2012高三数学一轮复习 阶段性测试题（2） 函数

1 阶段性测试题二阶段性测试题二 函数函数 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符号题目要求的 1 文 2011 山东日照调研 函数f x ln x 1 x 0 的零点所在的大致区间是 2 x A 0 1 B 1 2 C 2 e D 3 4 答案 B 解析 f 1 ln2 20 又y ln x 1 是增函数 y 在 2 x 0 上也是增函数 f x 在 0 上是增函数 f x 在 1 2 上有且仅有一个零点 理 2011 宁夏银川一中检测 已知a是f x 2x logx的零点 若 0 x0 a 则f x0 的 1 2 值满足 A f x0 0 B f x0 0 D f x0 的符号不确定 答案 B 解析 函数f x 2x log2x在 0 上单调递增 且这个函数有零点 这个 零点是唯一的 根据函数的单调递增性知 在 0 a 上这个函数的函数值小于零 即f x0 0 点评 在定义域上单调的函数如果有零点 则只能有唯一的零点 并且以这个零点为 分界点把定义域分成两个区间 在其中一个区间内函数值都大于零 在另一个区间内函数值 都小于零 2 文 2011 辽宁丹东四校联考 若关于x的方程 logx 在区间 0 1 上有解 1 2 m 1 m 则实数m的取值范围是 A 0 1 B 1 2 C 1 2 D 0 1 答案 A 分析 要使方程有解 只要在函数y logx 0 x0 m 1 m 1 2 m 1 m 2 解析 x 0 1 logx 0 1 2 0 0 m0 得ex ex e x 2 1 ex x 0 故f x 为非奇非偶函数 又ex为增函数 e x为减函数 为增函数 ex e x 2 f x 为增函数 故选 A 3 2011 辽宁丹东四校联考 已知函数f x 2x 1 对于满足 0 x1 x2 2 的任意 x1 x2 给出下列结论 1 x2 x1 f x2 f x1 0 2 x2f x1 x2 x1 4 f f x1 f x2 2 x1 x2 2 其中正确结论的序号是 A 1 2 B 1 3 C 3 4 D 2 4 答案 D 解析 f x 2x 1 为增函数 x2 x1 f x2 f x1 0 故 1 错 排除 A B 由图知 正确 故选 D 4 2011 江西南昌调研 若函数f x x2 ax a R R 则下列结论正确的是 A 存在a R R f x 是偶函数 B 存在a R R f x 是奇函数 C 对于任意的a R R f x 在 0 上是增函数 D 对于任意的a R R f x 在 0 上是减函数 答案 A 3 解析 显然当a 0 时 f x x2是偶函数 故选 A 5 2011 安徽百校联考 已知函数f x Error 若f f 0 4a 则实数a等于 A B 1 2 4 5 C 2 D 9 答案 C 解析 f 0 20 1 2 f f 0 f 2 4 2a 4a a 2 6 2011 北京朝阳区期末 下列函数中 在 1 1 内有零点且单调递增的是 A y logx B y 2x 1 1 2 C y x2 D y x3 1 2 答案 B 解析 y logx是单调减函数 y x2 在 1 1 内先减后增 y x3是减函数 1 2 1 2 y 2x 1 单调递增 且有零点x 0 7 2011 巢湖质检 实数a 0 3 b log0 3 c 0 3的大小关系正确的是 222 A a c b B a b c C b a c D b c a 答案 C 解析 a 0 3 0 30 1 0 a 1 b log0 3 22222 0 1 b a c 8 2011 北京学普教育中心联考版 已知曲线f x xn 1 n N N 与直线x 1 交于点 P 若设曲线y f x 在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn 则 log2011x1 log2011x2 log2011x2010的值为 A log20112010 2 B 1 C log20112010 1 D 1 答案 B 解析 f x n 1 xn k f 1 n 1 点P 1 1 处的切线方程为 y 1 n 1 x 1 令y 0 得 x 1 即xn x1 x2 x2010 1 n 1 n n 1 n n 1 则 1 2 2 3 3 4 2010 2011 1 2011 log2011x1 log2011x2 log2011x2010 log2011 x1 x2 x2010 log2011 1 故选 B 1 2011 9 2011 浙江宁波八校联考 集合P n n lnk k N N 若a b P 则a b P 4 那么运算 可能是实数运算中的 A 加法 B 减法 C 乘法 D 除法 答案 A 解析 设a lnk1 b lnk2 k1 k2 N N 则a b lnk1 lnk2 ln k1k2 k1k2 N N a b P 故 可以是实数运算中的加法 10 2011 华安 连城 永安 漳平 龙海 泉港六校联考 已知函数y f x 是偶函 数 且函数y f x 2 在 0 2 上是单调减函数 则 A f 1 f 2 f 0 B f 1 f 0 f 2 C f 0 f 1 f 2 D f 2 f 1 f 1 f 0 f x 为 偶函数 f 0 f 1 0 则f x ax2 1 在 0 上单调增 f x a2 1 eax在 0 上单调增 Error 1 a 2 同理 当a 0 时 可求得a 故选 A 2 理 2011 福州市期末 如图 有一直角墙角 两边的长度足够长 在P处有一棵树与 两墙的距离分别是am 0 a8 时 在x a时 矩 形面积取最大值u a 16 a 在 a 12 上为减函数 故选 C 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 4 分 共 16 分 把正确答案填在题中横线上 13 2011 四川资阳模拟 函数f x 2x b 点P 5 2 在函数f x 的反函数f 1 x 的 图象上 则b 答案 1 解析 点P在函数f x 的反函数图象上 P 2 5 在f x 的图象上 22 b 5 b 1 14 文 2011 黑龙江哈六中期末 已知f x logax a 0 且a 1 满足f 9 2 则 f 3a 答案 3 解析 f 9 2 loga9 2 a 3 f 3a log33a a 3 理 2011 山东省实验中学诊断 函数y ax 1 a 0 且a 1 的图像恒过定点A 若点 A在一次函数y mx n的图像上 其中m n 0 则 的最小值为 1 m 1 n 答案 4 解析 当x 1 时 y a1 1 1 A 1 1 由题意知 m n 1 m 0 n 0 m n 2 1 m 1 n 1 m 1 n n m m n 2 2 4 等号在m n 时成立 n m m n 1 2 6 的最小值为 4 1 m 1 n 15 文 2011 山东潍坊诸城 定义 F x y yx x 0 y 0 已知数列 an 满足 an n N N 若对任意正整数n 都有an ak k N N 成立 则ak的值为 F n 2 F 2 n 答案 8 9 解析 由F x y 的定义知 an n N N 对任意正整数n 都有an ak成立 2n n2 ak为数列 an 中的最小项 由指数函数与幂函数的增大速度及 a1 2 a2 1 a3 a4 1 知 当a 4 时 恒有an 1 对 n N N 有an a3 成立 8 9 8 9 理 2011 山东淄博一中期末 已知函数f x 满足f x 1 且f x 是偶函数 1 f x 当x 0 1 时 f x x 若在区间 1 3 内 函数g x f x kx k有四个零点 则实 数k的取值范围是 答案 0 1 4 解析 f x 1 f x 2 f x f x 是周期为 2 的周期函数 当 1 f x x 1 0 时 x 0 1 f x x 又f x 为偶函数 f x x 当x 1 2 时 x 2 1 0 f x 2 x 2 f x x 2 同理当x 2 3 时 f x x 2 在区间 1 3 上f x 的解析式为 f x Error g x 在 1 3 内有四个零点 f x 与y kx k的图象在 1 3 内有四个交点 y kx k过定点A 1 0 又B 3 1 kAB 01 5 4 lne 2 1 3 2tan 5 4 2 1 1 又 lg100 2 1 3 1 3 lg100 1 2 3 1 原式 3 1 4 1 3 3 1 2 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 2011 湖南长沙月考 工厂生产某种产品 次品率p与日产量 x 万件 间的关系为p Error c为常数 且 0 cc时 p y x 3 x 0 2 3 1 2 3 2 3 3 2 当 0c时 日盈利额为 0 当 0 x c时 y 3 9x 2x2 2 6 x 8 y 3 2 9 4x 6 x 9x 2x2 6 x 2 3 x 3 x 9 6 x 2 令y 0 得x 3 或x 9 舍去 当 0 c0 y在区间 0 c 上单调递增 y最大值 f c 3 9c 2c2 2 6 c 当 3 c0 在 3 c 上y 0 y在 0 3 上单调递增 在 3 c 上单调递减 y最大值 f 3 9 2 综上 若 0 c 3 则当日产量为c万件时 日盈利额最大 若 3 c1 时 函数f x 在 k 2k 内是否存在零点 解析 1 当k 0 时 f x ex x f x ex 1 令f x 0 得 x 0 当x 0 时f x 0 时 f x 0 f x 在 0 上单调减 在 0 上单调增 f x min f 0 1 对 x R f x 1 f x 1 0 恒成立 欲使g x 定义域为R 应有m 1 实数m的取值范围是 1 2 当k 1 时 f x ex k x f x ex k 1 0 在 k 2k 上恒成立 f x 在 k 2k 上单调增 又f k ek k k 1 k0 h k 在k 1 时单调增 h k e 2 0 即f 2k 0 由零点存在定理知 函数f x 在 k 2k 内存在零点 理 2010 厦门三中阶段测试 已知f x lnx x2 bx 1 若函数f x 在其定义域内是增函数 求b的取值范围 2 当b 1 时 设g x f x 2x2 求证函数g x 只有一个零点 9 解析 1 f x 在 0 上递增 f x 2x b 0 对x 0 恒成立 1 x 即b 2x对x 0 恒成立 1 x 只需b min x 0 1 x 2x x 0 2x 2 当且仅当x 时取 1 x2 2 2 b 2 2 b的取值范围为 2 2 2 当b 1 时 g x f x 2x2 lnx x2 x 其定义域是 0 g x 2x 1 1 x 2x2 x 1 x x 1 2x 1 x 令g x 0 即 0 2x 1 x 1 x x 0 x 1 当 0 x0 当x 1 时 g x 0 函数g x 在区间 0 1 上单调递增 在区间 1 上单调递减 当x 1 时 g x g 1 即g x 0 且 1 即 2b a 2b a 若a 1 则b 2 1 若a 2 则b 2 1 1 10 若a 3 则b 2 1 1 若a 4 则b 2 1 1 2 若a 5 则b 2 1 1 2 所求事件包含基本事件的个数是 2 3 3 4 4 16 所求事件的概率为 16 36 4 9 2 由条件知a 0 同 1 可知当且仅当 2b a且a 0 时 函数f x ax2 4bx 1 在区间 1 上为增函数 依条件可知试验的全部结果所构成的区域 Error 为 OAB 所求事件构成区域为如图阴影部分 由Error 得交点D 16 3 8 3 所求事件的概率为P 1 2 8 8 3 1 2 8 8 1 3 理 2011 高青一中月考 已知集合A x 1 x 0 集合 B x ax b 2x 1 0 0 a 2 1 b 3 1 若a b N N 求A B 的概率 2 若a b R R 求A B 的概率 分析 令f x ax b 2x 1 A B 即存在x 1 0 使f x 0 只须f x 在x 1 0 上的最小值f x min0 即f x 在 1 0 在上是单调增函数 f x 在 1 0 上的最小值为 a 1 b 2 要使A B 只须 a 10 b 2 所以 a b 只能取 0 1 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 7 组 所以A B 的概率为 7 9 2 因为a 0 2 b 1 3 所以 a b 对应的区域是边长为 2 的正方形 如图 面 积为 4 由 1 可知 要使A B 只须f x min a 1 0 2a b 2 0 b 2 所以满足A B 的 a b 对应的区域是如图阴影部分 所以S阴影 2 2 1 1 2 1 2 15 4 所以A B 的概率为P 15 4 4 15 16 20 本小题满分 12 分 2010 广东省中山市四校联考 5 12 汶川大地震是华人心 中永远的痛 在灾后重建中拟在矩形区域ABCD内建一矩形 与原方位一样 的汶川人民纪念 广场 如图 另外AEF内部有一废墟作为文物保护区不能占用 经测量 AB 100m BC 80m AE 30m AF 20m 如何设计才能使广场面积最大 解析 建立如图所示的直角坐标系 则E 30 0 F 0 20 12 线段EF的方程是 1 0 x 30 x 30 y 20 在线段EF上取点P m n 作PQ BC于点Q PR CD于点R 设矩形PQCR的面积为 S 则S PQ PR 100 m 80 n 又 1 0 m 30 n 20 m 30 n 20 1 m 30 S 100 m 80 20 2m 3 m 5 2 0 m 30 2 3 18050 3 当m 5m 时 S有最大值 此时 EP PF 30 5 5 5 1 故当矩形广场的两边在BC CD上 一个顶点在线段EF上 且这个顶点分EF成 5 1 时 广场的面积最大 21 本小题满分 12 分 2011 吉林省实验中学模拟 2010 年 11 月在广州召开亚运会 某小商品公司开发一种亚运会纪念品 每件产品的成本是 15 元 销售价是 20 元 月平均销 售a件 通过改进工艺 产品的成本不变 质量和技术含金量提高 市场分析的结果表明 如果产品的销售价提高的百分率为x 0 x 1 那么月平均销售量减少的百分率为x2 记改进 工艺后 该公司销售纪念品的月平均利润是y 元 1 写出y与x的函数关系式 2 改进工艺后 确定该纪念品的售价 使该公司销售该纪念品的月平均利润最大 解析 1 改进工艺后 每件产品的销售价为 20 1 x 元 月平均销售量为a 1 x2 件 则月平均利润 y a 1 x2 20 1 x 15 元 y与x的函数关系式为 y 5a 1 4x x2 4x3 0 x 1 2 由y 5a 4 2x 12x2 0 得x1 x2 舍 1 2 2 3 当 0 x0 当 x 1 时 y 0 1 2 1 2 13 函数y 5a 1 4x x2 4x3 0 x0 f a f b a b 1 若a b 比较f a 与f b 的大小 2 解不等式f f x 1 2 x 1 4 3 记P x y f x c Q x y f x c2 且P Q 求c的取值范围 解析 设 1 x10 f x1 f x2 x1 x2 x1 x2 0 f x1 f x2 0 f x1 f x2 又f x