2013河南高一数学竞赛试题

1 图 1 B A DC P 2013 年全国高中数学联赛河南预赛高一试题 一 填空题 共 10 小题 每题 6 分 满分 60 分 1 已知集合满足条件 则符合条件的集合M 1 2 3 5121 2 3 2013M A A AA A A 共有 个 M 2 已知 则 x yR 1 11 1 1 21 2 xy xy 3 已知符号函数 则函数的零点有 个 1 0 sgn 0 0 1 0 x xx x sgn ln lnf xxx 4 已知直四棱柱各棱长均为 3 长为 2 的线段的 1111 ABCDABC D 60BAD MN 一个端点在上运动 另一个端点在底面上运动 则的中点的轨迹M 1 DDNABCDMN 曲面 与共一顶点的三个面围成的几何体的体积为 5 连接球面上两点的线段称为球的弦 半径为的球的两条弦 的长度分别等于5ABCD 分别为弦 的中点 则的取值范围是 68MNABCDMN 6 已知平面直角坐标系中 一束光 2 0 A 2 0 B 0 2 C 1 0 E 1 0 F 线从点出发射到直线上的点经直线反射后 再经直线反射 两次反射后FBCDBCAC 落到线段上 不含端点 则直线斜率的范围是 AEFD 7 函数的值域是 2 1 2 x f x x 8 已知函数是定义在实数集上的奇函数 且当时 若对任 yf x R0 x 2 f xx 意的 不等式恒成立 则实数 的取值范围是 2 xt t 2 4 f xtf x t 9 请同学们任选一题作答 若两题都做 则按上面一题正误判分 必修 3 若 的方差是 是常数 则 1 x 2 xA A A n x 2 0 ss ab 1 bxa 的标准差是 2 bxa A A A n bxa 必修 4 如图所示 在直角梯形中 ABCD 动点ABAD 1ADDC 3AB P 在内运动 含边界 设BCDA APABAD 则的取值范围是 R 2 10 已知集合 将中的自然数元素从小到大排列为 22 Am mxyxyZ A 若 则正整数 1 a 2 aA A A2013 n a n 二 本题满分 20 分 如图 2 所示 圆为的外接圆 且 延长 1 OABCAABAC 到 使 为的平分线与的交点 圆为的ACDADAB ECAB BC 2 OCDEA 外接圆 为两圆的另外一个交点 F 证明 1 三点共线AEF 2 2 O FAD 图 2 O2 O1 F D E A C B 三 本题满分 20 分 已知 且 考察在平面直角坐标系的abR 22 1ab xoy 直线系 M210axbyb 1 若点到中的任一条直线的距离都是定值 求点的坐标及的值 00 P xyMdMd 2 若直线系中至多有一条直线经过点 求点的轨迹方程 M Q x yQ 3 四 本题满分 20 分 请同学们任选一题作答 若两题都做 则按上面一题正误判分 必修 3 已知对任意的实数 都有0 x 1 x ex 1 长度为 1 的木棍任意的折成两段 较长的一段再随机折成两段 求所得的三段小木 棍能组成三角形的概率 P 2 证明 其中为 1 中所求的概率 11 ln 31 1 23 P n n A A AP 必修 4 已知函数 22 2 sin cos f xxaxaaR 1 判断的奇偶性 f x 2 若仅有一个实数解 求的值 0f x a 五 本题满分 20 分 已知两条直线 和 与函数 1 l1ym 2 l 4 1 1 ym m 1 l 的图像从左至右相交于点 与函数的图像从左至右相交lnyx AB 2 llnyx 于点 记线段和在轴上的投影长度分别为 记 CDACBDxabA 四点的横坐标分别为 BCD 1 x 3 x 4 x 1 证明 1234 1x xx x 2 求的最小值 b a 2013 年全国高中数学联赛河南预赛高一试题答案 一 填空题 1 2 3 4 5 6 1501 21 3 2 9 1 7 4 7 8 9 必修 3 必修 4 10 3 0 3 2 b s 4 1 3 1511 4 图 2 O2 O1 F D E A C B 二 证明 1 延长交圆与 连AE 1 O 1 F接 由 1 CF 平分AEBAC BAEDAE 结合 故ABAD BAEDAE AA BD 而 1 CF AB 11 CFECF AD 四点共圆 CE 1 FD 因此也是两圆的交点 从而和重合 1 F 1 FF 即 共线 AEF 2 由 共线 平分 AEFAEBAC BFCF 由对称性得出 故 因此为等腰三角形 BFDF CFBFDF CFDA 由于为其外心 故即 2 O 2 O FCD 2 O FAD 三 1 由点到直线的距离公式得 00 00 22 21 2 1 axbyb daxb y ab 因是常数 故 即 从而d 0 0 0 20 x y 0 0 0 2 x y 0 2 P1d 2 由 1 知 到直线系中任一条直线的距离都是 因此直线系中每一 0 2 PM1M 5 条直线都是以为圆心 以 为半径的圆 圆 的切线P1 22 2 1xy 由平面几何知识 圆内的每一点都不被其切线经过 圆上的每一点只能作出一条切线 而 圆外的每一点均能作出该圆的两条切线 故点的轨迹是圆及其内部 即Q 22 2 1xy 四 必修 3 解 设较长的一段长度为 将分成的两段长为 aaxy 1 1 2 axy 若长度为 的三段能构成三角形 则 xy1 a 1 2 1 2 1 1 2 x y a 画出图形计算出 1 3 P 2 11 ln 31 1 23 P n n A A A 111 ln 31 1 233 n n A A A 由1 x ex ln 1 xx 1ln 1 1 ln2 11 ln 1 ln3ln2 22 11 ln 1 ln4ln3 33 11 ln 1 ln 31 ln 3 33 nn nn A A A 以上各式相加得 即 111 ln 31 1 233 n n A A A 11 ln 31 1 23 P n n A A A 必修 4 1 注意到函数的定义域是 f xRxR 故为偶函数 22 2 sin cos fxxaxaf x f x 2 由于仅有一个实数解 且 故其有唯一解 0f x fxf x 0 x 或 0 0f 2 2 sin1aa 0a sin1a i 当时 原方程化为 仅有一个解 符合题意0a 2 0 x 0 x 6 ii 当时 原方程化为 sin1a 22 4sin1 sin cos 4sin 10 xx A 而 故cos 1 1 x sin cos sin1x 2 4sin 14sin1 sin cos x A 等号仅在时成立 符合题意 22 4sin 14sin1 sin cos xx A0 x 综上 或0a sin1a 五 证明 1 由题知 12 lnlnxx 12 lnlnxx 12 1x x 同理 34 1x x 2 则 42 31 4242 11xx axx xxx x 42 bxx 24 b x x a 而