二项式定理教学设计

二项式定理二项式定理 一一 教案设计教案设计 教材教材 人教 A 版选修 2 3 第一章第三节 教学对象 新丰一中高二 2 学生 一 内容和内容分析一 内容和内容分析 二项式定理是初中乘法公式的推广 是排列组合知识的具体运用 是学习概率的重要 基础 本节课的教学重点是 使学生掌握二项式定理的形成过程 在教学中 采用 问 题 探究 的教学模式 把整个课堂分为呈现问题 探索规律 总结规律 应用规律四 个阶段 让学生体会研究问题的方式方法 培养学生观察 分析 概括的能力 以及化归 意识与方法迁移的能力 体会从特殊到一般的思维方式 让学生体验定理的发现和创造历 程 本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程 发现二项式展开成单项式之和时 各项系数的规律 在教学中 设置了对多项式乘法的再认识 引导学生运用计数原理来解 决项数问题 明确每一项的特征 为后面二项展开式的推导作铺垫 再以为对象 3 ba 进行探究 引导学生用计数原理进行再思考 分析各项以及项的个数 这也为推导 的展开式提供了一种方法 使学生在后续的学习过程中有 法 可依 n ba 总之 本节课遵循学生的认识规律 由特殊到一般 由感性到理性 重视学生的参与 过程 问题引导 师生互动 重在培养学生观察问题 发现问题 归纳推理问题的能力 从而形成自主探究的学习习惯 二 教学目标二 教学目标 1 1 知识与技能 知识与技能 1 理解二项式定理是代数乘法公式的推广 2 理解并掌握二项式定理 能利用计数原理证明二项式定理 2 2 过程与方法 过程与方法 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程 培养学生观察 分析 概括的能力 以 及化归的意识与方法迁移的能力 体会从特殊到一般的思维方式 3 3 情感 态度与价值观 情感 态度与价值观 培养学生的自主探究意识 合作精神 体验二项式定理的发现和创造历程 体会数学 语言的简洁和严谨 三 教学重点 难点三 教学重点 难点 重点 重点 用计数原理分析的展开式 得到二项式定理 3 ba 难点 难点 用计数原理分析二项式的展开过程 发现二项式展开成单项式之和时各项系数的 规律 四 教学过程四 教学过程 一 提出问题 引入课题一 提出问题 引入课题 引入 引入 二项式定理研究的是的展开式 如 n ba 222 2 bababa 那么的展开式是什么 3 ba 4 ba 100 ba n ba 设计意图设计意图 把问题作为教学的出发点 直接引出课题 激发学生的求知欲 明确本课 要解决的问题 二 引导探究 发现规律 二 引导探究 发现规律 1 多项式乘法的再认识 多项式乘法的再认识 问题 1 的展开式是什么 展开式有几项 每一项是怎样构成的 2121 bbaa 问题 2 展开式中每一项是怎样构成的 展开式有几项 212121 ccbbaa 设计意图设计意图 引导学生运用计数原理来解决项数问题 明确每一项的特征 为后续学习 作准备 2 展开式的再认识展开式的再认识 3 ba 探究探究1 不运算 能否回答下列问题 请以两人为一小组进行讨论 3 ba 1 合并同类项之前展开式有多少项 2 展开式中有哪些不同的项 3 各项的系数为多少 4 从上述三个问题 你能否得出的展开式 3 ba 探究探究2 仿照上述过程 请你推导的展开式 4 ba 设计意图设计意图 通过几个问题的层层递进 引导学生用计数原理对的展开式进行 3 ba 再思考 分析各项的形式 项的个数 这也为推导的展开式提供了一种方法 使 n ba 学生在后续的学习过程中有 法 可依 三三 形成定理 说理证明形成定理 说理证明 探究探究3 仿照上述过程 请你推导的展开式 n ba 二项式定理 110 NnbCbaCbaCaCba nn n kknk n n n n n n 证明 是 n 个相乘 每个在相乘时 有两种选择 选 a 或选 b 由 n ba ba ba 分步计数原理可知展开式共有项 包括同类项 其中每一项都是 n 2 的形式 对于每一项 它是由 k 个选了 b n k 个 kkn ba 1 0 nk kkn ba ba 选了 a 得到的 它出现的次数相当于从 n 个中取 k 个 b 的组合数 将它 ba ba k n C 们合并同类项 就得二项展开式 这就是二项式定理 设计意图设计意图 通过仿照 展开式的探究方法 由学生类比得出 3 ba 4 ba 的展开式 二项式定理的证明采用 说理 的方法 从计数原理的角度对展开过 n ba 程进行分析 概括出项的形式 用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数 从而 得出用组合数表示的展开式 四四 熟悉定理 简单应用熟悉定理 简单应用 二项式定理的公式特征 由学生归纳 让学生熟悉公式 1 项数 共有 项 n 2 次数 字母 a 按降幂排列 次数由 n 递减到 0 字母 b 按升幂排列 次数由 0 递增到 n 各项的次数都等于 n 3 二项式系数 依次为 这里称为二项式系 n n k nnnn CCCCC 210 1 0 nkC k n 数 4 二项展开式的通项 式中的叫做二项展开式的通项 用表示 kknk n baC 1 k T 即通项为展开式的第 项 k 1 k T kknk n baC 变一变 1 2 n ba n x 1 例 求的展开式 6 1 2 x x 思考 1 展开式的第 项的系数是多少 思考 2 展开式的第 项的二项式系数是多少 思考 3 你能否直接求出展开式的第 项 设计意图设计意图 熟悉二项展开式 培养学生的运算能力 五五 课堂小结 课后作