中考复习讲义2——方程与不等式

1 一切为了孩子 教学内容教学内容 方程与不等式方程与不等式 中考回顾中考回顾 2011 4 不等式 x 2 0 的解集在数轴上表示正确的是 x 1 2 B 2012 7 如图函数2yx 和4yax 的图象相交于 A m 3 则不等式24xax 的解集为 A 3 2 x B 3x C 3 2 x D 3x A 2013 3 方程 x 2 x 3 0 的解是 A x 2 B x C x1 x2 3 D x1 2 x2 3 2 3 D 6 不等式组的最小整数解为 12 2 x x A B 0 C 1 D 21 2 一切为了孩子 B 2014 10 不等式组的所有整数解的和是 3x60 42x0 2 2015 不等式组的解集在数轴上表示为 13 05 x x C 解析 本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示 由不等式 x 5 0 解得 x 5 由不 等式 3 x 1 解得 x 2 则该不等式组的解集为 5 x 2 故 C 选项符合 19 9 分 已知关于 x 的一元二次方程 x 3 x 2 m 1 求证 对于任意实数 m 方程总有两个不想等的实数根 2 若方程的一个根是 1 求 m 的值及方程的另一个根 1 分析 先化简一元二次方程 列出根的判别式 再根据绝对值为非负数 得到根的判别式与 0 的大 小关系即可得证 2 分析 当 x 1 时 代入原方程得到 的值 根据绝对值的非负性 得到 m 有两个值 再分别代入原方 程进行求解 520 520 520 520 CD B A 3 一切为了孩子 知识点梳理知识点梳理 考点一 一元一次方程考点一 一元一次方程 1 1 方程方程 含有未知数的等式叫做方程 2 2 方程的解方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解 3 3 等式的性质等式的性质 1 等式的两边都加上 或减去 同一个数或同一个整式 所得结果仍是等式 2 等式的两边都乘以 或除以 同一个数 除数不能是零 所得结果仍是等式 4 4 一元一次方程一元一次方程 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程 其中方程 叫做一元一次方程的标准形式 a 是未知数 x 的系数 b 是常数项 为未知数 0ax0 bax 5 5 一元一次方程解法的一般步骤一元一次方程解法的一般步骤 整理方程 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1 检验方程的解 解一元一次方程的一般步骤 步步 骤骤 名名 称称方方 法法依依 据据注注 意意 事事 项项 1 去分去分 母母 在方程两边同时乘以所有分 母的最小公倍数 即把每个含 分母的部分和不含分母的部分 都乘以所有分母的最小公倍数 等式性质 2 1 不含分母的项也要乘以最小公 倍数 2 分子是多项式的一定要 先用括号括起来 2 去括去括 号号 去括号法则 可先分配再去括 号 乘法分配律 注意正确的去掉括号前带负数的 括号 4 一切为了孩子 3 移项移项 把未知项移到方程的一边 左边 常数项移到另一边 右边 等式性质 1移项一定要改变符号 4 合并合并 同类同类 项项 分别将未知项的系数相加 常数项相加 1 整式的加减 2 有理数的加法 法则 单独的一个未知数的系数为 1 5 系数系数 化为化为 1 1 在方程两边同时除以未知数 的系数 或方程两边同时乘以 未知数系数的倒数 等式性质 2 不要颠倒了被除数和除数 未知 数的系数作除数 分母 6 检根 x a 方法 把 x a 分别代入原方程的两边 分别计算出结果 若 左边 右边 则 x a 是方程的解 若 左边 右边 则 x a 不是方程的解 注 当题目要求时 此步骤必须表达出来 说明 1 上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤 但并不是说 解每一个方程都必须经过六 个步骤 2 解方程时 一定要先认真观察方程的形式 再选择步骤和方法 3 对于形式较复杂的方程 可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式 再依照一般方 法解 考点二 一元二次方程考点二 一元二次方程 1 1 一元二次方程一元二次方程 含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 2 2 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 它的特征是 等式左边是一个关于未知数 x 的二次多项式 等式右边是零 0 0 2 acbxax 其中叫做二次项 a 叫做二次项系数 bx 叫做一次项 b 叫做一次项系数 c 叫做常数项 2 ax 3 3 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 1 直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法 直接开平方法适用于解形 5 一切为了孩子 适用无一次项的 方程 如的一元二次方程 根据平方根的定义可知 是 b 的平方根 当时 bax 2 ax 0 b 当 bb 那么 a c b c 性质 2 不等式两边乘以 或除以 同一个正数 不等号的方向不变 即如果 a b c 0 那么 ac bc 或 a c b c 性质 3 不等式两边乘以 或除以 同一个负数 不等号的方向改变 即如果 a b c 0 那么 ac a c b c 不等式的其他性质 若 a b 则 bb b c 则 a c 若 a b 且 b a 则 a b 若 a 0 则 a 0 3 3 一元一次不等式一元一次不等式 1 一元一次不等式的概念 一般地 不等式中只含有一个未知数 未知数的次数是 1 且不等式的两边都是整式 这样的不等式叫 9 一切为了孩子 做一元一次不等式 2 一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的一般步骤 去分母 去括号 移项 合并同类项 将 x 项的系数化为 1 4 4 一元一次不等式组一元一次不等式组 1 一元一次不等式组的概念 几个一元一次不等式合在一起 就组成了一个一元一次不等式组 几个一元一次不等式的解集的公共部分 叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集 求不等式组的解集的过程 叫做解不等式组 当任何数 x 都不能使不等式同时成立 我们就说这个不等式组无解或其解为空集 2 一元一次不等式组的解法 分别求出不等式组中各个不等式的解集 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分 即这个不等式组的解集 要点诠释 要点诠释 用符号 表示不等关系的式子 叫做不等式 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表 不等式组 其中 a b 图示解集口诀 xa xb x b 同大取大 xa xb x a 同小取小 xa xb a x b 大小 小大中间找 xa xb 空集小小 大大找不到 10 一切为了孩子 典型例题典型例题 类型一 一元一次方程类型一 一元一次方程 例 1 关于 x 的一元一次方程 k2 1 xk 1 k 1 x 8 0 的解为 分析 由一元一次方程的定义可知 原方程是一元一次方程 则有两种情况 当 k 1 1 即 k 2 时 原方程 3x x 8 0 解之得 x 2 当 k2 1 0 且 k 1 0 时 也就是当 k 1 时 原方程化为 2x 8 0 解之得 x 4 所以原方程的解为 x 2 或 x 4 故答案为 x 2 或 x 4 解答 x 2 或 x 4 点评 运用一元一次方程的概念特征解题 可以从两个方向把握 其一是应用概念的本质属性作出正 确的判断 其二是在这一概念下 据概念具备的本质特征得出相应的结论 如本例中的 k 1 1 和 k 1 0 且 k 1 0 在解题过程中不断探索 实现解题目的 例 2 解下列方程 1 21 3 x 51 6 x 1 分析 对于 1 将方程的两边同乘以 6 约去分母 对第 2 题 不难看出 先用分配律简化方 程 再求解较容易 解答 1 去分母 得 2 2x 1 5x 1 6 去括号 得 4x 2 5x 1 6 移项 得 x 3 两边同乘以 1 得 x 3 对应练习 1 73 2 a x2 3x 1 是关于 x 的一元一次方程 则 a 2 街房三角形花园的周长是 30cm 一边长为 x 2y m 另一边长为 y 2 m 则第三边长为 3 若式子 12 3 9 y 与式子 5 y 4 的值相等 则 y 4 代数式 2 25 x x 与 x 2 的值互为相反数 则所列方程为 x 5 若 x 5 为方程 2732 4312 xxmx 的解 则 m 6 3 4 4 3 1 2 x 1 4 8 3 2 x 11 一切为了孩子 类型一 一元二次方程类型一 一元二次方程 例 1 牡丹江 若关于 x 的一元二次方程为 ax2 bx 5 0 a 0 的解是 x 1 则 2013 a b 的值是 A 2018B 2008C 2014D 2012 对应练习 1 黔西南州 已知 x 1 是一元二次方程 x2 ax b 0 的一个根 则代数式 a2 b2 2ab 的值是 例 2 宁夏 一元二次方程 x x 2 2 x 的根是 A 1B 2C 1 和 2D 1 和 2 例 3 佛山 用配方法解方程 x2 2x 2 0 例 4 兰州 解方程 x2 3x 1 0 例 5 乐山 已知关于 x 的一元二次方程 x2 2k 1 x k2 k 0 1 求证 方程有两个不相等的实数根 2 若 ABC 的两边 AB AC 的长是这个方程的两个实数根 第三边 BC 的长为 5 当 ABC 是等腰三角形时 求 k 的值 例 6 已知关于x的方程 22 2 1 740 xaxaa 的两根为 1 x 2 x 且满足 1212 3320 x xxx 求 2 42 1 4 a aa 的值 12 一切为了孩子 对应练习 1 陕西 一元二次方程 x2 3x 0 的根是 2 白银 现定义运算 对于任意实数 a b 都有 a b a2 3a b 如 3 5 32 3 3 5 若 x 2 6 则实数 x 的值是 3 山西 解方程 2x 1 2 x 3x 2 7 4 2010 湖北孝感 22 10 分 已知关于x的方程有两个实数根x1 x2 0 1 2 22 kxkx 1 求k的取值范围 4 分 2 若 1212 1xxx x 求k的值 6 分 5 2010 广东广州 19 10 分 已知关于x的一元二次方程 0 01 2 abxax 有两个相等的实数根 求 4 2 22 2 ba ab 的值 6 2010 四川南充 关于x的一元二次方程 2 30 xxk 有两个不相等的实数根 1 求k的取值范围 2 请选择一个k的负整数值 并求出方程的根 7 2010 年贵州毕节 已知关于x的一元二次方程 22 21 0 xmxm 有两个实数根 1 x 和 2 x 1 求实数m的取值范围 2 当 22 12 0 xx 时 求m的值 13 一切为了孩子 8 若关于x的一元二次方程 012 2 2 22 kxkx 有实数根 求实数k的取值范围 设 k t 求t的最小值 类型三 分式方程类型三 分式方程 例 1 解方程 思路点拨 先去分母将分式方程化为整式方程 求出整式方程的解 再进行检验 答案与解析 方程两边都乘以 得 22 1 2 1 1 1 21 2 3 3 x xxxx xxxx x x 即 经检验 是原方程的根 总结升华 首先要确定各分式分母的最简公分母 在方程两边乘这个公分母时不要漏乘 解完后记着要验根 例 2 解分式方程 21 2 33 x xx 答案 方程两边同乘以 得3x 22 3 1xx 2261xx 5x 经检验 是原方程的解 5x 所以原方程的解是 5x 例 3 若解分式方程产生增根 则 m 的值是 211 1 1 xmx xx xx 14 一切为了孩子 A B C D 思路点拨 先把原方程化为整式方程 再把可能的增根分别代入整式方程即可求出 m 的值 答案 D 对应练习 1 若关于的方程无解 则的值是 x2 33 2 x m x x m 2 2 解分式方程 y y y y y yy 2 2 3 1 56 2 2 3 方程的解是x 2 2 1 2 3 xx x 4 若解分式方程 产生增根 则 m 的值是 2x x 1 m 1 x2 x x 1 x 1 或 2 B 1 或 2 1 或 2 1 或 2 5 方程的解是 5 1 1x 6 方程的解是 2 31 xx 类型四 二元一次方程组类型四 二元一次方程组 例 1 解方程组 xy xy 31 3252 简析 本题特点适用于代入消元和加减消元两种方法 若在平面直角坐标系中画出两个方程所代表的两 条直线 然后标出交点坐标 也可以求出方程组的解 即为图象法解方程组 解解法一 代入消元法 由得 x y 33 把代入 得 3 325 9325 4 yy yy y 15 一切为了孩子 把y 4代入 得 x x 34 1 所以 x y 1 4是原方程组的解 解解法二 加减消元法 将两边同时乘以 3 得 3393xy 由 得 y 4 把y 4代入 得 x x 43 1 所以 x y 1 4是原方程组的解 解解法三 由可得 y x 3 由可得 y x 35 2 在同一个平面直角坐标系中作出一次函数y x 3和一次函数 y x 35 2 的图象 观察图象得交点为 1 4 所以方程组的解是 x y 1 4 说明 说明 代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 1 在方程组中选一个系数比较简单的方程 将这个方程变形成用含一个未知数的代数式表示另一个 未知数的形式 一般称这个等式为关系式 16 一切为了孩子 2 将关系式代入另一个方程 消去一个未知数 得到一个一元一次方程 3 解这个一元一次方程求得一个未知数的值 再将它代入关系式 求得另一个未知数的值 4 把求得的未知数的值用联立符号表示出来 加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 1 使方程组中准备消掉的未知数在两个方程中的系数的绝对值相等 2 把两个方程的两边分别相加或相减 得到一个一元一次方程 3 解这个一元一次方程求得一个未知数的值 再将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方 程 求出另一个未知数的值 4 把求得的两个未知数的值按字母顺序用联立符号表示出来 图象法的使用不如上面两种方法普遍 它只对交点的横 纵坐标都是整数值时适宜 其他情况下得进行 估值 对应练习 1 若关于x y的二元一次方程组的解也是二元一次方程 的解 则k的值为 kyx kyx 9 5 632 yx A B C D 4 3 4 3 3 4 3 4 2 已知是方程组的解 则a b的值是 x2 y1 axby5 bxay1 A B C D 1 234 3 解方程组 10 3 xy yx 类型五 不等式类型五 不等式 例 1 解不等式 7 3 13 2 1x x 并在数轴上表示它的解集 17 一切为了孩子 解 解 去分母 得14 3136xx 去括号 得143396xx 移项后 合并得1133x 不等式两边同乘以 11 得x 3 它的解集在数轴上表示如图 说明 一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法相类似 应特别注意的是 当不等式的两边都乘以 或除以同一个负数时 不等号的方向必须改变 本题可先去分母 此时不要漏乘 再去括号 然后化成 axb 或axb 的形式 最后得出解集 例 2 求不等式组 3245 31 2 25 3 1 xx xx 的整数解 解 解 解不等式3245xx 得x 3 解不等式 31 2 25 3 1 xx 得 x 5 不等式组的解集为 7 5 3x 其中整数解为 1 0 1 2 说明 不等式组的解集是组成不等式组的每一个不等式解集的公共部分 因此 解一元一次不等式是解 一元一次不等式组的基础 会用数轴表示一元一次不等式的解集是正确求出一元一次不等式组解集的可靠保 证 对应练习 1 不等式组的解集是 x 1 x 2 A x 1 B x 2 C 1 x 2 D x 2 2 20142014 年江苏南通年江苏南通 3 3 分 分 若关于x的一元一次不等式组无解 则a的取值范围是 x1 0 4 3 2 1 0 1 2 3 18 一切为了孩子 A B C D a1 a 1a1 a 1 3 20142014 年江苏徐州年江苏徐州 5 5 分 分 解不等式组 x02 12x1 3 5 20142014 年江苏连云港年江苏连云港 6 6 分 分 解不等式 并把解集在数轴上表示出来 x 2153x 6 不等式组的解集是 2x1 1 3x 1 7 解不等式 并将它的解集在数轴上表示出来 2x1 2x 3 课后作业课后作业 一 选择题一 选择题 1 点在第三象限 那么值是 41 2 A mm m 1 2 m 4m 1 4 2 m 4m 2 不等式组的解集是 x 则的取值范围是 ax x3 aa 3 B 3 3 2 m 的解集为 x 1 则 m 的取值范围是 12 已知关于 x 的方程 10 x2 m 3 x m 7 0 若有一个根为 0 则 m 这时方程的另一个根是 13 不等式组的解集是 x m 2 则 m 的取值应为 2 12 mx mx 14 用换元法解方程 若设 则可得关于 y 的整式方程为4 1 1 2 x x x x y x x 1 三 解答题三 解答题 15 解方程 1 2x 3 2 3x 2 2 20 一切为了孩子 2 解方程 112 6221 3xx 16 解不等式组 并把其解集在数轴上表示出来 3 3 2 1 3 1 8 x x xx 四 四 本题共本题共 2 2 小题 每小题小题 每小题 8 8 分 满分分 满分 1616 分分 17 如图 8 块相同的长方形地砖拼成一个长方形 每块长方形地砖的长和宽分别是多少 60cm 18 某科技公司研制成功一种新产品 决定向银行贷款 200 万元资金用于生产这种产品 签定的合同约定两 年到期时一次性还本付息 利息为本金的 8 该产品投放市场后 由于产销对路 使公司在两年到期时 除还清贷款的本金和利息外 还盈余 72 万元 若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同 试求这个百分数 五 五 本题共本题共 2 2 小题 每小题小题 每小题 1010 分 满分分 满分 2020 分分 19 将 4 个数a b c d排成 2 行 2 列 两边各加一条竖直线记成 定义 ad bc 上 ab cd ab cd 述记号就叫做 2 阶行列式 若 6 求x的值 11 11 xx xx 21 一切为了孩子 20 已知关于 x y 的方程组与的解相同 求 a b 的值 1 2 byax yx 4 52 byax yx 六 六 本题满分本题满分 1212 分分 21 小华在沿公路散步 往返公交车每隔分钟就有一辆迎面而过 每隔 分钟就有一辆从小华的背后而8 40 3 来 若小华与公交车均为匀速运动 求车站每隔几分钟发一班公交车 七 七 本题满分本题满分 1212 分分 22 十一 黄金周期间 某学校计划组织 385 名师生租车旅游 现知道出租公司有 42 座和 60 座两种客车 42 座客车的租金每辆为 320 元 60 座客车的租金每辆为 460 元 1 若学校单独租用这两种车辆各需多少钱 2 若学校同时租用这两种客车 8 辆 可以坐不满 而且要比单独租用一种车辆节省租金 请你帮 助该学校选择一种最节省的租车方案 八 八 本题满分本题满分 1414 分分 23 机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦 某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为 90 千克 用油的 重复利用率为 60 按此计算 加工一台大型机械设备的实际耗油量为 36 千克 为了建设节约型社会 减少油耗 该企业的甲 乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关 1 甲车间通过技术革新后 加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到 70 千克 用油的重复利用率 仍然为 60 问甲车间技术革新后 加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克 2 乙车间通过技术革新后 不仅降低了润滑用油量 同时也提高了用油的重复利用率 并且发现在 技术革新的基础上 润滑用油量每减少 1 千克 用油量的重复利用率将增加 1 6 这样乙车间加工一 台大型机械设备的实际耗油量下降到 12 千克 问乙车间技术革新后 加工一台大型机械设备润滑用油 量是多少千克 用油的重复利用率是多少 22 一切为了孩子 中考数学总复习专题测试卷 三 参考答案中考数学总复习专题测试卷 三 参考答案 一 1 C 2 A 3 D 4 D 5 C 6 D 7 C 8 B 9 B 10 A 二 11 m 2 12 7 1 13 m 3 14 0142 2 yy 三 15 1 1 2 去分母 得