2013年普通高考数学一轮复习 第26讲 平面向量的数量积及应用精品学案

用心 爱心 专心 1 20132013 年普通高考数学科一轮复习精品学案年普通高考数学科一轮复习精品学案 第第 2626 讲讲 平面向量的数量积及应用平面向量的数量积及应用 一 课标要求 一 课标要求 1 平面向量的数量积 通过物理中 功 等实例 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 体会平面向量的数量积与向量投影的关系 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 2 向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题 力学问题与其他一些实际问题的过程 体会向量是一种处理几何问题 物理问题等的工具 发展运算能力和解决实际问题的能力 二 命题走向二 命题走向 本讲以选择题 填空题考察本章的基本概念和性质 重点考察平面向量的数量积的概念 及应用 重点体会向量为代数几何的结合体 此类题难度不大 分值 5 9 分 平面向量的综合问题是 新热点 题型 其形式为与直线 圆锥曲线 三角函数等联系 解决角度 垂直 共线等问题 以解答题为主 预测 2013 年高考 1 一道选择题和填空题 重点考察平行 垂直关系的判定或夹角 长度问题 属于 中档题目 2 一道解答题 可能以三角 数列 解析几何为载体 考察向量的运算和性质 三 要点精讲三 要点精讲 1 向量的数量积 1 两个非零向量的夹角 已知非零向量a与a 作 则 A A 叫与的OAaOBbab 夹角 说明 1 当 时 与同向 ab 2 当 时 与反向 ab 3 当 时 与垂直 记 2 abab 4 注意在两向量的夹角定义 两向量必须是同起点的 范围 0 180 2 数量积的概念 已知两个非零向量与 它们的夹角为 则 cos叫做与a b a b a b a C 用心 爱心 专心 2 的数量积 或内积 规定 b 00a 向量的投影 cos R 称为向量在方向上的投影 投影的绝对值称b a b a b a 为射影 3 数量积的几何意义 等于的长度与在方向上的投影的乘积 a b a b a 4 向量数量积的性质 向量的模与平方的关系 22 a aaa 乘法公式成立 2 2 22 abababab 2 22 2abaa bb 2 2 2aa bb 平面向量数量积的运算律 交换律成立 a bb a 对实数的结合律成立 aba babR 分配律成立 abca cb c cab 向量的夹角 cos cos a b a b ab 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx 当且仅当两个非零向量与同方向时 00 当且仅当与反方向时 1800 同a b a b 时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 0 5 两个向量的数量积的坐标运算 已知两个向量 则 1122 ax ybxy a b 1212 x xy y 6 垂直 如果与的夹角为 900则称与垂直 记作 a b a b a b 两个非零向量垂直的充要条件 O 平面向量数a b a b 0 2121 yyxx 量积的性质 7 平面内两点间的距离公式 设 则或 yxa 222 yxa 22 yxa 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为 那么a 11 yx 22 yx 用心 爱心 专心 3 平面内两点间的距离公式 2 21 2 21 yyxxa 2 向量的应用 1 向量在几何中的应用 2 向量在物理中的应用 四 典例解析四 典例解析 题型 1 数量积的概念 例 1 判断下列各命题正确与否 1 00a 2 00a 3 若 则 0 aa ba c bc 4 若 则当且仅当时成立 a ba c bc 0a 5 对任意向量都成立 a bcab c a b c 6 对任意向量 有 a 2 2 aa 解析 1 错 2 对 3 错 4 错 5 错 6 对 点评 通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系 重点清楚为零a 0 向量 而为零 a 0 例 2 1 若 为任意向量 m R R 则下列等式不一定成立的是 abc A B cbacba cbcacba C m m m D ba ab cbacba 2 设 是任意的非零平面向量 且相互不共线 则abc abccab 0ababbcac 不与垂直 3 2 3 2 9 2 4 2中 是真命题的有 abcababab A B C D 解析 1 答案 D 因为 而cbacba cos 而方向与方向不一定同向 acbcba cos ca 2 答案 D 平面向量的数量积不满足结合律 故 假 由向量的减法运算可知 恰为一个三角形的三条边长 由 两边之差小于第三边 故 真 abab 用心 爱心 专心 4 因为 0 所以垂bcacabcbcaccabc 直 故 假 3 2 3 2 9 4 9 2 4 2成立 故 真 ababaabbab 点评 本题考查平面向量的数量积及运算律 向量的数量积运算不满足结合律 题型 2 向量的夹角 例 3 1 已知向量 满足 且 则与的夹角为 ab1 a4 b2 baab A B C D 6 4 3 2 2 已知向量 cos sin cos sin 且 那么与a b a bba 的夹角的大小是 ba 3 已知两单位向量与的夹角为 若 试求与的a b 0 1202 3cab dba c d 夹角 4 1 2 且 则向量与的夹角为 abcabcaab A 30 B 60 C 120 D 150 解析 1 C 2 2 3 由题意 且与的夹角为 1ab a b 0 120 所以 0 1 cos120 2 a ba b 2 cc c 2 2 abab 22 447aa bb 7c 同理可得 13d 而 c d 22 17 2 3 732 2 abbaa bba 设为与的夹角 c d 则 182 9117 1372 17 cos 4 C 设所求两向量的夹角为 用心 爱心 专心 5 cabca 2 0c aab aaa b 即 2 cosaab 2 1 cos 2 aa abb 所以120 o 点评 解决向量的夹角问题时要借助于公式 要掌握向量坐标形式的运算 cos ba ba 向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑 对于这个公式的变形应 cosa bab 用应该做到熟练 另外向量垂直 平行 的充要条件必需掌握 例 4 1 设平面向量 的和 如果向量 1 a 2 a 3 a0 3 21 aaa 1 b 2 b 3 b 满足 且顺时针旋转后与同向 其中 则 2 i i ab i a30o i b1 2 3i A B 1 b 2 b 3 b0 1 b 2 b 3 b0 C D 1 b 2 b 3 b0 1 b 2 b 3 b0 2 已知 且关于的方程有实根 则与的夹角 0 2 bax0 2 baxaxab 的取值范围是 A B C D 6 0 3 3 2 3 6 解析 1 D 2 B 点评 对于平面向量的数量积要学会技巧性应用 解决好实际问题 题型 3 向量的模 例 5 1 已知向量与的夹角为 则等于 a b 120o3 13 aab b A 5 B 4 C 3 D 1 2 设向量满足 则 a b c 0abc 1 2ab ab 2 c A 1 B 2 C 4 D 5 解析 1 B 2 D 点评 掌握向量数量积的逆运算 以及 Qb ba a cos 2 2 aa 例 6 已知 3 4 4 3 求x y的值使 x y a b a b a 且 x y 1 a b 解析 由 3 4 4 3 有x y 3x 4y 4x 3y a b a b 用心 爱心 专心 6 又 x y x y 3 3x 4y 4 4x 3y 0 a b a a b a 即 25x 24y 又 x y 1 x y a b a b x 4y x 3y 整理得 25x 48xy 25y 即x 25x 24y 24xy 25y 由 有 24xy 25y 将 变形代入 可得 y 7 5 再代回 得 7 5 35 24 7 5 35 24 y x y x 和 点评 这里两个条件互相制约 注意体现方程组思想 题型 4 向量垂直 平行的判定 例 7 已知向量 且 则 3 2 a 6 xb ba x 解析 ba 1221 yxyx x362 4 x 例 8 已知 按下列条件求实数的 4 3a 1 2b mab 2nab 值 1 2 mn mn 3 mn 解析 4 32 mab 27 8nab 1 mn 082374 9 52 2 mn 072384 2 1 3 mn 0884587234 222 22 5 1122 点评 此例展示了向量在坐标形式下的平行 垂直 模的基本运算 题型 5 平面向量在代数中的应用 例 9 已知 abcdacbd 2222 111 求证 分析 可以看作向量的模的平方 abcd 2222 11 dcybax 而则是 的数量积 从而运用数量积的性质证出该不等式 acbd xy 用心 爱心 专心 7 证明 设 dcybax 则 2222 dcybaxbdacyx 1 2222 dcbabdac yxyx 点评 在向量这部分内容的学习过程中 我们接触了不少含不等式结构的式子 如 等 ababababa ba ba b 例 10 已知 其中 ab cossincossin 0 1 求证 与互相垂直 ab ab 2 若与 的长度相等 求 k ab k ab k 0 解析 1 因为 ababaabbab 22 abab 22 222222 110 cossincossin 所以与互相垂直 ab ab 2 k abkk coscossinsin k abkk coscossinsin 所以 cosk abkk 2 21 cosk abkk 2 21 因为 k abk ab 所以 kkkk 22 2121 coscos 有 22kkcoscos 因为 故 k 0 cos 0 又因为 00 所以 2 点评 平面向量与三角函数在 角 之间存在着密切的联系 如果在平面向量与三角函 用心 爱心 专心 8 数的交汇处设计考题 其形式多样 解法灵活 极富思维性和挑战性 若根据所给的三角式 的结构及向量间的相互关系进行处理 可使解题过程得到简化 从而提高解题的速度 题型 6 平面向量在几何图形中的应用 例 11 已知两点 且点 P x y 使得 01 01 NM MNMP 成公差小于零的等差数列 NPNMPNPM 1 求证 0 3 22 xyx 2 若点 P 的坐标为 记与的夹角为 求 00 yx PM PN tan 解析 1 略解 由直接法得1 22 yxPNPM 0 3 22 xyx 2 当 P 不在 x 轴上时 2 1 tan 2 1 sin 2 1 0 yMN PNPM PNPMS PMN 而2 21 1 1 2 0 2 00000 MNyxyxyxPMPN 所以 当 P 在 x 轴上时 上式仍成立 tan 0 y 0tan0 0 y y P M O N x 图 1 点评 由正弦面积公式得到 tan 2 1 tancos 2 1 sin 2 1 bababaS 了三角形面积与数量积之间的关系 由面积相等法建立等量关系 例 12 用向量法证明 直径所对的圆周角是直角 已知 如图 AB 是 O 的直径 点 P 是 O 上任一点 不与 A B 重合 求证 APB 90 用心 爱心 专心 9 证明 联结 OP 设向量 则且 bOPaOA aOB baOPOAPA baOPOBPB 0 a b abPBPA 2222 即 APB 90 PBPA 点评 平面向量是一个解决数学问题的很好工具 它具有良好的运算和清晰的几何意义 在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用 题型 7 平面向量在物理中的应用 例 13 如图所示 正六边形 PABCDE 的边长为 b 有五个力 PDPCPBPA 作用于同一点 P 求五个力的合力 PE 解析 所求五个力的合力为 如图 3 所示 以 PA PE 为边作 PEPDPCPBPA 平行四边形 PAOE 则 由正六边形的性质可知 且 O 点在 PEPAPOb PA PO PC 上 以 PB PD 为边作平行四边形 PBFD 则 由正六边形的性质可知 PDPBPF 且 F 点在 PC 的延长线上 b3 PF 由正六边形的性质还可求得b2 PC 故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为 方向与的方向b6b3b2b PC 相同 五 思维总结五 思维总结 用心 爱心 专心 10 1 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1 两个向量的数量积是一个实数 不是向量 符号由 cos 的符号所决定 2 两个向量的数量积称为内积 写成 今后要学到两个向量的外积 而abab 是两个向量的数量的积 书写时要严格区分 符号 在向量运算中不是乘号 既不a b 能省略 也不能用 代替 3 在实数中 若a 0 且a b 0 则b 0 但是在数量积中 若 0 且 0 不aa b 能推出 因为其中 cos 有可能为 0 b 0 4 已知实数a b c b 0 则ab bc a c 但是 a bb c ca 如右图 cos OA c c cos OA a ba bbbbba bb 但 cac 5 在实数中 有 但是 显然 这是因a b cab ca b cab c 为左端是与c共线的向量 而右端是与共线的向量 而一般与c不共线 aa 2 平面向量数量积的运算律 特别注意 1 结合律不成立 ab ca bc 2 消去律不成立不能得到 a ba c bc 3 0 不能得到 或 a b a 0 b 0 3 向量知识 向量观点在数学 物理等学科的很多分支有着广泛的应用 而它具有代数 形式和几何形式的 双重身份 能融数形于一体 能与中学数学教学内容的许多主干知识综 合 形成知识交汇点 所以高考中应引起足