中考数学--动点问题题型方法归纳

用心 爱心 专心1 x AOQ P B y 图 3 AB C OE F A B C OD 图 1 AB O E F C 图 2 x y M C D P QO A B 动点问题动点问题 题型方法归纳题型方法归纳 动态几何特点 问题背景是特殊图形 考查问题也是特殊图形 所以要把握好一般与特殊的关系 分 析过程中 特别要关注图形的特性 特殊角 特殊图形的性质 图形的特殊位置 动点问题一直是中考热点 近几年考查探究运动中的特殊性 等腰三角形 直角三角形 相似三角形 平行四边形 梯形 特殊角或 其三角函数 线段或面积的最值 下面就此问题的常见题型作简单介绍 解题方法 关键给以点拨 一 三角形边上动点一 三角形边上动点 1 2009 年齐齐哈尔市 直线 3 6 4 yx 与坐标轴分别交于AB 两点 动点PQ 同时从O点出发 同时到达A点 运动停止 点Q沿线段OA运动 速度为每秒 1 个 单 位长度 点P沿路线O B A运动 1 直接写出AB 两点的坐标 2 设点Q的运动时间为t秒 OPQ 的面积为S 求出S与t之间 的函数关系式 3 当 48 5 S 时 求出点P的坐标 并直接写出以点OPQ 为顶点 的 平行四边形的第四个顶点M的坐标 提示 第 2 问按点 P 到拐点 B 所有时间分段分类 第 3 问是分类讨论 已知三定点 O P Q 探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同 分类 OP 为边 OQ 为边 OP 为边 OQ 为对角线 OP 为对角线 OQ 为边 然后画出各 类的图形 根据图形性质求顶点坐标 2 2009 年衡阳市 如图 AB 是 O 的直径 弦 BC 2cm ABC 60 1 求 O 的直径 2 若 D 是 AB 延长线上一点 连结 CD 当 BD 长为多少时 CD 与 O 相切 3 若动点 E 以 2cm s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动 同时动点 F 以 1cm s 的速度从 B 点出发沿 BC 方向运动 设运动时间为 20 tst 连结 EF 当t为何值时 BEF 为直角三角形 注意 第 3 问按直角位置分类讨论 3 2009 重庆綦江 如图 已知抛物线 1 23 3 0 ya xa 经过点 2 A 0 抛物线的顶点为 D 过O作射线OMAD 过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C B在x轴正半轴上 连 结BC 1 求该抛物线的解析式 2 若动点P从点O出发 以每秒 1 个长度单位的速度沿射线OM运动 设点P运动的 用心 爱心 专心2 P Q A B C D 时间为 t s 问当t为何值时 四边形DAOP分别为平行四边形 直角梯形 等腰梯形 3 若OCOB 动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发 分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度 单位的速度沿OC和BO运动 当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动 设它们的运动的时 间为t s 连接PQ 当t为何值时 四边形BCPQ的面积最小 并求出最小值及此时PQ的长 注意 发现并充分运用特殊角 DAB 60 当 OPQ 面积最大时 四边形 BCPQ 的面积最小 二 二 特殊四边形边上动点特殊四边形边上动点 4 2009 年吉林省 如图所示 菱形ABCD的边长为 6 厘米 60B 从初始时刻开始 点P Q同时从A点出发 点P以 1 厘米 秒的速度沿ACB 的方向运动 点Q以 2 厘米 秒的速度沿 ABCD 的方向运动 当点Q运动到D点时 P Q两点同时停止运动 设P Q运动的时 间为x秒时 APQ 与ABC 重叠部分的面积为y平方厘米 这里规定 点和线段是面积为O的三角 形 解答下列问题 1 点P Q从出发到相遇所用时间是 秒 2 点P Q从开始运动到停止的过程中 当APQ 是等边三角形时x的值 是 秒 3 求y与x之间的函数关系式 7 07 黄冈 已知 如图 在平面直角坐标系中 四边形 ABCO 是菱形 且 AOC 60 点 B 的坐标是 0 8 3 点 P 从点 C 开始以每秒 1 个单位长度的速度在线段 CB 上向点 B 移动 同时 点 Q 从 点 O 开始以每秒 a 1 a 3 个单位长度的速度沿射线 OA 方 向移动 设 08 tt 秒后 直线 PQ 交 OB 于点 D 1 求 AOB 的度数及线段 OA 的长 2 求经过 A B C 三点的抛物线的解析式 3 当 4 3 3 3 aOD 时 求 t 的值及此时直线 PQ 的解 析式 4 当a为何值时 以 O P Q D 为顶点的三角形与 OAB 相似 当a 为何值时 以 O P Q D 为顶点的三角形与OAB 不相似 请给出你的结论 并加 以证明 8 08 黄冈 已知 如图 在直角梯形COAB中 OCAB 以O为原点建立平面直角坐标系 ABC 三点的坐标分别为 8 0 810 0 4 ABC 点D为线段BC的中点 动点P从点O出发 以每秒 1 个单位的速度 沿折线OABD的路线移动 移动的时间为t秒 1 求直线BC的解析式 2 若动点P在线段OA上移动 当t为何值时 四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的 2 7 B ACD P O Q x y 用心 爱心 专心3 y O x C N B P MA 3 动点P从点O出发 沿折线OABD的路线移动过程中 设OPD 的面积为S 请直接写出S与 t的函数关系式 并指出自变量t的取值范围 4 当动点P在线段AB上移动时 能否在线段OA上找到一点Q 使四边形CQPD为矩形 请求出 此时动点P的坐标 若不能 请说明理由 9 09 年黄冈市 如图 在平面直角坐标系xoy中 抛物线 2 14 10 189 yxx 与x轴的交点为点 A 与 y 轴的交点为点B 过点B作x轴的平行线BC 交抛物线于点C 连结AC 现有两动 点P Q分别从 O C两点同时出发 点P以每秒 4 个单位的速度沿 OA向终点A移动 点Q以每秒 1 个单位的速度沿CB向点B移动 点P停止运动时 点Q也同时停止运动 线 段OC PQ相交于点D 过点D作DE OA 交CA于点E 射线QE交x轴于点F 设动点P Q移动的时间为 t 单位 秒 1 求A B C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标 2 当t为何值时 四边形PQCA为平行四边形 请写出计算过程 3 当 0 t 9 2 时 PQF 的面积是否总为定值 若是 求出此定值 若不是 请说明理由 4 当t为何值时 PQF为等腰三角形 请写出解答过程 提示 第 3 问用相似比的代换 得 PF OA 定值 第 4 问按哪两边相等分类讨论 PQ PF PQ FQ QF PF 三 三 直线上动点直线上动点 8 2009 年湖南长沙 如图 二次函数 2 yaxbxc 0a 的图象与x轴交于AB 两点 与 y轴相交于点C 连结ACBCAC 两点的坐标分别为 3 0 A 03 C 且当4x 和 2x 时二次函数的函数值y相等 1 求实数abc 的值 2 若点MN 同时从B点出发 均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿BABC 边运动 其中一个点 到达终点时 另一点也随之停止运动 当运动时间为t秒时 连结MN 将BMN 沿MN翻折 B 点恰好落在AC边上的P处 求t的值及点P的坐标 3 在 2 的条件下 二次函数图象的对称轴上是否存在点Q 使得以BNQ A B D C OPx y A B D C Ox y 此题备用 用心 爱心 专心4 为项点的三角形与ABC 相似 如果存在 请求出点Q的坐标 如果不存在 请说明理由 提示 第 2 问发现 特殊角 CAB 30 CBA 60 特殊图形四边形 BNPM 为菱形 第 3 问注意到 ABC 为直角三角形后 按直角位置对应分类 先画出与 ABC 相似的 BNQ 再判 断是否在对称轴上 10 2009 年兰州 如图 正方形 ABCD中 点A B的坐标分别为 0 10 8 4 点C在第一象 限 动点P在正方形 ABCD的边上 从点A出发沿A B C D匀速运动 同时动点Q以相同速度在x轴 正半轴上运动 当P点到达D点时 两点同时停止运动 设运动 的时间为t秒 1 当P点在边AB上运动时 点Q的横坐标x 长度单位 关于 运动时间t 秒 的函数图象如图 所示 请写出点Q开始运动 时的坐标及点P运动速度 2 求正方形边长及顶点C的坐标 3 在 1 中当t为何值时 OPQ的面积最大 并求此时P点 的坐标 4 如果点P Q保持原速度不变 当点P沿A B C D匀速运 动时 OP与PQ能否相等 若能 写出所有符合条件的t的值 若不能 请说明理由 注意 第 4 问按点 P 分别在 AB BC CD 边上分类讨论 求 t 值时 灵活运用等腰三角形 三线合一 11 2009 年北京市 如图 在平面直角坐标系xOy中 ABC 三个顶点的坐标分别为 6 0A 6 0B 0 4 3C 延长 AC 到点 D 使 CD 1 2 AC 过点 D 作 DE AB 交 BC 的延长线于点 E 1 求 D 点的坐标 2 作 C 点关于直线 DE 的对称点 F 分别连结 DF EF 若过 B 点的直线ykxb 将四边形 CDFE 分成周 长相等的两个四边形 确定此直线的解析式 3 设 G 为 y 轴上一点 点 P 从直线ykxb 与 y 轴的交点出发 先沿 y 轴到达 G 点 再沿 GA 到达 A 点 若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍 试确定 G 点的位置 使 P 点按照上述 要求到达 A 点所用的时间最短 要求 简述确定 G 点位置的方法 但不要求证明 提示 第 问 平分周长时 直线过菱形的中心 用心 爱心 专心5 A D P CB Q 图 1 DA P C B Q 图 2 图 3 C A D P B Q AC B P Q E D 第 问 转化为点 到 的距离加 到 中直线的距离和最小 发现 中直线与 轴夹角为 见 最短路线问题 专题 12 2009 年上海市 已知 ABC 90 AB 2 BC 3 AD BC P 为 线段 BD 上的动点 点 Q 在 射线 AB 上 且满足 AB AD PC PQ 如图 1 所示 1 当 AD 2 且点Q与点B重合时 如图 2 所示 求线段PC的长 2 在图 8 中 联结AP 当 3 2 AD 且点Q在线段AB上时 设点B Q 之间的距离为x APQ PBC S y S 其中 APQ S 表示 APQ 的面积 PBC S 表示PBC 的面积 求y关于x的函数解析式 并写出函数定义 域 3 当ADAB 且点Q在线段AB的延长线上时 如图 3 所示 求QPC 的大小 注意 第 2 问 求动态问题中的变量取值范围时 先动手操作找到运动始 末两个位置变量的取值 然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围 当 PC BD 时 点 Q B 重合 x 获得最小值 当 P 与 D 重合时 x 获得最大值 第 3 问 灵活运用 SSA 判定两三角形相似 即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用 SSA 来判定 两个三角形相似 或者用同一法 或者证 BQP BCP 得 B Q C P 四点共圆也可求解 14 2009 年河北 如图 在 Rt ABC中 C 90 AC 3 AB 5 点P从点C出发沿CA以每秒 1 个 单位长的速度向点A匀速运动 到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回 点Q从点A出发沿AB以每秒 1 个单位长的速度向点B匀速运动 伴随着P Q的运动 DE保持垂直平分PQ 且交PQ于点D 交折线 QB BC CP于点E 点P Q同时出发 当点Q到达点B时停止运动 点P也随之停止 设点P Q运动的 时间是t秒 t 0 1 当t 2 时 AP 点Q到AC的距离是 2 在点P从C向A运动的过程中 求 APQ的面积S与t的函数关系式 不必写出t的取值范围 3 在点E从B向C运动的过程中 四边形QBED能否成为直角梯形 若能 求t的值 若不能 请说 明理由 4 当DE经过点C 时 请直接写出t的值 用心 爱心 专心6 提示 按哪两边平行分类 按要求画出图形 再结合图形性质求出 t 值 有二种成立的情形 按点 P 运动方向分类 按要求画出图形再结合图形性质求出 t 值 有二种情形 t 时 时 15 2009 年包头 已知二次函数 2 yaxbxc 0a 的图象经过点 10 A 2 0 B 02 C 直线xm 2m 与x轴交于点D 1 求二次函数的解析式 2 在直线xm 2m 上有一点E 点E在第四象限 使得EDB 为顶点的三角形与以 AOC 为顶点的三角形相似 求E点坐标 用含m的代数式表示 3 在 2 成立的条件下 抛物线上是否存在一点F 使得四边形ABEF为平行四边形 若存在 请 求出m的值及四边形ABEF的面积 若不存在 请说明理由 提示 第 2 问 按对应锐角不同分类讨论 有两种情形 第 3 问 四边形 ABEF 为平行四边形时 E F 两点纵坐标相等 且 AB EF 对第 2 问中两种情形 分别讨论 四四 抛物线上动点抛物线上动点 16 2009 年湖北十堰市 如图 已知抛物线3 2 bxaxy a 0 与x轴交于点A 1 0 和点B 3 0 与y轴交于点C 1 求抛物线的解析式 2 设抛物线的对称轴与x轴交于点M 问在对称轴上是否存在点P 使 CMP为等腰三角形 若存在 请直接写出所有符合条件的点P的坐标 若不存在 请说明理