江苏省金湖县实验中学八年级数学上册《平移与旋转》教案

1 平移与旋转平移与旋转 二 重点 难点 重点 1 平移 旋转的特征 2 中心对称图形的性质及成中心对称图形的特征 难点 1 旋转的特征 2 中心对称图形的性质 学习内容 一 平移 1 图形的平移及平移中的对应元素 图形的平行移动 称为平移 如图 1 所示 ABC 沿着直尺 PQ 平移到 A B C 就可以画出 AB 的平行线 A B 也可以说 将 AB 平移到 A B P B A C B A C Q 图1 这里 将点 A 与 A 叫做对应点 把线段 AB 与线段 A B 叫做对应线段 A 与 A 叫做对应角 由此可知 点 B 的对应点是点 B 点 C 的对应点是点 C 线段 AC 的对应线段是线段 A C 线段 BC 的对应线段是 B C B 的对应角是 B C 的对应角是 C 注意 ABC 平移的方向就是由点 B 到点 B 的方向 平移的距离就是线段 BB 的长 度 2 例 1 图 2 中 ABC 由点 A 到 A 的方向 平移到 A B C 的位置 请在图中标出线 段 CA 的中点 M 以及线段 BC 上的点N 平移过后的位置 M 和 N A M BN C B N C A M 图2 解 根据平移的特点 AC 平移后得到的线段是 A C 故 AC 之中点平移后 则为 A C 的中点 另外 N 在 BC 上 故平移后它也在 B C 上相应的位置 2 平移的特征 在作平行线时 有时为了需要 将直尺与三角尺放在倾斜的位置 但无论怎样放置 总可以看出 A BABBBA CACCCA BABA CAC 故可知 平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等 对应角相等 图形的 形状与大小都未发生变化 P B C A Q 图3 C B A 实际上这里还有 BC B C 如果 BC 与 B C 不在同一直线上 在平移后还有 BC B C 请看下图 将 ABC 沿 P Q 方向平移到 A B C A B C A B C PQ 图4 这里就有 AB A B AB A B AC A C AC A C BC B C BC B C 实际上 上图中 是将 ABC 的每一点都作了平移 AABBCC 可以知道 AABBCCAABBCC 即平移后对应点所连的线段平行并且相等 但有时平移前和平移后的某两条线段在同一直线上 如图 3 这时则有 AABBAACCAABBAACCBBCC 例 2 在纸上画 ABC 和两条平行的对称轴 m n 画出 ABC 关于直线 m 的对称三角形 3 A B C 再画出 A B C 关于直线 n 对称的 A B C 观察 ABC 和 A B C 这里两个三角形的关系是什么 A B A 图5 C C B C B A n m 解 经观察 这里 ABC 和 A B C 对称 A B C 又和 A B C 对称 故 ABC 和 A B C 中 AC A C BC B C AB A B 即 A B C 为 ABC 的平移图形 二 旋转 1 图形的旋转 像下面单摆一样 一个点绕着另外一个点转动 就叫旋转 这一个悬挂点就叫做小球 旋转的中心 由此可知 旋转中心在旋转过程中保持不动 而图形的旋转由旋转中心和旋转的角度 决定 观察下图 图6 从图中可以看到点 A 旋转到点 A OA 旋转到 OA AOB 旋转到 A OB 这些都 是互相对应的点 线段与角 此时 点 B 的对应点是点 B 线段 OB 的对应线段是 OB 线段 AB 的对应线段是 A B AABB的对应角是 的对应角是 旋转中心是点 O 旋转的角度是 45 图7 O 45 B A A B 注意 上图中旋转的中心是原三角形的一个顶点 是不是在旋转时旋转中心都应该为 原图形中一点 答案是否定的 例如课本第 10 页中 做一做 中图形的旋转中心就不在一 4 个三角形上 例 3 如图 8 ABC 是等边三角形 D 是 BC 上一点 ABD 经过旋转后达到 ACE 的位 置 1 旋转中心是哪一点 2 旋转了多少度 3 如果 M 是 AB 的中点 那么经过上述旋转后 点 M 转到了什么位置 A M E C D B 图8 解 1 旋转中心是 A 2 旋转了 60 3 点 M 旋转到了 AC 的中点位置上 例 4 如图 9 点 M 是线段 AB 上一点 将线段 AB 绕着点 M 顺时针方向旋转 90 旋转 后的线段与原线段的位置关系如何 如果逆时针方向旋转 90 呢 AM B M A B 1 2 B M A 3 A B 图9 解 顺时针方向旋转 90 如图 9 2 所示 A B 与 AB 互相垂直 逆时针方向旋 转 90 如图 9 3 所示 A B 与 AB 互相垂直 由此可见 1 无论怎样旋转 线段旋转 90 后总与原来位置互相垂直 2 此例从图形中明显可以区分顺时针还是逆时针 确定旋转是有方向的 2 旋转的特征 观察图 7 与课本中 做一做 中图形 旋转都具有其规律性 图 7 中 线段 OA OB 都是绕点 O 旋转 45 角到对应线段 OA OB 而且 OAOAOBOBABA B AOBA OBAABB 在 做一做 的图形中 旋转中心是点 O 点 A B C 都是绕着点 O 旋转 60 角到对 应点 A B C 而且 OAOAOBOBOCOC ABA BBCB CCAC A CABC A BABCA B CBCAB C A 5 由此可知图形旋转的特征 图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度 对应点到旋转中心的距离相等 对应线段相等 对应角相等 图形的形状与大小都没有发 生变化 例 4 如图 10 正方形 ABCD 内一点 P PAD PDA 15 连结 PB PC 请问 PBC 是等边三角形吗 为什么 AD P Q P C B 图10 分析 本题关键是说明 PCD PBA 30 利用条件可以设想将 APD 绕点 D 逆时 针方向旋转 90 而使 A 与 C 重合 此时问题得到解决 解 将 APD 绕点 D 逆时针旋转 90 得 DP C 再作 DP C 关于 DC 的轴对称图 形 DQC 得 CDQ 与 ADP 经过对折后能够重合 这里 PDQDPDQ 90151560 则为等边三角形 故 PDQPQD 60 又 DQCAPD1801515150 则 PQCDQC36060150150 又PQQDCQ 所以 PCDDCP15 从而 PCD30PBA30 故 PCBPBC60 PBC为等边三角形 题后反思 在正方形中 由于相等的角较多 因而经常可以利用旋转的方法构建新图 形来解决实际问题 3 旋转对称图形 在日常生活中 经常可以看到一些图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身重合 如电扇的叶片旋转 120 螺旋桨旋转 180 后 都能与自身重合 像这样 绕着某点旋转一定角度后与自身重合的图形叫做旋转对称图形 思考 为什么电扇转动 120 后能与自身重合 而螺旋桨须旋转 180 后才能与自身重 合呢 实际上 可以这样考虑 一个周角是 360 电扇共有三个叶片 故而每两个叶片的 中心点相差 120 因此 电扇每转动 120 就能与自身重合 而螺旋桨同样可知须至 少转动 180 才能与自身重合一次 三 中心对称 1 中心对称图形 在上面旋转的基础上 我们把一个图形绕着中心点旋转 180 后 能与自身重合 这 种图形叫做中心对称图形 绕着的这个点叫做对称中心 由此可知 中心对称图形是特殊的旋转对称图形 特指其中旋转角度为 180 的旋转 对称图形 6 2 两个图形成中心对称 把一个图形绕着某一点旋转 180 如果它能够和另一个图形重合 那么就称这两个 图形成中心对称 这个点叫做对称中心 这两个图形中的对应点 叫做关于中心的对称点 如图 11 所示 ABC 与 ADE 是成中心对称的两个三角形 点 A 是对称中心 点 B 的对称 点是点 D 点 C 的对称点是点 E 而点 A 的对称点为点 A C B AD E 图11 点 B 绕着点 A 旋转 180 到达点 D 处 因此 B A D 三点在同一直线上 AB AD 同 理还有 CA AE 刚才研究的是对称中心是两个图形的交点 下面我们看另外一种情况 B C A O A B C 图12 观察图 12 发现 点 A 绕中心点 O 旋转 180 后到点 A 于是 A O A 三点在一直 线上 并且 AO OA 另外分别在同一直线的三点还有 C O C 和 B O B 并且 BO OB CO OC 由此可知在成中心对称的两个图形中 连结对称点的线段都经过对称中心 并且被对 称中心平分 反过来 如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点 并且都被该点平分 那么 这两个图形一定关于这一点成中心对称 即在图 12 中 如果未知 ABC 和 A B C 成中心对称 而知道 A A O BO B O CO C O 则我们可以判断 ABC 和 A B C 成中心对称 例 5 如图 13 已知 ABC 和点 O 画出 DEF 使 DEF 和 ABC 关于点 O 成中心对称 C B A D E F图13 O 解 1 连结 AO 并延长 AO 到 D 使 DO OA 于是得到点 A 的对称点 D 2 同样画出点 B 和点 C 的对称点 E 和 F 3 顺次连结 DE EF FD DEF 即为所求的三角形 本课小结 1 本章是探索在平移与旋转这两种运动与变换下图形发生的变化 通过实例 理解平移 7 与旋转两种变换过程 结合动手 理解平移旋转的特征 2 掌握平移和旋转的相同点和不同点 1 两种变换下 图形大小均未变 3 平移是把图形平行移动 它是由移动的方向和距离决定 旋转是图形绕某一点转 动它是由旋转中心和旋转角度所决定 3 搞清楚中心对称图形和两个图形成中心对称的差别与联系 模拟试题 1 在纸上任意画一个三角形 然后将此三角形沿着东偏南 60 的方向平移 3 厘米 画 出平移后的三角形 2 如图所示 ABC 与 ADE 都是等腰直角三角形 C和 AED 是直角 点 E 在 AB 上 如果 ABC 经旋转后能与 ADE 重合 则哪个点是旋转中心 旋转了多少度 D E AB C 3 如图 四边形 ABCD 是正方形 ADE 旋转后能与 ABF 重合 1 旋转中心是哪点 2 旋转 了多少度 3 如果连结 EF 则 AEF 是什么三角形 为什么 A D E FB C 4 画出图中 ADC 的中心对称三角形 以 D 为对称中心 其中 AD 是 ABC 的高 A DC 5 按要求作图 所画图形中同时要有正方形和圆 并且这个图形既是轴对称图形又是中 心对称图形 8