【三维设计】2013届高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）第八章 直线的倾斜角与斜率、直线的方程教学案 新人教A版

1 直线的倾斜角与斜率 直线的方程直线的倾斜角与斜率 直线的方程 知识能否忆起 一 直线的倾斜角与斜率 1 直线的倾斜角 1 定义 x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角 当直线与x 轴平行或重合时 规定它的倾斜角为 0 2 倾斜角的范围为 0 2 直线的斜率 1 定义 一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率 斜率常用小写字母k 表示 即k tan 倾斜角是 90 的直线没有斜率 2 过两点的直线的斜率公式 经过两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 x1 x2 的直线的斜率公式为k y2 y1 x2 x1 y1 y2 x1 x2 二 直线方程的形式及适用条件 名称几何条件方 程局限性 点斜式过点 x0 y0 斜率为ky y0 k x x0 不含垂直于x轴的直线 斜截式斜率为k 纵截距为by kx b不含垂直于x轴的直线 两点式 过两点 x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 y y1 y2 y1 x x1 x2 x1 不包括垂直于坐标轴的直 线 截距式 在x轴 y轴上的截距分别 为a b a b 0 1 x a y b 不包括垂直于坐标轴和过 原点的直线 一般式 Ax By C 0 A B不 全为 0 小题能否全取 1 教材习题改编 直线x y m 0 m k 的倾斜角为 3 A 30 B 60 C 150 D 120 解析 选 C 由k tan 0 得 150 3 3 2 2 教材习题改编 已知直线l过点P 2 5 且斜率为 则直线l的方程为 3 4 A 3x 4y 14 0 B 3x 4y 14 0 C 4x 3y 14 0 D 4x 3y 14 0 解析 选 A 由y 5 x 2 得 3x 4y 14 0 3 4 3 过点M 2 m N m 4 的直线的斜率等于 1 则m的值为 A 1 B 4 C 1 或 3 D 1 或 4 解析 选 A 由 1 得m 2 4 m m 1 4 m m 2 4 2012 长春模拟 若点A 4 3 B 5 a C 6 5 三点共线 则a的值为 解析 kAC 1 kAB a 3 5 3 6 4 a 3 5 4 由于A B C三点共线 所以a 3 1 即a 4 答案 4 5 若直线l过点 1 2 且与直线 2x 3y 4 0 垂直 则直线l的方程为 解析 由已知得直线l的斜率为k 3 2 所以l的方程为y 2 x 1 3 2 即 3x 2y 1 0 答案 3x 2y 1 0 1 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在 每条直线都有倾斜角 但不一定每条 直线都存在斜率 2 由斜率求倾斜角 一是要注意倾斜角的范围 二是要考虑正切函数的单调性 3 用截距式写方程时 应先判断截距是否为 0 若不确定 则需要分类讨论 直线的倾斜角与斜率 典题导入 例 1 1 2012 岳阳模拟 经过两点A 4 2y 1 B 2 3 的直线的倾斜角为 3 4 3 则y A 1 B 3 C 0 D 2 2 2012 苏州模拟 直线xcos y 2 0 的倾斜角的范围是 3 自主解答 1 tan y 2 因此y 2 1 y 3 3 4 2y 1 3 4 2 2y 4 2 2 由题知k cos 故k 结合正切函数的图象 当k 3 3 3 3 3 3 时 直线倾斜角 当k 时 直线倾斜角 故 0 3 3 0 6 3 3 0 5 6 直线的倾斜角的范围是 0 6 5 6 答案 1 B 2 0 6 5 6 由题悟法 1 求倾斜角的取值范围的一般步骤 1 求出斜率k tan 的取值范围 2 利用三角函数的单调性 借助图象或单位圆数形结合 确定倾斜角 的取值范 围 2 求倾斜角时要注意斜率是否存在 以题试法 1 2012 哈尔滨模拟 函数y asin x bcos x的一条对称轴为x 则直线 4 l ax by c 0 的倾斜角为 A 45 B 60 C 120 D 135 解析 选 D 由函数y f x asin x bcos x的一条对称轴为x 知 f 0 f 4 即 b a 则直线l的斜率为 1 故倾斜角为 135 2 2 2012 金华模拟 已知点A 1 3 B 2 1 若直线l y k x 2 1 与线 段AB相交 则k的取值范围是 A B 2 1 2 C 2 D 1 2 2 1 2 解析 选 D 由题意知直线l恒过定点P 2 1 如右图 若l与 4 线段AB相交 则kPA k kPB kPA 2 kPB 1 2 2 k 1 2 直 线 方 程 典题导入 例 2 1 过点 1 0 且与直线x 2y 2 0 平行的直线方程是 2 2012 东城模拟 若点P 1 1 为圆 x 3 2 y2 9 的弦MN的中点 则弦MN所在 直线的方程为 自主解答 1 设所求直线方程为x 2y m 0 由直线经过点 1 0 得 1 m 0 m 1 则所求直线方程为x 2y 1 0 2 由题意得 kMN 1 所以kMN 2 故弦MN所在直线的方程为 1 0 1 3 y 1 2 x 1 即 2x y 1 0 答案 1 x 2y 1 0 2 2x y 1 0 由题悟法 求直线方程的方法主要有以下两种 1 直接法 根据已知条件 选择适当的直线方程形式 直接写出直线方程 2 待定系数法 先设出直线方程 再根据已知条件求出待定系数 最后代入求出直线 方程 以题试法 3 2012 龙岩调研 已知 ABC中 A 1 4 B 6 6 C 2 0 求 1 ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程 2 BC边的中线所在直线的一般式方程 并化为截距式方程 解 1 平行于BC边的中位线就是AB AC中点的连线 因为线段AB AC中点坐标分别为 7 2 1 1 2 2 所以这条直线的方程为 y 2 1 2 x 1 2 7 2 1 2 5 整理一般式方程为得 6x 8y 13 0 截距式方程为 1 x 13 6 y 13 8 2 因为BC边上的中点为 2 3 所以BC边上的中线所在直线的方程为 y 4 3 4 x 1 2 1 即一般式方程为 7x y 11 0 截距式方程为 1 x 11 7 y 11 直线方程的综合应用 典题导入 例 3 2012 开封模拟 过点P 3 0 作一直线 使它夹在两直线l1 2x y 2 0 与l2 x y 3 0 之间的线段AB恰被点P平分 求此直线的方程 自主解答 法一 设点A x y 在l1上 点B xB yB 在l2上 由题意知Error 则点B 6 x y 解方程组Error 得Error 则k 8 16 3 0 11 3 3 故所求的直线方程为y 8 x 3 即 8x y 24 0 法二 设所求的直线方程为y k x 3 点A B的坐标分别为 xA yA xB yB 由Error 解得Error 由Error 解得Error P 3 0 是线段AB的中点 yA yB 0 即 0 4k k 2 6k k 1 k2 8k 0 解得k 0 或k 8 若k 0 则xA 1 xB 3 此时 3 k 0 舍去 xA xB 2 1 3 2 故所求的直线方程为y 8 x 3 即 8x y 24 0 由题悟法 解决直线方程的综合问题时 除灵活选择方程的形式外 还要注意题目中的隐含条件 若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值 6 以题试法 4 2012 东北三校联考 已知直线l过点M 2 1 且分别与x轴 y轴的正半轴交于 A B两点 O为原点 1 当 AOB面积最小时 求直线l的方程 2 当 MA MB 取得最小值时 求直线l的方程 解 1 设直线l的方程为y 1 k x 2 k 0 A B 0 1 2k 2 1 k 0 AOB的面积S 1 2k 1 2 2 1 k 4 4 4 1 2 4 4k 1 k 1 2 当且仅当 4k 即k 时 等号成立 1 k 1 2 故直线l的方程为y 1 x 2 即x 2y 4 0 1 2 2 MA MB 1 k2 14 4k2 MA MB 2 2 2 4 1 k2 14 4k2 k2 1 k2 2 当且仅当k2 即k 1 时取等号 1 k2 故直线方程为x y 3 0 1 若k 1 b三个数成等差数列 则直线y kx b必经过定点 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 解析 选 A 因为k 1 b三个数成等差数列 所以k b 2 即b 2 k 于 是直线方程化为y kx k 2 即y 2 k x 1 故直线必过定点 1 2 2 直线 2x 11y 16 0 关于点P 0 1 对称的直线方程是 A 2x 11y 38 0 B 2x 11y 38 0 C 2x 11y 38 0 D 2x 11y 16 0 解析 选 B 因为中心对称的两直线互相平行 并且对称中心到两直线的距离相等 7 故可设所求直线的方程为 2x 11y C 0 由点到直线的距离公式可得 0 11 16 22 112 解得C 16 舍去 或C 38 0 11 C 22 112 3 2012 衡水模拟 直线l1的斜率为 2 l1 l2 直线l2过点 1 1 且与y轴交于 点P 则P点坐标为 A 3 0 B 3 0 C 0 3 D 0 3 解析 选 D l1 l2 且l1斜率为 2 l2的斜率为 2 又l2过 1 1 l2的方程为y 1 2 x 1 整理即得y 2x 3 令x 0 得P 0 3 4 2013 佛山模拟 直线ax by c 0 同时要经过第一 第二 第四象限 则 a b c应满足 A ab 0 bc 0 B ab 0 bc 0 C ab 0 bc 0 D ab 0 bc 0 解析 选 A 由于直线ax by c 0 经过第一 二 四象限 所以直线存在斜率 将 方程变形为y x 易知 0 且 0 故ab 0 bc 0 a b c b a b c b 5 将直线y 3x绕原点逆时针旋转 90 再向右平移 1 个单位 所得到的直线为 A y x B y x 1 1 3 1 3 1 3 C y 3x 3 D y x 1 1 3 解析 选 A 将直线y 3x绕原点逆时针旋转 90 得到直线y x 再向右平移 1 1 3 个单位 所得直线的方程为y x 1 即y x 1 3 1 3 1 3 6 已知点A 1 2 B m 2 且线段AB的垂直平分线的方程是x 2y 2 0 则实 数m的值是 A 2 B 7 C 3 D 1 解析 选 C 线段AB的中点代入直线x 2y 2 0 中 得m 3 1 m 2 0 7 2013 贵阳模拟 直线l经过点A 1 2 在x轴上的截距的取值范围是 3 3 则其斜率的取值范围是 解析 设直线l的斜率为k 则方程为y 2 k x 1 在x轴上的截距为 1 令 2 k 8 3 1 3 解得k 1 或k 2 k 1 2 答案 1 1 2 8 2012 常州模拟 过点P 2 3 且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 解析 直线l过原点时 l的斜率为 直线方程为y x l不过原点时 设方 3 2 3 2 程为 1 将点 2 3 代入 得a 1 直线方程为x y 1 x a y a 综上 l的方程为x y 1 0 或 2y 3x 0 答案 x y 1 0 或 3x 2y 0 9 2012 天津四校联考 不论m取何值 直线 m 1 x y 2m 1 0 恒过定点 解析 把直线方程 m 1 x y 2m 1 0 整理得 x 2 m x y 1 0 则Error 得Error 答案 2 3 10 求经过点 2 2 且与两坐标轴所围成的三角形面积为 1 的直线l的方程 解 设所求直线方程为 1 x a y b 由已知可得Error 解得Error 或Error 故直线l的方程为 2x y 2 0 或x 2y 2 0 11 2012 莆田月考 已知两点A 1 2 B m 3 1 求直线AB的方程 2 已知实数m 求直线AB的倾斜角 的取值范围 3 3 1 3 1 解 1 当m 1 时 直线AB的方程为x 1 当m 1 时 直线AB的方程为y 2 x 1 1 m 1 2 当m 1 时 2 当m 1 时 m 1 0 3 3 0 3 k 1 m 13 3 3 9 6 2 2 2 3 综合 知 直线AB的倾斜角 6 2 3 12 如图 射线OA OB分别与x轴正半轴成 45 和 30 角 过 点P 1 0 作直线AB分别交OA OB于A B两点 当AB的中点C恰 好落在直线y x上时 求直线AB的方程 1 2 解 由题意可得kOA tan 45 1 kOB tan 180 30 3 3 所以直线lOA y x lOB y x 3 3 设A m m B n n 3 所以AB的中点C m 3n 2 m n 2 由点C在y x上 且A P B三点共线得Error 1 2 解得m 所以A 333 又P 1 0 所以kAB kAP 3 3 1 3 3 2 所以lAB y x 1 3 3 2 即直线AB的方程为 3 x 2y 3 0 33 1 若直线l y kx 与直线 2x 3y 6 0 的交点位于第一象限 则直线l的倾斜 3 角的取值范围是 A B 6 3 6 2 C D 3 2 6 2 解析 选 B 由Error 解得Error 两直线交点在第一象限 Error 解得k 3 3 直线l的倾斜角的范围是 6 2 2 2012 洛阳模拟 当过点P 1 2 的直线l被圆C x 2 2 y 1 2 5 截得的弦 10 最短时 直线l的方程为 解析 易知圆心C的坐标为 2 1 由圆的几何性质可知 当圆心C与点P的连线与直 线l垂直时 直线l被圆C截得的弦最短 由C 2 1 P 1 2 可知直线PC的斜率为 1 设直线l的斜率为k 则k 1 1 得k 1 又直线l过点P 所以直 2 1 1 2 线l的方程为x y 1 0 答案 x y 1 0 3 已知直线l kx y 1 2k 0 k R R 1 证明 直线l过定点 2 若直线l不经过第四象限 求k的取值范围 3 若直线l交x轴负半轴于点A 交y轴正半轴于点B O为坐标原点 设 AOB的面 积为S 求S的最小值及此时直线l的方程 解 1 证明 法一 直线l的方程可化为y k x 2 1 故无论k取何值 直线l总过定点 2 1 法二 设直线过定点 x0 y0 则kx0 y0 1 2k 0 对任意k R R 恒成立 即 x0 2 k y0 1 0 恒成立 x0 2 0 y0 1 0 解得x0 2 y0 1 故直线l总过定点 2 1 2 直线l的方程为y kx 2k 1 则直线l在y轴上的截距为 2k 1 要使直线l不经过第四象限 则Error 解得k的取值范围是 0 3 依题意 直线l在x轴上的截距为 在y轴上的截距为 1 2k A 1 2k k B 0 1 2