【2013版中考12年】浙江省台州市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题10 四边形

台州市台州市 2002 20132002 2013 年中考数学试题分类解析年中考数学试题分类解析 专题专题 1010 四边形 四边形 1 1 选择题选择题 1 1 20082008 年浙江年浙江台州台州 4 4 分 分 如图 在菱形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O E 为 AB 的中点 且 OE a 则菱形 ABCD 的周长为 A B C D 16a12a8a4a 2 2 20102010 年浙江年浙江台州台州 4 4 分 分 梯形 ABCD 中 AD BC AB CD AD 2 B 60 则下底 BC 的长是 A 3 B 4 C 23 D 2 23 答案答案 B 考点考点 梯形的性质 平行四边形 等边三角形的判定和性质 分析分析 如图 作 AE CD 于 E 点 AD BC AE CD 四边形 AECD 是平行四边形 AB CD AD 2 AE CD 2 EC AD 2 又 AB CD B 60 ABE 是等边三角形 BE 2 BC 4 故选 B 3 3 20112011 年浙江台州年浙江台州 4 4 分 分 在梯形 ABCD 中 AD BC ABC 90 对角线 AC BD 相交 于点 O 下 列条件中 不能判断对角线互相垂直的是 A 1 2 B 1 3 C 2 3 D OB2 OC2 BC2 4 4 20122012 年浙江台州年浙江台州 4 4 分 分 如图 菱形 ABCD 中 AB 2 A 120 点 P Q K 分别为 线段 BC CD BD 上的任意一点 则 PK QK 的最小值为 A 1 B C 2 D 133 答案答案 B 考点考点 菱形的性质 线段中垂线的性质 三角形三边关系 垂直线段的性质 矩形的判 定和性质 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 分析分析 分两步分析 1 若点 P Q 固定 此时点 K 的位置 如图 作点 P 关于 BD 的对称点 P1 连接 P1Q 交 BD 于点 K1 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质 得 P1K1 P K1 P1K PK 由三角形两边之和大于第三边的性质 得 P1K QK P1Q P1K1 Q K1 P K1 Q K1 此时的 K1就是使 PK QK 最小的位置 2 点 P Q 变动 根据菱形的性质 点 P 关于 BD 的对称点 P1在 AB 上 即不论 点 P 在 BC 上任一点 点 P1总在 AB 上 因此 根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质 得 当 P1Q AB 时 P1Q 最短 过点 A 作 AQ1 DC 于点 Q1 A 120 DA Q1 30 又 AD AB 2 P1Q AQ1 AD cos300 3 23 3 综上所述 PK QK 的最小值为 故选 B 3 二 填空题二 填空题 1 1 20032003 年浙江年浙江台州台州 5 5 分 分 如图是 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会的会标 它 是由四个相同的 直角三角形与中间一个大正方形的边长是 13 小正方形边长是 7 则每个直角三角形 较短的一条直 角边的长是 答案答案 5 考点考点 正方形的性质 勾股定理 分析分析 如图 大正方形的边长是 AB 13 小正方形边长是 CD 7 设直角三角形中较小边长 AC x 则 BC x 7 根据勾股定理 得 2 22 x7x13 解得 x1 5 x1 12 舍去 较短的一条直角边的长是 AC 5 2 2 20082008 年浙江年浙江台州台州 5 5 分 分 如图 四边形 ABCD EFGH NHMC 都是正方形 边长分别为 a b c A B N E F 五点在同一直线上 则 c 用含有 a b 的代数式表 示 答案答案 22 ab 考点考点 正方形的性质 全等三角形的判定和性质 勾股定理 分析分析 四边形 ABCD EFGH NHMC 都是正方形 CNB ENH 90 又 CNB NCB 90 ENH EHN 90 CNB EHN NCB ENH 又 CN NH CBN NEH ASA HE BN 在 Rt CBN 中 BC2 BN2 CN2 BC2 HE 2 CN2 又 三个正方形的边长分别为 a b c 即 BC a HE b CN c a2 b2 c2 22 cab 三 解答题三 解答题 1 1 20042004 年浙江温州 台州年浙江温州 台州 1010 分 分 附加题 1 对于任意给定的一个矩形 C 是否存在另一个矩形 使它的周长和面积都是矩 形 C 的 2 倍 请 说明你理由 2 当实数 m 是什么值时 对于任何一个矩形 C 都存在另一个矩形 它的周长与 面积都是矩形 C 的 m 倍 证明你的结论 2 设已知矩形的长与宽分别为 a b 所求矩形为 x y 则 x y 是方程 t2 m a b t mab 0 的两根 xym ab xymab 当 m2 a b 2 4mab 0 即时 方程有解 2 4ab m ab 对于长与宽分别为 a b 矩形 当时 存在周长与面积都 2 4ab m ab 是已知矩形的 m 倍的矩形 a b 2 0 a2 b2 2ab a2 b2 2ab 4ab 即 a b 2 4ab 2 4ab 1 ab 的最大值为 1 2 4ab ab 当 m 1 时 所有的矩形都有周长与面积都是已知矩形的 m 倍的矩形 考点考点 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 矩形的性质 分析分析 1 由题意可知 分别设出已知矩形和所求矩形的长与宽 再根据周长和面积的 关系可以列出两个关系式 观察两个关系式可得一个根为 xy 的一元二次方程 再根据判别 式可以确定方程是否有解 进而确定所求矩形是否存在 2 方法与 1 一样 2 2 20052005 年浙江年浙江台州台州 8 8 分 分 如图 在 4 4 的正方形方格中 ABC 和 DEF 的顶点都在 边长为 1 的小正方形的顶点上 1 填空 ABC BC 2 判断 ABC 与 DEF 是否相似 并证明你的结论 答案答案 解 1 135 2 2 考点考点 网格问题 正方形的性质 勾股定理 相似三角形的判定 分析分析 1 由正方形的性质 可得 ABC 1350 由勾股定理可得 BC 2 2 2 由正方形的性质 可得 ABC DEF 1350 由勾股定理可得 2 ABBC DEEF 从而判断 ABC DEF 3 3 20062006 年浙江年浙江台州台州 1414 分 分 善于学习的小敏查资料知道 对应角相等 对应边成比例的对应角相等 对应边成比例的 两个梯形 叫做相似梯形两个梯形 叫做相似梯形 他想到 平行于三角形一边的直线和其他两边相交 所构成的三 角形与原三角形相似 提出如下两个问题 你能帮助解决吗 问题一问题一 平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似 平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似 1 从特殊情形入手探究 假设梯形 ABCD 中 AD BC AB 6 BC 8 CD 4 AD 2 MN 是 中位线 如图 根据相似梯形的定义 请你说明梯形 AMND 与梯形 ABCD 是否相似 2 一般结论 平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形 填 相似 或 不相似 或 相似性无法确定 不要求证明 问题二问题二 平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似 1 从特殊平行线入手探究 梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形 填 相似 或 不相似 或 相似性无法确定 不要求证明 2 从特殊梯形入手探究 同上假设 梯形 ABCD 中 AD BC AB 6 BC 8 CD 4 AD 2 你能找到与梯形底边平行的直线 PQ 点 P Q 在梯形的两腰上 如图 使得梯形 APQD 与梯形 PBCQ 相似吗 请根据相似梯形的定义说明理由 3 一般结论 对于任意梯形 如图 一定 填 存在 或 不存在 平 行于梯形底边的直线 PQ 使截得的两个小梯形相似 若存在 则确定这条平行线位置的条 件是 不妨设 AD a BC b AB c CD d 不要求证明 AP PB 答案答案 解 问题一 1 梯形 AMND 与梯形 ABCD 不相似 两个梯形的腰相等 即腰的比是 1 2 而上底的比是 1 1 这两个梯形一定不相似 2 不相似 问题二 1 不相似 2 能 若梯形 APQD 与梯形 PBCQ 相似 则 即 解得 PQ 4 ADPQ PQBC 2PQ PQ8 AP PB 6 AP 2 APAD21 PBPQ42 同理可得 DQ 4 3 当 AP 2 DQ 时 形 APQD 与梯形 PBCQ 相似 4 3 3 存在 ab b 4 4 20092009 年浙江年浙江台州台州 1212 分 分 定义 到凸四边形一组对边距离相等 到另一组对边距离也 相等的点叫凸四边形的准内点 如图 1 PH PJ PI PG 则点 P 就是四边形 ABCD 的准内 点 1 如图 2 AFD 与 DEC 的角平分线 FP EP 相交于点 P 求证 点 P 是四边形 ABCD 的 准内点 2 分别画出图 3 平行四边形和图 4 梯形的准内点 作图工具不限 不写作法 但要有 必要的说明 3 判断下列命题的真假 在括号内填 真 或 假 任意凸四边形一定存在准内点 任意凸四边形一定只有一个准内点 若 P 是任意凸四边形 ABCD 的准内点 则 PA PB PC PD 或 PA PC PB PD 答案答案 解 1 证明 如图 过点 P 作 PG AB PH BC PI CD PJ AD 垂足分别为 G I J H EP 平分 DEC PJ PH 同理 PG PI P 是四边形 ABCD 的准内点 2 作图如下 平行四边形对角线 AC BD 的交点 P1就是准内点 或者取平行四边形两对 边中点连线的交点P1就是准内点 梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点 P2就是准内点 3 真 真 假 考点考点 新定义 作图 复杂作图 平行四边形和梯形的性质 分析分析 1 过点 P 作 PG AB PH BC PI CD PJ AD 由角平分线的性质可知 PJ PH 5 5 20112011 年浙江台州年浙江台州 8 8 分 分 如图 分别延长ABCD 的边 BA DC 到点 E H 使得A AE AB CH C