2013高考数学总复习 3-3导数的实际应用基础巩固强化练习 新人教A版

1 3 33 3 导数的实际应用导数的实际应用 基础巩固强化 1 文 正三棱柱体积为V 则其表面积最小时 底面边长为 A B C D 2 3 V 3 2V 3 4V 3 V 答案 C 解析 设正三棱柱底面边长为a 高为h 则体积V a2h h 表面积S 3 4 4V 3a2 a2 3ah a2 3 2 3 2 4 3V a 由S a 0 得a 故选 C 3 4 3V a2 3 4V 理 在内接于半径为R的半圆的矩形中 周长最大的矩形的边长为 A 和R B R和R R 2 3 2 5 5 4 5 5 C R和R D 以上都不对 4 5 7 5 答案 B 解析 设矩形垂直于半圆直径的边长为x 则另一边长为 2 则l 2x 4 R2 x2 0 x R R2 x2 l 2 令l 0 解得x R 4x R2 x2 5 5 当 0 x R时 l 0 当R x R时 l 0 5 5 5 5 所以当x R时 l取最大值 即周长最大的矩形的边长为R R 5 5 5 5 4 5 5 2 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为 y x3 81x 234 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 1 3 A 13 万件 B 11 万件 C 9 万件 D 7 万件 答案 C 解析 y x3 81x 234 1 3 y x2 81 x 0 令y 0 得x 9 令y 9 令y 0 得 0 x 则满足 2f x x 1 的x的集合为 1 2 4 A x 1 x 1 B x x 1 C x x1 D x x 1 答案 B 解析 令g x 2f x x 1 f x g x 2f x 1 0 g x 为单调增函数 f 1 1 g 1 1 2 2f 1 1 1 0 当x 1 时 g x 0 即 2f x x 1 故选 B 7 文 用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架 要求长方体的长与宽之比为 2 1 该长方体的最大体积是 答案 3m3 解析 设长方体的宽为x 则长为 2x 高为 3x 0 x 2 故体积为 9 2 V 2x2 6x3 9x2 9 2 3x V 18x2 18x 令V 0 得 x 0 或 1 0 x0 和x 0 得 0 x 1 6 设容器的容积为ym3 则有y x x 0 5 3 2 2x 0 x 1 6 整理得y 2x3 2 2x2 1 6x y 6x2 4 4x 1 6 令y 0 有 6x2 4 4x 1 6 0 即 15x2 11x 4 0 解得x1 1 x2 不合题意 舍去 4 15 高 3 2 2 1 2 容积V 1 1 5 1 2 1 8 8 文 2011 北京模拟 若函数f x lnx ax2 2x存在单调递减区间 则实数a的 1 2 5 取值范围是 答案 1 分析 函数f x 存在单调减区间 就是不等式f x 0 有实数解 考虑到函数的定 义域为 0 所以本题就是求f x 0 在 0 上有实数解时a的取值范围 解析 解法 1 f x ax 2 由题意知f x 0 ax2 2x 1 0 有实数解 当a 0 时 显然满足 当a0 1 a 1 解法 2 f x ax 2 1 x 1 ax2 2x x 由题意可知f x 0 在 0 内有实数解 即 1 ax2 2x 在 0 内有实数解 1 x2 2 x x 0 时 1 2 1 1 a 1 1 x2 2 x 1 x 理 2011 2012 黄冈市期末 对于三次函数y ax3 bx2 cx d a 0 给出定义 设f x 是函数y f x 的导数 f x 是f x 的导数 若方程f x 0 有实数解 x0 则称点 x0 f x0 为函数y f x 的 拐点 某同学经过探究发现 任何一个三次函数 都有 拐点 任何一个三次函数都有对称中心 且 拐点 就是对称中心 若f x x3 1 3 x2 3x 请你根据这一发现 求 1 2 5 12 1 函数f x x3 x2 3x 的对称中心为 1 3 1 2 5 12 2 计算f f f f f 1 2014 2 2014 3 2014 4 2014 2013 2014 答案 1 1 2 2013 1 2 解析 1 f x x2 x 3 f x 2x 1 由 2x 1 0 得x f 1 2 1 2 1 3 1 2 3 2 3 1 由拐点的定义知f x 的拐点即对称中心为 1 1 2 1 2 1 2 5 12 1 2 2 f f 1 f f 2 k 1 2 1007 k 2014 k 2014 k 2014 2014 k 2014 f f f f f f f 1 2014 2 2014 2013 2014 1 2014 2013 2014 2 2014 2012 2014 f f f 2 1006 1 2013 1006 2014 1008 2014 1007 2014 6 9 有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶 已知单位面积铝合金的价格是铁的 3 倍 问如何设计使总造价最小 分析 桶的总造价要根据铁与铝合金的用量来定 由于二者单位面积的价格不同 在 保持铁桶容积不变的前提下 使总造价最小 问题转化为V一定求总造价y的最小值 选取 恰当变量 圆柱高h或底半径r 来表示y即变为函数极值问题 解析 设圆柱体高为h 底面半径为r 又设单位面积铁的造价为m 桶总造价为y 则y 3m r2 m r2 2 rh 由于V r2h 得h 所以y 4m r2 r 0 V r2 2mV r 所以 y 8m r 2mV r2 令y 0 得r 此时 h 4 V 4 1 3 V r2 V 4 1 3 该函数在 0 内连续可导 且只有一个使函数的导数为零的点 问题中总造价的 最小值显然存在 当r 时 y有最小值 即h r 4 时 总造价最小 V 4 1 3 10 文 已知球的直径为d 求当其内接正四棱柱体积最大时 正四棱柱的高为多少 解析 如右图所示 设正四棱柱的底面边长为x 高为h 由于x2 x2 h2 d2 x2 d2 h2 1 2 球内接正四棱柱的体积为 V x2 h d2h h3 0 h0 cos 选 D 1 2 点评 若f x 为三次函数 f x 在 R R 上有极值 则f x 0 应有二不等实根 当 f x 有两相等实根时 不能保证f x 有极值 这一点要特别注意 如f x x3 f x 1 3 x2 0 有实根x 0 但f x 在 R R 上单调增 无极值 即导数为 0 是函数有极值的必要不充 分条件 12 如图 过函数y xsinx cosx图象上点 x y 的切线的斜率为k 若k g x 则 函数k g x 的图象大致为 答案 A 解析 y sinx xcosx sinx xcosx k g x xcosx 易知其图象为 A 13 函数f x 2x3 x2 x 1 的图象与x轴交点个数为 个 1 2 答案 1 解析 f x 6x2 x 1 3x 1 2x 1 当x0 当 x 1 2 1 2 9 时 f x 时 f x 0 f x 在 上单调递增 在 上 1 3 1 3 1 2 1 2 1 3 单调递减 在 上单调递增 1 3 当x 时 f x 取到极大值 当x 时 f x 取到极小值 故f x 的图象与 1 2 11 8 1 3 43 54 x轴只有一个交点 14 将边长为 1m 的正三角形薄铁皮 沿一条平行于某边的直线剪成两块 其中一块是 梯形 记s 则s的最小值是 梯形的周长 2 梯形的面积 答案 32 3 3 解析 设DE x 则梯形的周长为 3 x 梯形的面积为 x 1 1 x 1 x2 1 2 3 2 3 4 s x 0 1 3 x 2 3 4 1 x2 4 3 3 x2 6x 9 1 x2 设h x h x x2 6x 9 1 x2 6x2 20 x 6 1 x2 2 令h x 0 得 x 或x 3 舍 1 3 h x 最小值 h 8 1 3 s最小值 8 4 3 3 32 3 3 15 文 甲乙两地相距 400km 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超过 100km h 10 已知该汽车每小时的运输成本P 元 关于速度v km h 的函数关系是P v4 v3 15v 1 19200 1 160 1 求全程运输成本Q 元 关于速度v的函数关系式 2 为使全程运输成本最少 汽车应以多大速度行驶 并求此时运输成本的最小值 解析 1 汽车从甲地到乙地需用h 故全程运输成本为Q 6000 400 v 400P v v3 48 5v2 2 0 v 100 2 Q 5v 令Q 0 得 v 80 v2 16 当v 80km h 时 全程运输成本取得最小值 最小值为元 2000 3 理 2011 江苏 请你设计一个包装盒 如图所示 ABCD是边长为 60cm 的正方形硬纸 片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得A B C D四 个点重合于图中的点P 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E F在AB上 是被切去的 一个等腰直角三角形斜边的两个端点 设AE FB x cm 1 若广告商要求包装盒的侧面积S cm2 最大 试问x应取何值 2 某厂商要求包装盒容积V cm3 最大 试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底 面边长的比值 解析 设包装盒的高为h cm 底面边长为a cm 由已知得 a x h 30 x 0 x0 当x 20 30 时 V 0 1 1 h2 2 V a2h h 0 1 3 1 3 h 1 h2 V 1 3 1 h2 h 2h 1 h2 2 1 h2 3 1 h2 2 所以当 0 h0 所以V h 在 0 1 上为增函数 当h 1 时 V 0 所以V h 在 1 上为减函数 故h 1 为函数V h 的唯一极大值点也是最大值点 Vmax 1 6 答 当高h 1m 时 容积取最大值 m3 1 6 12 理 如图 有一矩形钢板ABCD缺损了一角 如图所示 边缘线OM上每一点到点D的距 离都等于它到边AB的距离 工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形 若AB 1m AD 0 5m 问如何画切割线EF可使剩余部分五边形ABCEF的面积最大 解析 由题知 边缘线OM是以点D为焦点 直线AB为准线的抛物线的一部分 以O点为原点 AD所在直线为y轴建立直角坐标系 则D 0 M 1 4 1 2 1 4 所以边缘线OM所在抛物线的方程为y x2 0 x 1 2 要使如图的五边形ABCEF面积最大 则必有EF所在直线与抛物线相切 设切点为 P t t2 则直线EF的方程为y 2t x t t2 即y 2tx t2 由此可求得点E F的坐标分别为E F 0 t2 1 4t2 8t 1 4 所以S DEF S t t2 1 2 1 4t2 8t 1 4 t 0 1 64 16t4 8t2 1 t 1 2 所以S t 1 64 48t4 8t2 1 t2 13 12t2 1 4t2 1 64t2 3 4t2 1 t 3 6 t 3 6 16t2 显然函数S t 在 0 上是减函数 在 上是增函数 所以当t 时 S DEF取 3 6 3 6 1 2 3 6 得最小值 相应地 五边形ABCEF的面积最大 此时点E F的坐标分别为E F 0 3 3 1 4 1 12 此时沿直线EF划线可使五边形ABCEF的面积最大 1 函数f x 的定义域为 R R 导函数f x 的图象如图所示 则函数f x A 无极大值点 有四个极小值点 B 有三个极大值点 两个极小值点 C 有两个极大值点 两个极小值点 D 有四个极大值点 无极小值点 答案 C 解析 设f x 与x轴的 4 个交点 从左至右依次为x1 x2 x3 x4 当x0 f x 为增函数 当x1 x x2时 f x 0 x 8 128 x2 因为当 0 x 8 时 y 0 当x 8 时 y 0 所以当x 8 时 y取最小值 此时宽为 8m 长为 16m 即当堆料场的长为 16m 宽为 8m 时 可使砌墙所用材料最省 5 2011 陕西文 设f x lnx g x f x f x 1 求g x 的单调区间和最小值 2 讨论g x 与g 的大小关系 1 x 3 求a的取值范围 使得g a g x 0 成立 1 a 15 解析 f x lnx f x g x lnx 1 x 1 x g x 令g x 0 得x 1 x 1 x2 当x 0 1 时 g x 0 1 是g x 的单调增区间 因此当x 1 时g x 取极小值 且x 1 是唯一极值点 从而是最小值点 所以g x 最小值为g 1 1 2 g lnx x 1 x 令h x g x g 2lnx x 1 x 1 x 则h x x 1 2 x2 当x 1 时 h 1 0 即g x g 1 x 当x 0 1 1 时h x h 1 0 即g x g 1 x 当x 1 时 h x h 1 0 即g x g 1 x 当x 1 时 g x g 1 x 当x 1 时 g x g 1 x 3 由 1 可知g x 最小值为 1 所以g a g x 0 成立等价于g a 1 即 lna 1 解得 0 axln2 对任意x 0 恒成立 现定义为该类学习任务在t时刻的学习效率 f t t 16 指数 研究表明 当学习时间t 1 2 时 学习效率最佳 当学习效率最佳时 求学习效率 指数相应的取值范围 解析 1 f t 100 t为学习时间 且f 2 60 3 4 a 2 t 则 100 60 解得a 4 3 4 a 2 2 f t 100 100 t 0 3 4 a 2 t 3 4 1 2 t f 0 100 37 5 3 4 1 2 0 f 0 表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为 37 5 2 令学习效率指数 y f t t 则y t 0 f t t 3 4t 1 2 t 3 4 t t 2t 现研究函数g t t 的单调性 t 2t 由于g t 1 t 0 2t t 2tln2 2t 2 2t tln2 1 2t 又已知 2x xln2 对任意x 0 恒成立 即 2t tln2 0 则g t 0 恒成立 g t 在 0 上为增函数 且g t 为正数 y t 0 在 0 上为减函数 f t t 3 4 t t 2t 而y t 1 y t 2 f 1 1 1 2 f 2 2 3 10 即y f t t 3 10 1 2 故所求学习效率指数的取值范围是 3 10 1 2 7 2012 延边州质检 已知函数f x x2 ax lnx a R R 1 当a 1 时 求f x 的单调区间 2 若函数f x 在 1 2 上是减函数 求实数a的取值范围 3 令g x f x x2 是否存在实数a 当x 0 e e是自然对数的底数 时 函数 g x 的最小值是 3 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 解析 1 当a 1 时 由f x 2x 1 1 x 2x2 x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 17 函数f x x2 x lnx的定义域为 0 当x 0 时 f x 0 当x 时 f x 0 1 2 1 2 所以函数f x x2 x lnx的单调递减区间为 0 单调递增区间为 1 2 1 2 2 f x 2x a 0 在 1 2 上恒成立 1 x 2x2 ax 1 x 令h x 2x2 ax 1 有Error 得Error 得a 7 2 3 假设存在实数a 使g x ax lnx x 0 e 有最小值 3 g x a 1 x ax