2012高考数学二轮专题复习 数列

用心 爱心 专心 1 数列数列 考纲解读考纲解读 1 理解数列的概念 了解数列通项公式的意义 了解递推公式是给出数列的一种方法 并能根据递推公式写出数列的前几项 2 理解等差数列的概念 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 并能运用公式解答 简单的问题 3 理解等比数列的概念 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式 并能运用公式解决 简单的问题 考点预测考点预测 1 等差 比 数列的基本知识是必考内容 这类问题既有选择题 填空题 也有解答题 难 度易 中 难三类皆有 2 数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点 3 函数思想 方程思想 分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到 解答试题时 要注意灵活应用 4 解答题的难度有逐年增大的趋势 还有一些新颖题型 如与导数和极限相结合等 因此复习中应注意 1 数列是一种特殊的函数 学习时要善于利用函数的思想来解决 如通项公式 前n项和公 式等 2 运用方程的思想解等差 比 数列 是常见题型 解决此类问题需要抓住基本量 a1 d 或q 掌握好设未知数 列出方程 解方程三个环节 常通过 设而不求 整体代 入 来简化运算 3 分类讨论的思想在本章尤为突出 学习时考虑问题要全面 如等比数列求和要注意q 1 和 q 1 两种情况等等 4 等价转化是数学复习中常常运用的 数列也不例外 如an与Sn的转化 将一些数列转化成 等差 比 数列来解决等 复习时 要及时总结归纳 5 深刻理解等差 比 数列的定义 能正确使用定义和等差 比 数列的性质是学好本章的 关键 6 解题要善于总结基本数学方法 如观察法 类比法 错位相减法 待定系数法 归纳法 数形结合法 养成良好的学习习惯 定能达到事半功倍的效果 用心 爱心 专心 2 7 数列应用题将是命题的热点 这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用 要点梳理要点梳理 1 证明数列 n a是等差数列的两种基本方法 1 定义法 1nn aad 为常数 2 等差中项法 11 2 2 nnn aaan 2 证明数列 n a是等比数列的两种基本方法 1 定义法 1n n a q a 非零常数 2 等差中项法 2 11 2 nnn aaan 3 常用性质 1 等差数列 n a中 若mnpq 则 mnpq aaaa 2 等比数列 n a中 若mnpq 则 mnpq aaaa 4 求和 1 等差等比数列 用其前 n 项和求出 2 掌握几种常见的求和方法 错位相减法 裂项相消法 分组求和法 倒序相加法 3 掌握等差等比数列前 n 项和的常用性质 考点在线考点在线 考点考点 1 1 等差等比数列的概念及性质等差等比数列的概念及性质 在等差 等比数列中 已知五个元素 1n a a n d或q n S中的任意三个 运用方程的思想 便 可求出其余两个 即 知三求二 本着化多为少的原则 解题时需抓住首项 1 a和公差 或 公比q 另外注意等差 等比数列的性质的运用 例如 1 等差数列 n a 中 若mnpq 则 mnpq aaaa 等比数列 n a中 若 mnpq 则 mnpq a aa a 2 等差数列 n a 中 n2nn3n2nknk n 1 S SS SS SS 成等差数列 其中 n S是等差数列的 前 n 项和 等比数列 n a 中 q1 n2nn3n2nknk n 1 S SS SS SS 成等比数列 其中 n S是等比数列的前 n 项和 3 在等差数列 n a 中 项数 n 成等差的项 n a也称等差数列 4 在等差数列 n a 中 2n 1n S2n1 a 2nnn 1 Sn aa 用心 爱心 专心 3 在复习时 要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式 注意方程思想 整体 思想 分类讨论思想 数形结合思想的运用 例例 1 1 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 11 11 在等差数列 n a中 37 37aa 则 2468 aaaa 答案答案 74 解析解析 284637 37aaaaaa 故 2468 2 3774aaaa 名师点睛名师点睛 本题考查等差数列的性质 备考提示备考提示 熟练掌握等差等比数列的概念与性质是解答好本类题的关键 考点考点 2 2 数列的递推关系式的理解与应用数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时 要对其关系式进行适当的变形 转化为常见的 类型进行解题 如 逐差法 若 nn 1 aan 且 1 a1 我们可把各个差列出来进行求和 可得到数列 n a的通项 nnn 1n 1n 2211 aaaaaaaa n n1 nn12 1 2 再看 逐商法 即 n 1 n a n1 a 且 1 a1 可把各个商列出来求积 nn 12 n1 n 1n 21 aaa aan n1n22 1n aaa AA AA A 另外可以变形转化为等差数列与等比数列 利用等差数列与等比数列的性质解决问题 例例 2 2 20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 9 9 数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a1 1 an 1 3Sn n 1 则 a6 A 3 44 B 3 44 1 用心 爱心 专心 4 C 44 D 44 1 答案答案 A 解析解析 由题意 得 a2 3a1 3 当 n 1 时 an 1 3Sn n 1 所以 an 2 3Sn 1 得 an 2 4an 1 故从第二项起数列等比数列 则 a6 3 44 名师点睛名师点睛 本小题主要考查 n a与与 n S的关系 1 n nn 1 S n 1 a SS n2 数列前 n 项和 n S和通项 n a是数列中两个重要的量 在运用它们的关系式 nnn 1 aSS 时 一定要注意条件n2 求 通项时一定要验证 1 a是否适合 解决含 n a与与 n S的式子问题时 通常转化为只含 n a或者转化 为只 n S的式子 备考提示备考提示 递推数列也是高考的内容之一 要熟练此类题的解法 这是高考的热点 练习练习 2 2 20112011 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 5 5 若等比数列 an 满足 anan 1 16n 则公比为 Z A 2 B 4 C 8 D 16 答案答案 B 解析解析 设公比是 q 根据题意 a1a2 16 a2a3 162 得 q2 16 因为 a12q 16 0 a12 0 则 q 0 q 4 考点考点 3 3 数列的通项公式数列的通项公式 n a与前与前 n n 项和公式的应用项和公式的应用 等差 等比数列的前 n 项和公式要深刻理解 等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数 等 比数列的前 n 项和公式 n 1 n11 n a 1q aa Sq 1q1q1q q1 因此可以改写为 n n Saqb ab0 是关于 n 的指数函数 当q1 时 n1 Sna 例例 3 20113 2011 年高考江苏卷年高考江苏卷 13 13 设 721 1aaa 其中 7531 aaaa成公比为 q 的等比 数列 642 aaa成公差为 1 的等差数列 则 q 的最小值是 答案答案 3 3 解析解析 由题意 23 1212121 112aaa qaa qaa q 2 2222 1 12aqaaqa 用心 爱心 专心 5 答案答案 A 解析解析 通过 25 80aa 设公比为q 将该式转化为08 3 22 qaa 解得q 2 带入 所求式可知答案选 A 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 考点考点 4 4 数列求和数列求和 例例 4 4 山东省济南市山东省济南市 20112011 年年 2 2 月高三教学质量调研理科月高三教学质量调研理科 2020 题题 已知 n a为等比数列 256 1 51 aa n S为等差数列 n b的前n项和 2 1 b 85 25SS 1 求 n a和 n b的通项公式 2 设 n T nnb ababa 2211 求 n T 解析 1 设 n a的公比为q 由 4 51 aa q 得4 q 所以 1 4 n n a 设 n b的公差为d 由 85 25SS 得32 2 3 2 3 1 ad 所以 1 131 n bb ndn 2 n T 1 1 24 54 8431 n n 2 44 245431 n n Tn 得 21 323 44 44312324 nnn n Tnn 所以 22 4 33 n n Tn 用心 爱心 专心 6 名师点睛名师点睛 本小题主要考查等比等差数列的通项公式及前 n 项和公式 数列求和等基础知 识 考查运算能力 综合分析和解决问题的能力 备考提示备考提示 熟练数列的求和方法等基础知识是解答好本类题目的关键 练习练习 4 4 20102010 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 1818 已知等差数列 n a满足 3 7a 57 26aa n a的前 n 项和为 n S 求 n a 及 n S 令 2 1 1 n n b a nN 求数列 n b的前 n 项和 n T 解析解析 设等差数列 n a的公差为 d 因为 3 7a 57 26aa 所以有 考点考点 5 5 等差 等比数列的综合应用等差 等比数列的综合应用 解综合题要总揽全局 尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件 在后面求解的 过程中适时应用 例例 5 5 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 19 19 已知公差不为 0 的等差数列 n a的首项 1 aa aR 设 数列的前 n 项和为 n S 且 1 1 a 2 1 a 4 1 a 成等比数列 求数列 n a的通项公式及 n S 记 123 1111 n n A SSSS 2 12 22 1111 n n B aaaa 当2n 时 试比 较 n A与 n B的大小 用心 爱心 专心 7 当2n 时 2012 21 n nnnn CCCCn 即 11 11 12nn 所以当0a 时 nn AB 当0a 时 nn AB 名师点睛名师点睛 本小题主要考查等差等比数列的通项与前 n 项和等基本知识 考查逻辑思维能 力 分析问题和解决问题的能力 备考提示备考提示 熟练掌握等差等比数列的基础知识是解决本类问题的关键 练习练习 5 20115 2011 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 20 20 已知数列已知数列 n a与与 n b满足满足 11 2 1 n nnnn bab a 1 3 1 2 n n bnN 且且 1 2a 求 求 23 a a的值的值 设设 2121nnn caa nN 证明证明 n c是等比数列是等比数列 设设 n S为为 n a的前的前 n n 项和项和 证明证明 21212 12212 1 3 nn nn SSSS nnN aaaa 解析解析 由 1 3 1 2 n n bnN 可得 2 1 n n b n 是奇数 是偶数 11 2 1 n nnnn bab a 用心 爱心 专心 8 当 n 1 时 12 21 aa 由 1 2a 得 2 3 2 a 当 n 2 时 23 25 aa 可得 3 8a 证明 对任意nN 21 212 221 n nn aa 2 221 221 n nn aa 得 21 2121 3 2 n nn aa 即 21 3 2 n n c 于是 1 4 n n c c 所以 n c是等比数列 证明 1 2a 由 知 当kN 且2k 时 21131532123 kkk aaaaaaaa 2 3 2 3523 222 k 2 1 21 2 1 4 32 1 4 k k 故对任意kN 由 得 2121 2 2221 kk k a 所以 21 2 1 2 2 k k a kN 因此 21234212 2 kkk k Saaaaaa 于是 2122kkk SSa 21 1 2 2 k k 故 212 212 kk kk SS aa 21 21 1 2 2 2 k k k 21 2 1 2 2 k k 2 22 12 221 k kk kk 1 1 44 41 kkk k 所以 21212 12212 1 3 nn nn SSSS nnN aaaa 易错专区易错专区 问题 已知问题 已知 n S 求求 n a时时 易忽视易忽视1n 的情况的情况 例例 20102010 年高考上海卷文科年高考上海卷文科 2121 已知数列 n a的前n项和为 n S 且585 nn Sna nN 1 证明 1 n a 是等比数列 2 求数列 n S的通项公式 并求出使得 1nn SS 成立的最小正整数n 用心 爱心 专心 9 考题回放考题回放 1 2011 2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 7 7 若数列 n a的通项公式是 n an g 则 aaa L A 15 B 12 C D 答案 A 解析 法一 分别求出前 10 项相加即可得出结论 法二 1234910 3aaaaaa 故aaa L 故选 A 2 20112011 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 5 5 设 n a 为等差数列 公差 d 2 n S为其前 n 项和 若 1011 SS 则 1 a A 18 B 20 C 22 D 24 答案 B 解析 20 10 0 1111 111110 adaa aSS 3 2011 2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 5 5 已知数列 n a 的前 n 项和 n S满足 nmn m SSS 且 1 a 1 那么 10 a A 1 B 9 C 10 D 55 用心 爱心 专心 10 答案 A 解析 因为 nmn m SSS 所以令1nm 可得 21 22SS 令1 2nm 可得 312 3SSS 同理可得 42 24SS 523 5SSS 945 9SSS 105 210SS 所以 10 a 109 1SS 故选 A 4 2011 2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 8 8 数列 n a的首项为3 n b 为等差数列且 1 nnn baa nN 若则 3 2b 10 12b 则 8 a A 0 B 3 C 8 D 11 答案 B 解析 由已知知 1 28 28 nnn bnaan 由叠加法 21328781 642024603aaaaaaaa 5 20102010 年高考全国年高考全国 卷文科卷文科 4 4 已知各项均为正数的等比数列 n a 123 a a a 5 789 a a a 10 则 456 a a a A 5 2 B 7 C 6 D 4 2 答案 A 解析 由等比数列的性质知 3 1231322 5a a aa aaa A 3 7897988 a a aa aaa A10 所 以 1 3 28 50a a 所以 1 333 6 456465528 50 5 2a a aa aaaa a A 6 20102010 年高考全国卷年高考全国卷 文科文科 6 6 如果等差数列 n a中 3 a 4 a 5 a 12 那么 1 a 2 a 7 a A 14 B 21 C 28 D 35 答案 C C 解析解析 345 12aaa 4 4a 127174 1 7 728 2 aaaaaa 7 20092009 年高考安徽卷理科第年高考安徽卷理科第 5 5 题 题 已知 n a为等差数列 1 a 3 a 5 a 105 246 aaa 99 以 n S表示 n a的前n项和 则使得 n S达到最大值 用心 爱心 专心 11 的n是高 解析 设公比为q 由已知得 284 111 2a qa qa q 即 2 2q 因为等比数列 n a的公比为 正数 所以2q 故 2 1 12 22 a a q 选 B 9 20092009 年高考湖南卷文科第年高考湖南卷文科第 3 3 题 题 设 n S是等差数列 n a的前 n 项和 已知 2 3a 6 11a 则 7 S等于 A 13 B 35 C 49 D 63 答案 C 解析 1726 7 7 7 7 3 11 49 222 aaaa S 故选 C 或由 211 61 31 5112 aada aadd 7 1 6 213 a 所以 17 7 7 7 1 13 49 22 aa S 故选 C 10 20092009 年高考福建卷理科第年高考福建卷理科第 3 3 题 题 等差数列 n a的前 n 项和为 n S 且 3 S 6 1 a 4 则公差 d 等于 A 1 B 5 3 C 2 D 3 答案 C 用心 爱心 专心 12 解析 313 3 6 2 Saa 且 311 2 4 d 2aad a 故选 C 11 20092009 年高考江西卷理科第年高考江西卷理科第 8 8 题 题 数列 n a的通项 222 cossin 33 n nn an 其前 n项和为 n S 则 30 S为 A 470 B 490 C 495 D 510 答案 A 解析 由于 22 cossin 33 nn 以 3 为周期 故 222222 222 30 12452829 3 6 30 222 S 22 1010 2 11 32 31 59 10 11 3 9 25470 222 kk kk kk 故选 A 12 12 20112011 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 9 9 九章算术 竹九节 问题 现有一根 9 节的竹子 自下 而下各节的容积成等差数列 上面 4 节的容积共 3 升 下面 3 节的容积共 4 升 则第 5 节的 容积为 A 1 升B 67 66 升C 47 44 升D 37 33 升 答案答案 D 解析解析 设 9 节竹子的容积从上往下依次为a1 a2 a9 公差为 d 则有a1 a2 a3 a4 3 a7 a8 a9 4 即4a5 10d 3 3a5 9d 4 联立解得 5 67 66 a 所以选 B 13 2011 2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 12 12 设 n S是等差数列 Nnan的前n项和 且1 1 a 7 4 a 则 5 S 答案 25 解析 因为1 1 a 7 4 a 所以2 d 则25 2 45 5 15 daS 故填 25 14 14 2011 2011 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 11 11 等差数列 n a前 9 项的和等于前 4 项的和 若 14 1 0 k aaa 则k 答案答案 10 用心 爱心 专心 13 解析解析 由题得10 6 1 031 1 1 2 34 4 2 89 9 kd ddk dd 解析 2 4 3 n n an n 则 1 1 2 1 5 2 1 5 3 2 3 4 4 3 n n n n nn ann an n n n 于是 2 2 1 5 3 4 10nnn nn 令 2 100n 得1010n 则 1 1 n n a a 4n 时递增 令 2 100n 得10n 则 1 1 n n a a 4n 时递减 故4n 是最大项 即4k 17 20112011 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 21 21 本小题满分 14 分 1 已知两个等比数列 nn ba 满足 3 2 1 0 3322111 abababaaa 若数列 n a唯一 求a的值 2 是否存在两个等比数列 nn ba 使得 44332211 abababab 成公差 不为0 的等差数列 若存在 求 nn ba 的通项公式 若 不存在 说明理由 解析 1 n a要唯一 当公比0 1 q时 由 33221 3 2 21ababab 且 31 2 2 bbb 0134312 1 2 1 2 1 2 1 aaqaqaqaaq 用心 爱心 专心 14 0 a 0134 1 2 1 aaqaq最少有一个根 有两个根时 保证仅有一个正根 01401344 2 aaaaa 此时满足条件的 a 有无数多个 不符合 当公比0 1 q时 等比数列 n a首项为 a 其余各项均为常数 0 唯一 此时由 0134312 1 2 1 2 1 2 1 aaqaqaqaaq 可推得 3 1 013 aa符合 综上 3 1 a 2 假设存在这样的等比数列 21 qq 公比分别为 nn ba 则由等差数列的性质可得 44113322 abababab 整理得 11 131231 qaaqbb 要使该式成立 则1 2 q 101 211 qqq或0 3131 aabb此时数列 22 ab 33 ab 公差为 0 与题意不符 所以不存在这样的等比数列 nn ba 18 20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 17 17 本小题满分 12 分 已知等差数列 an 中 a1 1 a3 3 I 求数列 an 的通项公式 II 若数列 an 的前 k 项和 Sk 35 求 k 的值 解析 I 设等差数列 an 的公差为d 则 1 1 n aand 由 1 1a 3 3a 可得 123d 解得 2d 从而1 1 2 32 n ann II 由 I 可知32 n an 所以 2 1 32 2 2 n nn Snn 由 Sk 35 可得 2 235kk 即 2 2350kk 解得7k 或5k 又kN 故7k 19 20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 20 20 本题满分 13 分 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M M 的价值在使用过程中逐年减少 从 第 2 年到第 6 年 每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元 从第 7 年开始 每年初 M 的价值 为上年初的 75 I 求第 n 年初 M 的价值 n a的表达式 用心 爱心 专心 15 II 设 12 n n aaa A n 若 n A大于 80 万元 则 M 继续使用 否则须在第 n 年初对 M 更新 证明 须在第 9 年初对 M 更新 解析解析 I 当6n 时 数列 n a是首项为 120 公差为10 的等差数列 66 678 6 333 570704 1 780210 444 3 780210 4 nn nn n n SSaaa A n 因为 n a是递减数列 所以 n A是递减数列 又 8 69 6 89 33 780210 780210 4779 44 8280 7680 864996 AA 所以须在第 9 年初对 M 更新 20 20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 20 20 本小题共 12 分 已知 n a 是以a为首项 q 为公比的等比数列 n S为它的前n项和 当 134 S S S成等差数列时 求 q 的值 当 m S n S i S成等差数列时 求证 对任意自然数 m kn ki k k aaa 也成等差数列 解析解析 当1q 时 134 3 4Sa Sa Sa 因为 134 S S S成等差数列 所以 2 34aaa 解得0a 因为0a 故1q 用心 爱心 专心 16 当1q 时 34 134 1 1 11 aqaq Sa SS qq 由 134 S S S成等差数列得 34 2 1 1 11 aqaq a qq 得 32 210qq 即 2 110qqq 15 2 q 21 20102010 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 2222 本小题满分 14 分 在数列 n a中 1 a 0 且对任意 k N 2k 12k2k 1 a a a 成等差数列 其公差为 2k 证明 456 a a a成等比数列 求数列 n a的通项公式 记 222 23 23 n n n T aaa A A A 证明 n 3 2nT2 n 2 2 解析解析 I 证明 由题设可知 21 22aa 32 24aa 43 48aa 54 412aa 65 618aa 从而 65 54 3 2 aa aa 所以 4 a 5 a 6 a成等比数列 II 解 由题设可得 2121 4 kk aak kN 所以 2112121212331 kkkkk aaaaaaaa 441 4 1kk 21 k kkN 用心 爱心 专心 17 由 1 0a 得 21 21 k ak k 从而 2 221 22 kk aakk 所以数列 n a的通项公式为 2 2 1 2 2 n n n a n n 为奇数 为偶数 或写为 2 11 24 n n n a nN III 证明 由 II 可知 21 21 k ak k 2 2 2 k ak 以下分两种情况进行讨论 1 当 n 为偶数时 设 n 2m mN 若1m 则 2 2 22 n k k k n a 若2m 则 22 222 11 2 21111 221 2214441 221 nmmmm kkkkk kkk kkkkkk aaakk k 2 11 11 4411 11 222 212121 mm kk kk mm k kk kkk 1131 22112 22 mmn mn 所以 2 2 31 2 2 n k k k n an 从而 2 2 3 22 4 6 8 2 n k k k nn a 2 当 n 为奇数时 设 21 nmmN 22 22 2 22 21 212131 4 2221 nm kk kkm mmkk m aaamm m 1131 42 22121 mn mn 所以 2 2 31 2 21 n k k k n an 从而 2 2 3 22 3 5 7 2 n k k k nn a 综合 1 和 2 可知 对任意2 nnN 有 3 22 2 n nT 22 2010 2010 年高考北京卷文科年高考北京卷文科 16 16 本小题共 13 分 用心 爱心 专心 18 已知 n a为等差数列 且 3 6a 6 0a 求 n a的通项公式 若等差数列 n b满足 1 8b 2123 baaa 求 n b的前 n 项和公式 解析解析 设等差数列 n a的公差d 23 2010 2010 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 22 22 本小题满分 14 分 正实数数列 n a中 1 1a 2 5a 且 2 n a成等差数列 1 证明数列 n a中有无穷多项为无理数 2 当n为何值时 n a为整数 并求出使200 n a 的所有整数项的和 解析解析 证明 1 由已知有 2 124 1 n an 从而124 1 n an 方法一 取 21 124 k n 则 2 124 k n akN 用反证法证明这些 n a都是无理数 假设 2 124 k n a 为有理数 则 n a必为正整数 且24k n a 故241 k n a 241 k n a 与 24 24 1 kk nn aa 矛盾 所以 2 124 k n akN 都是无理数 即数列 n a中有无穷多项为 无理数 用心 爱心 专心 19 方法二 因为 2 1 124 n an nN 当n得末位数字是 3 4 8 9 时 124n 的末位数字是 3 和 7 它不是整数的平方 也不是既约分数的平 方 故此时 1 124 n an 不是有理数 因这种n有无穷多 故这种无 理项 1n a 也有无穷多 2 要使 n a为整数 由 1 1 24 1 nn aan 可知 1 1 nn aa 同为 偶数 且其中一个必为 3 的倍数 所以有16 n am 或16 n am 当 61 n am 时 有 22 361211 12 31 n ammmmmN 又 31 mm 必为偶数 所以61 n ammN 满足 2 124 1 n an 即 31 1 2 mm nmN 时 n a为整数 同理 61 n ammN 有 22 361211 12 31 n ammmmmN 也满足 2 124 1 n an 即 31 1 2 mm nmN 时 n a为整数 显然 61 n ammN 和61 n ammN 是数列中的不同项 所以 当 31 1 2 mm nmN 和 31 1 2 mm nmN 时 n a为 整数 由61200 n ammN 有033m 由 61200 n ammN 有133m 设 n a中满足200 n a 的所有整数项的和为S 则 5 11197 1 7 13199 S 5 1971 199 33346733 22 24 2010 2010 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 19 19 本题满分 14 分 设 a1 d 为实数 首项为 a1 公差为 d 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 56 S S 15 0 若 5 S 5 求 6 S及 a1 求 d 的取值范围 用心 爱心 专心 20 解析解析 解 由题意知S6 5 15 S 3 A6 S6 S5 8 所以 1 1 5105 58 ad ad 解得a1 7 所以S6 3 a1 7 解 因为S5S6 15 0 所以 5a1 10d 6a1 15d 15 0 即 2a12 9da1 10d2 1 0 解析 通过 25 80aa 设公比为q 将该式转化为08 3 22 qaa 解得q 2 带入 所求式可知答案选 A 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 2 2010 2010 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 5 5 设数列 n a的前 n 项和 2 n Sn 则 8 a的值为 A 15 B 16 C 49 D 64 答案 A 解析 887 644915aSS 3 20102010 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 7 7 设 n a是首项大于零的等比数列 则 12 aa 是 数列 n a是递增数列 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 若已知 12 a a 则设数列 n a的公比为q 因为 12 a a 所以有 11 a 1 又 1 a 0 所以数列 n a是递增数列 反之 若数列 n a是递增数列 则公比q 1且 用心 爱心 专心 21 1 a 0 所以 11 a a q 即 12 a a 所以 12 a a是数列 n a是递增数列的充分必要条件 4 4 2010 2010 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 7 7 等比数列 n a中 1 1a 52 8aa 52 aa 则 n a A 1 2 n B 1 2 n C 2 n D 2 n 5 20102010 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 3 3 设 n S为等比数列 n a的前n项和 已知 34 32Sa 23 32Sa 则公比q A 3 B 4 C 5 D 6 答案 B 解析 两式相减得 343 3aaa 4 43 3 4 4 a aaq a 6 6 20102010 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 4 4 已知数列 n a 为等比数列 n S是它的前 n 项和 若 2 a a 2a 且 4 a与 7 2a的等差中项为 5 4 则 S5 w A 35 B 33 C 31 D 29 用心 爱心 专心 22 7 20102010 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 2 2 在等差数列 n a中 19 10aa 则 5 a的值为 A 5 B 6 C 8 D 10 答案 A 解析 由角标性质得 195 2aaa 所以 5 a 5 8 8 20102010 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 7 7 已知等比数列 m a 中 各项都是正数 且 1 a 32 1 2 2 aa成 等差数列 则 910 78 aa aa A 12 B 12 C 32 2 D32 2 答案 C 二 填空题 二 填空题 13 20092009 年高考北京卷文科第年高考北京卷文科第 1010 题 题 若数列 n a满足 11 1 2 nn aaa nN 则 5 a 前 8 项的和 8 S 用数字作答 答案答案 255 255 解析解析 121324354 1 22 24 28 216aaaaaaaaa 易知 8 8 21 255 2 1 S 1414 20102010 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 1414 设 n S为等差数列 n a的前n项和 若 36 324SS 则 9 a 答案答案 15 15 用心 爱心 专心 23 解析解析 由 31 61 3 2 33 2 6 5 624 2 Sad Sad 解得 1 1 2 a d 91 815 aad 15 浙江省温州市浙江省温州市 20112011 年高三第一次适应性测试理科年高三第一次适应性测试理科 已知数列 n a是公比为q的等比数 列 集合 1210 Aa aa 从A中选出 4 个不同的数 使这 4 个数成等比数列 这样得 到 4 个数的不同的等比数列共有 答案答案 24 解析解析 以公比为q的等比数列有 1234 a a a a 78910 a a a a共7组 以公比为 2 q的等比数列有 1357 a a a a 46810 a a a a共4组 以公比为 3 q的等比数列有 14710 a a a a共1组 再考虑公比分别为 23 111 q qq 的情形 可得得到 4 个数的不同的等比数列共有24个 三 三 解答题 解答题 17 20092009 年高考山东卷理科第年高考山东卷理科第 2020 题 题 本小题满分 12 分 等比数列 n a 的前 n 项和为 n S 已知对任意的nN 点 n n S 均在函数 01 x ybr bbb r 且均为常数的图像上 用心 爱心 专心 24 求 r 的值 文科 当 b 2 时 记 1 4 n n n bnN a 求数列 n b的前 n 项和 n T 理科 当 b 2 时 记 2 2 log1 nn banN 证明 对任意的nN 不等 式 12 12 111 1 n n bbb n bbb 成立 解析解析 由题意知 n n Sbr 当2n 时 111 1 1 nnnnn nnn aSSbrbrbbbb 由于0b 且1 b 所以当2n 时 n a 是以b为公比的等比数列 又 11 aSbr 2 1 ab b 2 1 a b a 即 1 b b b br 解得1r 理科 21 n n S 当2n 时 11 1 21 21 2 nnn nnn aSS 又当1n 时 1 11 211aS 适合上式 1 2n n a 1 2 2 log 21 2 n n bn 1 1 1b b 2 2 1b b 1 n n b b L 3 5 7 21 21 2 3 n n n L L 下面用数学归纳法来证明不等式 3 5 7 21 1 21 2 3 n n n n L L 证明 1 当1n 时 左边 39 2 24 右边 不等式成立 2 假设当 nk kN 时 不等式成立 即 3 5 7 21 1 21 2 3 k k k k L L 则当1nk 时 不等式左边 112 121 11113 5 721 23 2 4 6222 kk kk bbbbkk bbbbkk L 22 23 23 4 1 4 1 11 1 1 1 1 1 224 1 4 1 4 1 kkkk kkk kkkk 所以当1nk 时 不等式也成立 综上 1 2 可知 当nN 时 不等式 3 5 7 21 1 21 2 3 n n n n L L 恒成立 用心 爱心 专心 25 所以对任意的nN 不等式 1 1 1b b 2 2 1b b 1 1 n n b n b L成立 文科 由 知 nN 11 1 2 nn n abb 所以 1 1 4 2 n n n b 1 1 2n n 2 2 2 n T 34 34 22 L 1 1 2n n 1 2 n T 3 2 2 4 3 2 L 1 1 2n n 2 1 2n n 两式相减得 1 2 n T 2 2 2 3 1 2 4 1 2 L 1 1 2n n 2 1 2n n 1 11 1 1 22 1 2 1 2 n 2 1 2n n 1 31 42n 2 1 2n n 故 31 22 n n T 1 1 2n n 3 2 1 3 2n n 因为 11 2 1 11 1 1 1 1 nnnn nn nn n nn n TTTqT TT TqT b TT b 10 分 所以 132 2 21 1 nn n TT b TT b TT b 111111 2 1 13221 nn TTTTTT 11 2 1 11 n TT 12 1 1 2 1 1 n 14 分 19 天津市南开中学 天津市南开中学 20112011 年年 3 3 月高三月考文科 月高三月考文科 已知数列 n a的前以项和为 n S且对于任 意的 Nn 恒有2 nn San 设 1 log2 nn ab 1 求证 数列 1 n a是等比数列 2 求数列 nn ba的通项公式 n a和 n b 用心 爱心 专心 26 3 若 1 2 n b n nn c a a A 证明 12 4 3 n ccc 解析解析 1 当n l 时 11 21 Sa 得 当2n 时 11 2 1 nn San 两式相减得 1 221 nnn aaa 1 21 nn aa 11 1222