高一数学映射人教版知识精讲

用心 爱心 专心 高一数学高一数学映射映射人教版人教版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 映射 二 学习目标 1 了解映射的概念 了解象 原象的概念 2 了解一一映射的概念 三 知识讲解 1 映射的概念 设 A B 是两个集合 如果按照某种对应的法则 对于集合 A 中的任何一个元素 在 集合 B 中都有惟一的元素和它对应 则这样的对应叫做集合 A 到集合 B 的映射 记作 BAf 映射是由集合 A B 及从 A 到 B 的对应法则 f 确定的 取元的任意性和成象的惟一性 刻划了映射的本质属性 即集合 A 中的任一元素在集合 B 中都有惟一的象 2 一一映射 设 A B 是两个集合 是集合 A 到 B 的映射 如果在这个映射下 对于集BAf 合 A 中的不同元素 在集合 B 中有不同的象 而且 B 中每一个元素都有原象 那么这个 映射叫做从 A 到 B 上的一一映射 BAf 一一映射是一种特殊的映射 它要求对 A 中的不同元素 在集合 B 中有不同的象 并 且集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象 典型例题典型例题 例 1 已知是集合 A 到集合 B 的一个映射 则以下列命题的个数是 BAf Bb 1 存在 且 使得 且 Aa Bc cb baf Caf 2 存在 使 Aa Baf 3 有且仅有 使 Aa baf 4 至少有一个 使 Aa baf A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 解 解 依据映射的定义逐个进行判断 1 不符合映射概念中象的惟一性 2 不符 合映射概念中取元的任意性 即 A 中的任何一个元素在 B 中都有象 3 映射的概念中 允许 B 中元素没有原象或 B 中一个元素同时有多个原象 故 3 也是假命题 4 B 中 元素可以在 A 中无原象 故 4 也是假命题 因此本题给出的四个命题都是假命题 应 选 D 例 2 已知集合 A 到集体的映射 那么集合 A 中的元 1 2 1 0 1 B 1 1 2 x xf 素最多是几个 并求出此时的集合 A 解 解 由于集合 A 中元素在 f 作用下的象集是 B 的子集 故只要求出 B 中的元素所有可 能的原象 并把所有这些原象的集合作为 A 用心 爱心 专心 由于 故 0 在 A 中无原象 0 1 1 2 x 当时 1 1 1 2 x 0 x 当时 或 2 1 1 1 2 x 3 x3 x 当时 或 1 1 1 2 x 2 x2 x 所以 A 中元素最多只能是 5 个 即 3 2 0 2 3 A 例 3 设 3 2 NyZxyxxyxA 2 1 0 B 是 A 到 B 的对应关系 试判断这种对应关系是否从 A 到 B 的映射 yxyxf 解 解 由 且 则或 0 或 1 又由 且 则Zx 2 x1 x Ny 3 yx 由知 1 1 2 0 1 0 3 1 2 1 1 1 Ayxyxf A 中的每个元素中的两个元素之和都在集合 B 中 根据映射定义可知 对 A 中任一元素 在 f 作用下 都对应 B 中惟一元素 因此 f 是从 A 到 B 的映射 例 4 设集合 A 和 B 都是坐标平面上的点集 映射把集合 Ryxyx BAf A 中的元素 x y 映射成集合 B 中的元素 求在 f 作用下 象 2 1 yxyx 的原象 解 解 此题为 2000 年高考试题天津卷第一题 主要考查映射的概念 由 解得 1 2 yx yx 2 1 2 3 y x 故原象为 2 1 2 3 例 5 设 f 是从集合 A 到集合 A 的映射 在 f 作用下 A 的任何一 82 xxA 个元素和它的象在数轴上对应的点关于实数 3 对应的点对称 求映射 BAf 解 解 设 x 为 A 中任意元素 为 x 的象 xf 由已知 x 与关于 3 对应的点对称 则有 xf3 2 xfx xxf 6 所以从 B 到 A 的映射 xyxf 6 模拟试题模拟试题 1 设集合 A 和 B 都是自然数集 N 映射把集合 A 中的元素 n 映射到集合 BBAf 中的元素 则在映射 f 下 象 20 的原象是 n n 2 A 2B 3C 4D 5 2 已知映射 其中集合 集合 B 中的元素BAf 4 3 2 1 1 2 3 A 都是 A 中的元素在映射 f 下的象 且对任意的 在 B 中和它对应的元素是 则Aa a 集合 B 中元素的个数是 A 4B 5C 6D 7 3 已知集合 把 A 中的元素 x y 映射到