2010年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析

1 2010 年安徽省高考数学试卷 理科 年安徽省高考数学试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 50 分 分 1 5 分 2010 安徽 i 是虚数单位 A iB iC D 考点 复数代数形式的乘除运算 菁优网版权所有 分析 通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数 然后利用复数的代数运算 结合 i2 1 得结论 解答 解 故选 B 点评 本题考查复数的分式形式的化简问题 主要是乘除运算 是基础题 2 5 分 2010 安徽 若集合 A x x 则 RA A 0 B C 0 D 考点 补集及其运算 对数函数的单调性与特殊点 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 欲求 A 的补集 必须先求集合 A 利用对数的单调性求集合 A 然后得结论 解答 解 x x 0 x RA 0 故选 A 点评 本题主要考查补集及其运算 这里要注意对数中真数的范围 否则容易出错 3 5 分 2010 安徽 设向量 则下列结论中正确的是 A B C 与 垂直D 2 考点 向量的模 数量积判断两个平面向量的垂直关系 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 本题考查的知识点是向量的模 及用数量积判断两个平面向量的垂直关系 由 我们易求出向量的模 结合平面向量的数量坐标运算 对四个答案逐一进行判断 即可得到答案 解答 解 1 故不正 确 即 A 错误 故 B 错误 0 与 垂直 故 C 正确 易得不成立 故 D 错误 故选 C 点评 判断两个向量的关系 平行或垂直 或是已知两个向量的关系求未知参数的值 要熟练掌握向量平行 共线 及垂直的坐标运算法则 即 两个向量若平行 交叉相乘差为 0 两个向量若垂直 对应相乘和为 0 4 5 分 2010 安徽 若 f x 是 R 上周期为 5 的奇函数 且满足 f 1 1 f 2 2 则 f 3 f 4 A 1B 2C 2D 1 考点 函数奇偶性的性质 函数的周期性 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 利用函数奇偶性以及周期性 将 3 或 4 的函数值问题转化为 1 或 2 的函数值问题 求解即可 解答 解 若 f x 是 R 上周期为 5 的奇函数 f x f x f x 5 f x f 3 f 2 f 2 2 f 4 f 1 f 1 1 f 3 f 4 2 1 1 故选 D 点评 本题考查函数奇偶性的应用 奇 偶 函数的定义 一般地 如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x 都有 f x f x 或 f x f x 那么函数 f x 是奇 偶 函数 3 5 5 分 2010 安徽 双曲线方程为 x2 2y2 1 则它的右焦点坐标为 A B C D 考点 双曲线的简单性质 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 把双曲线方程化为标准方程可分别求得 a 和 b 进而根据 c 求得 c 焦 点坐标可得 解答 解 双曲线的 右焦点为 故选 C 点评 本题考查双曲线的焦点 把双曲线方程先转化为标准方程 然后利用 c2 a2 b2求 出 c 即可得出交点坐标 但因方程不是标准形式 很多学生会误认为 b2 1 或 b2 2 从而 得出错误结论 6 5 分 2010 安徽 设 abc 0 二次函数 f x ax2 bx c 的图象可能是 A B C D 考点 函数的图象 菁优网版权所有 专题 综合题 分类讨论 分析 当 a 0 时 二次函数开口向上 判断 C D 中 c 的符号 再确定 b 的符号 判断 C D 的正误 当 a 0 时 同样的方法判断 A B 的正误 解答 解 当 a 0 时 因为 abc 0 所以 b c 同号 由 C D 两图中可知 c 0 故 b 0 即函数对称轴在 y 轴右侧 C 不正确 选项 D 符合题意 显然 a 0 时 开口向下 因为 abc 0 所以 b c 异号 对于 A 由图象可知 c 0 则 b 0 对称轴 A 不正确 对于 B c 0 对称轴 B 选项不正确 故选 D 点评 根据二次函数图象开口向上或向下 分 a 0 或 a 0 两种情况分类考虑 另外还 要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标 还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置 等 是常考题 4 7 5 分 2010 安徽 设曲线 C 的参数方程为 为参数 直线 l 的 方程为 x 3y 2 0 则曲线 C 上到直线 l 距离为的点的个数为 A 1B 2C 3D 4 考点 圆的参数方程 菁优网版权所有 专题 计算题 压轴题 分析 由题意将圆 C 和直线 l 先化为一般方程坐标 然后再计算曲线 C 上到直线 l 距离 为的点的个数 解答 解 化曲线 C 的参数方程为普通方程 x 2 2 y 1 2 9 圆心 2 1 到直线 x 3y 2 0 的距离 直线和圆相交 过圆心和 l 平行的直线和圆的 2 个交点符合要求 又 在直线 l 的另外一侧没有圆上的点符合要求 故选 B 点评 解决这类问题首先把曲线 C 的参数方程为普通方程 然后利用圆心到直线的距离 判断直线与圆的位置关系 这就是曲线 C 上到直线 l 距离为 然后再判断知 进而得出结论 8 5 分 2010 安徽 一个几何体的三视图如图 该几何体的表面积是 A 372 B 360C 292D 280 考点 由三视图求面积 体积 菁优网版权所有 专题 计算题 压轴题 分析 三视图很容易知道是两个长方体的组合体 得出各个棱的长度 即可求出组合体 的表面积 5 解答 解 该几何体由两个长方体组合而成 其表面积等于下面长方体的全面积加上面 长方体的 4 个侧面积之和 S 2 10 8 10 2 8 2 2 6 8 8 2 360 故选 B 点评 把三视图转化为直观图是解决问题的关键 又三视图很容易知道是两个长方体的 组合体 得出各个棱的长度 把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体 的 4 个侧面积之和 9 5 分 2010 安徽 动点 A x y 在圆 x2 y2 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋 转 12 秒旋转一周 已知时间 t 0 时 点 A 的坐标是 则当 0 t 12 时 动 点 A 的纵坐标 y 关于 t 单位 秒 的函数的单调递增区间是 A 0 1 B 1 7 C 7 12 D 0 1 和 7 12 考点 函数单调性的判断与证明 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 由动点 A x y 在圆 x2 y2 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转 可知与三 角函数的定义类似 由 12 秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度 画出单位圆 很容易看出 当 t 在 0 12 变化时 点 A 的纵坐标 y 关于 t 单位 秒 的函数的单调性的变化 从而 得单调递增区间 解答 解 设动点 A 与 x 轴正方向夹角为 则 t 0 时 每秒钟旋转 在 t 0 1 上 在 7 12 上 动点 A 的纵坐标 y 关于 t 都是单调递增的 故选 D 点评 本题主要考查通过观察函数的图象确定函数单调性的问题 10 5 分 2010 安徽 设 an 是任意等比数列 它的前 n 项和 前 2n 项和与前 3n 项和 分别为 X Y Z 则下列等式中恒成立的是 A X Z 2Y B Y Y X Z Z X C Y2 XZD Y Y X X Z X 考点 等比数列 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 取一个具体的等比数列验证即可 解答 解 取等比数列 1 2 4 令 n 1 得 X 1 Y 3 Z 7 代入验算 只有选项 D 满 足 故选 D 点评 对于含有较多字母的客观题 可以取满足条件的数字代替字母 代入验证 若能 排除 3 个选项 剩下唯一正确的就一定正确 若不能完全排除 可以取其他数字验证继续 排除 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 25 分 分 11 5 分 2010 安徽 命题 对任何 x R 使得 x 2 x 4 3 的否定是 存在 x R 使得 x 2 x 4 3 6 考点 命题的否定 菁优网版权所有 专题 阅读型 分析 全称命题的否定是特称命题 只须将全称量词 任何 改为存在量词 存在 并同 时把 x 2 x 4 3 否定 解答 解 全称命题的否定是特称命题 命题 对任何 x R 使得 x 2 x 4 3 的否定是 存在 x R 使得 x 2 x 4 3 故填 存在 x R 使得 x 2 x 4 3 点评 本题主要考查了命题的否定 属于基础题之列 这类问题常见错误是 没有把全 称量词改为存在量词 或者对于 的否定改成了 而不是 12 5 分 2010 安徽 6展开式中 x3的系数等于 15 考点 二项式系数的性质 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 根据题意 易得其二项展开式 分析可得 当 r 2 时 有 C62 4 2 15x3 即可得答案 解答 解 根据题意 易得其二项展开式的通项为 Tr 1 C6r 6 r r 当 r 2 时 有 C62 4 2 15x3 则 x3的系数等于 15 故答案为 15 点评 本题考查二项式定理的应用 注意二项式的展开式的形式 特别要区分某一项的 系数与二项式系数 13 5 分 2010 安徽 设 x y 满足约束条件 若目标函数 z abx y a 0 b 0 的最大值为 8 则 a b 的最小值为 4 考点 简单线性规划的应用 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 本题考查的知识点是线性规划 处理的思路为 根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域 再根据目标函数 z abx y a 0 b 0 的最大值为 8 求出 a b 的关系式 再利用基本不等式求出 a b 的最小值 7 解答 解 满足约束条件的区域是一个四边形 如下图 4 个顶点是 0 0 0 2 0 1 4 由图易得目标函数在 1 4 取最大值 8 即 8 ab 4 ab 4 a b 2 4 在 a b 2 时是等号成立 a b 的最小值为 4 故答案为 4 点评 用图解法解决线性规划问题时 分析题目的已知条件 找出约束条件和目标函数 是关键 可先将题目中的量分类 列出表格 理清头绪 然后列出不等式组 方程组 寻 求约束条件 并就题目所述找出目标函数 然后将可行域各角点的值一一代入 最后比较 即可得到目标函数的最优解 14 5 分 2010 安徽 如图所示 程序框图 算法流程图 的输出值 x 为 12 考点 程序框图 菁优网版权所有 专题 图表型 算法和程序框图 分析 模拟执行程序框图 依次写出每次循环得到的 x 的值 当 x 12 时满足条件 x 8 退出循环 输出 x 的值为 12 8 解答 解 模拟执行程序框图 可得 x 1 满足条件 x 是奇数 x 2 不满足条件 x 是奇数 x 4 不满足条件 x 8 x 5 满足条件 x 是奇数 x 6 不满足条件 x 8 x 7 满足条件 x 是奇数 x 8 不满足条件 x 8 x 9 满足条件 x 是奇数 x 10 不满足条件 x 是奇数 x 12 满足条件 x 8 退出循环 输出 x 的值为 12 点评 本题主要考查了循环结构的程序框图 正确依次写出每次循环得到的 x 的值是解 题的关键 属于基础题 15 5 分 2010 安徽 甲罐中有 5 个红球 2 个白球和 3 个黑球 乙罐中有 4 个红球 3 个白球和 3 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐 分别以 A1 A2和 A3表示由甲 罐取出的球是红球 白球和黑球的事件 再从乙罐中随机取出一球 以 B 表示由乙罐取出 的球是红球的事件 则下列结论中正确的是 写出所有正确结论的编号 事件 B 与事件 A1相互独立 A1 A2 A3是两两互斥的事件 P B 的值不能确定 因为它与 A1 A2 A3中哪一个发生有关 考点 互斥事件的概率加法公式 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 本题是概率的综合问题 掌握基本概念 及条件概率的基本运算是解决问题的关 键 本题在 A1 A2 A3是两两互斥的事件 把事件 B 的概率进行转化 P B P B A1 P B A2 P B A3 可知事件 B 的概率是确定的 解答 解 易见 A1 A2 A3是两两互斥的事件 故答案为 点评 概率的综合问题 需要对基本概念和基本运算能够熟练掌握 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 满分小题 满分 75 分 分 16 12 分 2010 安徽 设 ABC 是锐角三角形 a b c 分别是内角 A B C 所对边 长 并且 求角 A 的值 若 求 b c 其中 b c 考点 余弦定理的应用 两角和与差的正弦函数 菁优网版权所有 专题 计算题 9 分析 1 先根据两角和与差的正弦公式展开得到角 A 的正弦值 再由角 A 的范围确定 角 A 的值 2 先根据向量数量积的运算和角 A 的值得到 cb 24 再由 a 2和余弦定理可求出 b c 的值 解答 解 1 因为 sin2A sin2B 所以 sinA 又 A 为锐角 所以 A 2 由可得 cbcosA 12 由 1 知 A 所以 cb 24 由余弦定理知 a2 b2 c2 2bccosA 将 a 2及 代入可得 c2 b2 52 2 得 c b 2 100 所以 c b 10 因此 c b 是一元二次方程 t2 10t 24 0 的两根 解此方程并由 c b 知 c 6 b 4 点评 本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦定理的应用 属基础题 17 12 分 2010 安徽 设 a 为实数 函数 f x ex 2x 2a x R 求 f x 的单调区间与极值 求证 当 a ln2 1 且 x 0 时 ex x2 2ax 1 考点 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 利用导数求闭区间上函 数的最值 菁优网版权所有 专题 导数的综合应用 分析 由 f x ex 2x 2a x R 知 f x ex 2 x R 令 f x 0 得 x ln2 列表讨论能求出 f x 的单调区间区间及极值 设 g x ex x2 2ax 1 x R 于是 g x ex 2x 2a x R 由 1 知当 a ln2 1 时 g x 最小值为 g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意 x R 都有 g x 0 所 以 g x 在 R 内单调递增 由此能够证明 ex x2 2ax 1 解答 解 f x ex 2x 2a x R f x ex 2 x R 令 f x 0 得 x ln2 10 于是当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x ln2 ln2 ln2 f x 0 f x 单调递减 2 1 ln2 a 单调递增 故 f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在 x ln2 处取得极小值 极小值为 f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 无极大值 证明 设 g x ex x2 2ax 1 x R 于是 g x ex 2x 2a x R 由 1 知当 a ln2 1 时 g x 最小值为 g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意 x R 都有 g x 0 所以 g x 在 R 内单调递增 于是当 a ln2 1 时 对任意 x 0 都有 g x g 0 而 g 0 0 从而对任意 x 0 g x 0 即 ex x2 2ax 1 0 故当 a ln2 1 且 x 0 时 ex x2 2ax 1 点评 本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明 具体涉及到导数的性质 函数增减区间的判断 极值的计算和不等式性质的应用 解题时要认真审题 仔细解答 18 12 分 2010 安徽 如图 在多面体 ABCDEF 中 四边形 ABCD 是正方形 EF AB EF FB AB 2EF BFC 90 BF FC H 为 BC 的中点 1 求证 FH 平面 EDB 2 求证 AC 平面 EDB 3 求二面角 B DE C 的大小 11 考点 直线与平面平行的判定 直线与平面垂直的判定 与二面角有关的立体几何综合 题 菁优网版权所有 专题 综合题 分析 1 设 AC 于 BD 交于点 G 则 G 为 AC 的中点 连接 EG GH 又 H 为 BC 的 中点 可得四边形 EFHG 为平行四边形 然后利用直线与平面平行判断定理进行证明 2 因为四边形 ABCD 为正方形 有 AB BC 又 EF AB 可得 EF BC 要证 FH 平面 ABCD FH 平面 ABCD 从而求解 3 在平面 CDEF 内过点 F 作 FK DE 交 DE 的延长线与 k 可知 FKB 为二面角 B DE C 的一个平面角 然后设 EF 1 在直角三角形中进行求证 解答 证明 1 设 AC 于 BD 交于点 G 则 G 为 AC 的中点 连接 EG GH 又 H 为 BC 的中点 GH AB 且 GH AB 又 EF AB 且 EF AB EF GH 且 EF GH 四边形 EFHG 为平行四边形 EG FH 而 EG 平面 EDB FH 平面 EDB 2 由四边形 ABCD 为正方形 有 AB BC 又 EF AB EF BC 而 EF FB EF 平面 BFC EF FH AB FH 又 BF FC H 为 BC 的中点 FH BC FH 平面 ABCD FH BC FH AC 又 FH EG AC EG 又 AC BD EG BD G AC 平面 EDB 3 EF FB BFC 90 BF 平面 CDEF 在平面 CDEF 内过点 F 作 FK DE 交 DE 的延长线与 k 则 FKB 为二面角 B DE C 的一个平面角 设 EF 1 则 AB 2 FC DE 又 EF DC KEF EDC sin EDC sin KEF FK EFsin KEF tan FKB FKB 60 二面角 B DE C 为 60 12 点评 此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面垂直的判断 此类问题一般先证明 两个面平行 再证直线和面平行 这种做题思想要记住 此类立体几何题是每年高考必考 的一道大题 同学们要课下要多练习 19 13 分 2010 安徽 已知椭圆 E 经过点 A 2 3 对称轴为坐标轴 焦点 F1 F2 在 x 轴上 离心率 1 求椭圆 E 的方程 2 求 F1AF2的平分线所在直线 l 的方程 3 在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点 若存在 请找出 若不存在 说明 理由 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 椭圆的标准方程 菁优网版权所有 专题 综合题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 1 设出椭圆方程 根据椭圆 E 经过点 A 2 3 离心率 建立方程组 求得几何量 即可得到椭圆 E 的方程 2 求得 AF1方程 AF2方程 利用角平分线性质 即可求得 F1AF2的平分线所在直线 l 的方程 3 假设存在 B x1 y1 C x2 y2 两点关于直线 l 对称 设出直线 BC 方程代入 求得 BC 中点代入直线 2x y 1 0 上 即可得到结论 解答 解 1 设椭圆方程为 椭圆 E 经过点 A 2 3 离心率 13 a2 16 b2 12 椭圆方程 E 为 2 F1 2 0 F2 2 0 A 2 3 AF1方程为 3x 4y 6 0 AF2方程为 x 2 设角平分线上任意一点为 P x y 则 得 2x y 1 0 或 x 2y 8 0 斜率为正 直线方程为 2x y 1 0 3 假设存在 B x1 y1 C x2 y2 两点关于直线 l 对称 直线 BC 方程为代入得 x2 mx m2 12 0 BC 中点为 代入直线 2x y 1 0 上 得 m 4 BC 中点为 2 3 与 A 重合 不成立 所以不存在满足题设条件的相异的两点 点评 本题考查椭圆的标准方程 考查直线方程 考查对称性 考查学生分析解决问题 的能力 属于中档题 20 13 分 2010 安徽 设数列 a1 a2 an 中的每一项都不为 0 证明 an 为等 差数列的充分必要条件是 对任何 n N 都有 考点 等差数列的性质 必要条件 充分条件与充要条件的判断 数学归纳法 菁优网版权所有 专题 证明题 压轴题 分析 先证必要性 设数列 an的公差为 d 若 d 0 则所述等式显然成立 若 d 0 则 再用数学归纲法证 14 明充分性 对任何 n N 都有 an 是公差为 d 的等差 数列 解答 证明 先证必要性 设数列 an的公差为 d 若 d 0 则所述等式显然成立 若 d 0 则 再证充分性 用数学归纳法证明 设所述的等式对一切 n N 都成立 首先在等式 两端同时乘 a1a2a3 即得 a1 a3 2a2 所以 a1 a2 a3成等差数列 记公差为 d 则 a2 a1 d 假设 ak a1 k 1 d 当 n k 1 时 观察如下二等式 将 代入 得 在该式两端同时乘 a1akak 1 得 k 1 ak 1 a1 kak 把 ak a1 k 1 d 代入后 整理得 ak 1 a1 kd 由数学归纳法原理知对任何 n N 都有 所以 an 是公差为 d 的等差数列 点评 本题考查等差数列 数学归纳法与充要条件等有关知识 考查推理论证 运算求 解能力 21 13 分 2010 安徽 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试 一种通常采用的测试方 法如下 拿出 n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝 要求其按品质优劣为它们排序 经 过一段时间 等其记忆淡忘之后 再让其品尝这 n 瓶酒 并重新按品质优劣为它们排序 这称为一轮测试 根据一轮测试中的两次