相等 边界值也相等 易确定 参数的值 解 答 解 1 由正弦定理有 2 g x 6mf x 1 假设存在实数 m 符合题意 因为 m 0 时 的值域为 1 m 1 又 g x 的值域为 解得 存在实数 使函数 f x 的值域恰为 点 评 本题考查的比较综合的考查了三角函数的性质 根据已知条件 及第一步的要求 我们断定求出向量的模 即对应线段的 长度是本题的切入点 利用正弦定理求出边长后 易得函数的解析式和定义域 故根据已知条件和未知的结论 分析它们 之间的联系 进而找出解题的方向是解题的关键 18 15 分 2013 成都模拟 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查 研究后 发现一天中环境综合放射性污染指数 f x 与时刻 x 时 的关系为 f x 2a x R 其中 a 是与气象有关的参数 且 a 若取每天 f x 的最 大值为当天的综合放射性污染指数 并记作 M a 1 令 t x R 求 t 的取值范围 2 省政府规定 每天的综合放射性污染指数不得超过 2 试问 目前市中心的综合放射 性污染指数是否超标 14 考点 函数最值的应用 实际问题中导数的意义 专题 计算题 分析 1 先取倒数 然后对得到的函数式的分子分母同除以 x 再利用导数求出 的取 值范围 最后根据反比例函数的单调性求出 t 的范围即可 2 f x g t t a 2a 下面分类讨论 当 0 a 当 a 分别求出函数 g x 的最大值 M a 然后解不等式 M a 2 即可求出所求 解答 解 1 当 x 0 时 t 0 2 分 当 0 x 24 时 x 对于函数 y x y 1 当 0 x 1 时 y 0 函数 y x 单调递减 当 1 x 24 时 y 0 函数 y x 单调递增 y 2 综上 t 的取值范围是 0 2 当 a 0 时 f x g t t a 2a g 0 3a g a g 0 g 2a 故 M a 当且仅当 a 时 M a 2 故 a 0 时不超标 a 时超标 点评 本题主要考查了函数模型的选择与应用 待定系数法求函数解析式及分类讨论的思 想 属于实际应用题 19 16 分 已知定义域为 0 1 的函数同时满足以下三个条件 对任意 x 0 1 总 有 f x 0 f 1 1 若 x1 0 x2 0 x1 x2 1 则有 f x1 x2 f x1 f x2 成立 1 求 f 0 的值 2 函数 g x 2x 1 在区间 0 1 上是否同时适合 并予以证明 15 3 假定存在 x0 0 1 使得 f x0 0 1 且 f f x0 x0 求证 f x0 x0 考 点 函数的值 函数恒成立问题 专 题 综合题 压轴题 分 析 1 由 知 f 0 0 由 知 f 0 0 从而得到 f 0 0 2 由题设知 g 1 1 由 x 0 1 知 2x 1 2 得 g x 0 1 有 g x 0 设 x1 0 x2 0 x1 x2 1 则 由此能够证明函数 g x 2x 1 在区间 0 1 上同时适合 3 若 f x0 x0 则由题设知 f x0 x0 0 1 且由 知 f f x0 x0 0 由此入手能证明 f x0 x0 解 答 解 1 由 知 f 0 0 由 知 f 0 0 f 0 f 0 即 f 0 0 f 0 0 2 证明 由题设知 g 1 2 1 1 由 x 0 1 知 2x 1 2 得 g x 0 1 有 g x 0 设 x1 0 x2 0 x1 x2 1 则 即 g x1 x2 g x1 g x2 函数 g x 2x 1 在区间 0 1 上同时适合 3 证明 若 f x0 x0 则由题设知 f x0 x0 0 1 且由 知 f f x0 x0 0 由题设及 知 x0 f f x0 f f x0 x0 x0 f f x0 x0 f x0 f x0 矛盾 若 f x0 x0 则则由题设知 x0 f x0 0 1 且由 知 f x0 f x0 0 同理得 f x0 f x0 f x0 f x0 f x0 f x0 f f x0 f f x0 x0 矛盾 故由上述知 f x0 x0 点 评 本题考查函数值的求法和函数恒成立问题的应用 解题时要认真审题 仔细解答 20 16 分 已知函数 f x x3 6x2 3x t ex t R 1 若函数 y f x 依次在 x a x b x c a b c 处取到极值 求 t 的取值范围 若 a c 2b2 求 t 的值 2 若存在实数 t 0 2 使对任意的 x 1 m 不等式 f x x 恒成立 求正整 数 m 的最大值 考点 利用导数研究函数的极值 不等式的综合 16 专题 计算题 压轴题 分析 1 根据极值点是导函数的根 据方程的根是相应函数的零点 结合函数的单调 性写出