九年级数学中考第二轮专题复习⑷ 综合应用型问题华东师大版

用心 爱心 专心 九年级数学中考第二轮专题复习九年级数学中考第二轮专题复习 综合应用型问题华东师大版综合应用型问题华东师大版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 中考第二轮专题复习 综合应用型问题 二 知识讲解 数学应用型问题 主要是要求同学们学会从数学的角度发现和提出问题 运用数学知 识和其他知识解决简单的实际问题 发展应用意识和实践能力 会将实际问题抽象为数学 问题 建立数学模型 能够用数学语言表达问题 展开交流 获得分析问题和解决问题的 一些基本方法 体验解决问题方法的多样性 发展创新意识 在运用数学表述现实 解决 问题的过程中 认识数学的抽象 严谨和应用广泛的特点 体会数学的价值 实际应用型问题的一般解题策略是分析实际问题 构建数学模型 建立数学表达式 解数学表达式 回归原实际问题 其中关键的是构建数学模型 解答应用型问题不仅需要扎 实的基本知识 解题技能和思想方法 更需要数学各方面的能力 如阅读理解能力 数据 处理能力 数学建模能力 分析推理能力 数学交流表达能力以及数学实验操作和动手实 践能力等 因此 完成一道应用型问题的解答已成为从知识到能力综合测试的过程 中考数 学应用题中常见的类型有 方程 组 型应用问题 不等式 组 型应用问题 函数型应 用问题 统计概率型应用问题 几何型应用问题等等 典型例题典型例题 例 1 梅林中学租用两辆小汽车 设速度相同 同时送 1 名带队老师及 7 名九年级的学生 到县城参加数学竞赛 每辆限坐 4 人 不包括司机 其中一辆小汽车在距离考场 15km 的 地方出现故障 此时离截止进考场的时刻还有 42 分钟 这时唯一可利用的交通工具是另一 辆小汽车 且这辆车的平均速度是 60km h 人步行的速度是 5km h 上 下车时间忽略不 计 若小汽车送 4 人到达考场 然后再回到出故障处接其他人 请你通过计算说明他们 能否在截止进考场的时刻前到达考场 假如你是带队的老师 请你设计一种运送方案 使他们能在截止进考场的时刻前到 达考场 并通过计算说明方案的可行性 分析 分析 本题打破传统方程应用题的命题形式 设计成方案设计题 比较新颖 解题关键 是将现实问题转化为方程模型来解决 在设计方案时 要有一定的预见性 而如何设计 通过什么方式说明以及方案的验证 都因人而异 第 小题本质就是求 汽车行驶 45km 用多少时间 第 小题则是在第 小题的基础上通过计算说明方案设计的合理性即可 略解 略解 分钟 153 3 h 45 604 4542 不能在限定时间内到达考场 方案 1 先将 4 人用车送到考场 另外 4 人同时步行前往考场 汽车到考场后返回 到与另外 4 人的相遇处再载他们到考场 约需 40 4 分钟 方案 2 8 人同时出发 4 人步行 先将 4 人用车送到离出发点的处 然后这kmxA 4 个人步行前往考场 车回去接应后面的 4 人 使他们跟前面 4 人同时到达考场 可求得 共需 37 分钟 所以他们能在截止进考场的时刻前到达考场 具体解法如下 具体解法如下 用心 爱心 专心 分钟 153 3 h 45 604 4542 不能在限定时间内到达考场 方案 1 先将 4 人用车送到考场 另外 4 人同时步行前往考场 汽车到考场后返回 到与另外 4 人的相遇处再载他们到考场 先将 4 人用车送到考场所需时间为 分钟 15 0 25 h 15 60 0 25 小时另外 4 人步行了 1 25km 此时他们与考场的距离为 km 15 1 2513 75 设汽车返回后与先步行的 4 人相遇 h t 解得 56013 75tt 2 75 13 t 汽车由相遇点再去考场所需时间也是 2 75 h 13 所以用这一方案送这 8 人到考场共需 2 75 1526040 442 13 所以这 8 个人能在截止进考场的时刻前赶到 方案 2 8 人同时出发 4 人步行 先将 4 人用车送到离出发点的处 然后这kmxA 4 个人步行前往考场 车回去接应后面的 4 人 使他们跟前面 4 人同时到达考场 由处步行前往考场需 A 15 h 5 x 汽车从出发点到处需 先步行的 4 人走了 A h 60 x 5 km 60 x 设汽车返回 h 后与先步行的 4 人相遇 则有 解得 t6055 60 x ttx 11 780 x t 所以相遇点与考场的距离为 112 156015 km 78013 xx x 由相遇点坐车到考场需 1 h 4390 x 所以先步行的 4 人到考场的总时间为 111 h 607804390 xxx 先坐车的 4 人到考场的总时间为 15 h 605 xx 他们同时到达 则有 解得 11115 607804390605 xxxxx 13x 将代入上式 可得他们赶到考场所需时间为 分钟 13x 132 6037 605 3742 他们能在截止进考场的时刻前到达考场 用心 爱心 专心 例 2 绵阳市 全国文明村 江油白玉村果农王灿收获枇杷 20 吨 桃子 12 吨 现计划租 用甲 乙两种货车共 8 辆将这批水果全部运往外地销售 已知一辆甲种货车可装枇杷 4 吨 和桃子 1 吨 一辆乙种货车可装枇杷和桃子各 2 吨 王灿如何安排甲 乙两种货车可一次性地运到销售地 有几种方案 若甲种货车每辆要付运输费 300 元 乙种货车每辆要付运输费 240 元 则果农王灿 应选择哪种方案 使运输费最少 最少运费是多少 分析 分析 本题是一道方案设计决策型应用题 它的具体方案落脚点是建立不等式 组 模型 通过给出的数据进行分析后转化为相应的不等式 组 问题 解不等式后得出若干 种方案 再从中选出费用最少 即最优化 的方案 解 解 设安排甲种货车 x 辆 则安排乙种货车 8 x 辆 依题意 得 4x 2 8 x 20 且 x 2 8 x 12 解此不等式组 得 x 2 且 x 4 即 2 x 4 x 是正整数 x 可取的值为 2 3 4 因此安排甲 乙两种货车有三种方案 甲种货车乙种货车 方案一2 辆6 辆 方案二3 辆5 辆 方案三4 辆4 辆 方案一所需运费 300 2 240 6 2040 元 方案二所需运费 300 3 240 5 2100 元 方案三所需运费 300 4 240 4 2160 元 所以王灿应选择方案一运费最少 最少运费是 2040 元 例 3 为了保护环境 某企业决定购买 10 台污水处理设备 现有 A B 两种型号的设备 其中每台的价格 月处理污水量及每年的费用如下表 A 型B 型 价格 万元 台 1210 处理污水量 吨 月 240200 年消耗费 万元 台 11 经预算 该企业购买设备的资金不高于 105 万元 请你帮助该企业设计几种购买方案 若企业每月产生的污水量为 2 040t 为了节约资金 应选择哪种购买方案 在第 问的条件下 若每台设备的使用年限为 10 年 污水厂处理污水费为每吨 10 元 请你计算 该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较 10 年节约资金多少 万元 注 企业处理污水的费用包括购买设备的资金和每年消耗费用 分析 分析 建立不等式求解 先计算 再比较 解 解 设购买污水处理设备 A 型 x 台 则 B 型 10 x 台 由题意知 12x 10 10 x 105 解得 x 2 5 x 取非负整数 x 可取 0 1 2 有三种购买方案 购 A 型 0 台 B 型 10 台 购 A 型 1 台 B 型 9 台 购 A 型 2 台 B 型 8 台 由题意得 240 x 200 10 x 2 040 解得 x 1 x 为 1 或 2 用心 爱心 专心 当 x 1 时 需资金 12 1 10 9 102 万元 当 x 2 时 需资金 12 2 10 8 104 万元 为了节约资金 应选购 A 型 1 台 B 型 9 台 10 年间企业自己处理污水的总资金为 102 10 10 202 万元 若将污水排到污水厂处理 10 年所需费用为 2 040 12 10 10 2 448 000 元 244 8 万元 能节约资金 244 8 202 42 8 万元 说明 说明 本题通过列一元一次不等式解应用题 考查考生读表获取信息的能力 从实际 问题归纳 抽象 建立数学模型的能力 题中涉及分类讨论 考查考生思维的严密性 对购买 污水处理设备数量的讨论是本题的难点 容易忽略 例 4 光华农机租赁公司共有 50 台联合收割机 其中甲型 20 台 乙型 30 台 现将这 50 台联合收割机派往 A B 两地区收割小麦 其中 30 台派往 A 地区 20 台派往 B 地区 两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表 每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金 A 地区1 800 元1 600 元 B 地区1 600 元1 200 元 设派往 A 地区 x 台乙型收割机 租赁公司这 50 台联合收割机一天获得的租金为 y 元 求 y 与 x 之间的函数关系式 并写出 x 的取值范围 若使农机租赁公司这 50 台联合收割机一天获得的租金总额不低于 79 600 元 说明 有多少种分配方案 并将各种方案设计出来 如果要使这 50 台联合收割机每天获得的租金最高 请你为光华农机租赁公司提一条 合理化建议 解 解 由题意得 y 1 600 x 1 800 30 x 1 200 30 x 1 600 x 10 整理为 y 200 x 74 000 x 的取值范围是 10 x 30 x 是正整数 由题意得 200 x 74 000 79 600 解得 x 28 10 x 30 28 x 30 x 是正整数 x 取 28 29 30 这三个值 有 3 种不同的分配方案 当 x 28 时 即派往 A 地甲型收割机 2 台 乙型收割机 28 台 派往 B 地甲型收割 机 18 台 乙型收割机 2 台 当 x 29 时 即派往 A 地甲型收割机 1 台 乙型收割机 29 台 派往 B 地甲型收割 机 19 台 乙型收割机 1 台 当 x 30 时 即 30 台乙型收割机全派往 A 地 20 台甲型收割机全派往 B 地 由于一次函数 y 200 x 74 000 的值随 x 的增大而增大的 所以当 x 30 时 y 取得最 大值 当 x 30 时 y 6 000 74 000 80 000 元 建议农机公司将 30 台乙型收割机全部派往 A 地区 20 台甲型收割机全部派往 B 地 区 可使公司获得租金最高 评析 评析 这是一道函数型的建模应用题 x 的取值范围是由派往各地的收割机台数是非 负整数确定的 这往往也是学生容易忽视的地方 同时应注意函数图象的性质在解决实际 问题中的应用 例 5 某公司专销产品 A 第一批产品 A 上市 40 天内全部售完 该公司对第一批产品 A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查 调查结果如图 1 和图 2 所示 其中图 1 的折线表 用心 爱心 专心 示的是市场日销售量与上市时间 的关系 图 2 中的折线表示的是每件产品 A 的日销售yt 利润与上市时间 的关系 wt 试写出第一批产品 A 的市场日销售量与上市时间 的关系式 yt 第一批产品 A 上市后 哪一天在这家公司市场日销售利润最大 最大利润是多少万 元 解析 解析 第 问考查怎样列一次函数 但要分段求 对于第 问 应明白 市场日销售 利润 每件产品的销售利润 日销售量 这样可转化为求一次 或二次 函数的最大值问 题 当然也可直接从图象得出答案 市场的日销售量 2 0 30 6 240 30 40 yttytt 由图 2 得每件产品的日销售利润为 3 0 20 60 20 40 wttwt 当 0 20 时 产品的日销售利润为 6 此时最大利润为 2400 万元 当t 2 t 20 30 时 产品的日销售利润为 120 此时的利润最大为 3600 万元 当 30 40ttt 时 产品的日销售利润 60 6 240 此时利润最大值为 3600 万元 故公司市场的日销t 售利润最大为 3600 万元 另解 另解 由图 1 知当 30 天 时 日销售量最大为 60 万件 又由图 2 知当t 30 天 时 产品的日销售利润最大为 60 元 件 故当 30 天 时 市场的日销售利tt 润最大为 60 60 3600 万元 说明 说明 本题用图象描述市场经济中的变化规律 具有清晰 直观的特点 在解决问题 的过程中 突出对分类思想的考查 并体现了数学建模的思想及其应用价值 例 6 某生活小区的居民筹集资金 1 600 元 计划在一块上 下底分别为 10m 20m 的 梯形空地上种植花木 如图 他们在 AMD 和 BMC 地带上种植太阳花 单价为 8 元 m2 当 AMD 地带种满 花后 共花了 160 元 请计算种满 BMC 地带所需的费用 若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择 单价分别为 12 元 m2和 10 元 m2 应选择种哪种花木 刚好用完所筹集的资金 若梯形 ABCD 为等腰梯形 面积不变 如图 请你设计一种花坛图案 即在 梯形内找一点 P 使得 APB DPC 且 S APD S BPC 并说明你的理由 用心 爱心 专心 分析 分析 利用相似三角形性质求 BMC 面积 分别计算种一种花所需资金 再比较 利用对称性找出 P 点位置 再求 解 解 四边形 ABCD 是梯形 AD BC MAD MCB MDA MBC AMD CMB 2 1 4 AMD BMC SAD SBC 种植 AMD 地带花费了 160 元 20 m2 S CMB 80 m2 160 8 BMC 地带的花费为 80 8 640 元 设 AMD 的高为 h1 BMC 的高为 h2 梯形 ABCD 的高为 h S AMD 10h1 20 h1 4 1 2 h2 8 1 2 h h 1 2 S梯形 ABCD AD BC h 30 4 8 180 1 2 1 2 S AMB S DMC 180 20 80 80 m2 而 160 640 80 12 1 760 元 160 640 80 10 1 600 元 应选择种植茉莉花 刚好用完所筹集的资金 点 P 在 AD BC 的中垂线上 如图 此时 PA PD PB PC AB DC APB DPC 设 APD 的高为 x 则 BPC 的高为 12 x S APD 10 x 5x 1 2 S BPC 20 12 x 10 12 x 1 2 由 S APD S BPC 即 5x 10 12 x 解得 x 8 当点 P 在 AD BC 的中垂线上且与 AD 的距离为 8m 时 S APD S BPC 评析 评析 此题以梯形两条对角线分割其面积为背景 建立种花面积与所需费用之间的关 系 考查学生运用相似 全等等数学知识解决实际问题的能力 第 3 小题中点 P 选在此等 腰梯形的对称轴上是关键 例 7 小颖和小红两位同学在学习 概率 时 做投掷骰子 质地均匀的正方体 实验 她们共做了 60 次实验 实验的结果如下 朝上的点数123456 用心 爱心 专心 出现的次数79682010 计算 3 点朝上 的频率和 5 点朝上 的频率 小颖说 根据实验 一次实验中出现 5 点朝上的概率最大 小红说 如果投掷 600 次 那么出现 6 点朝上的次数正好是 100 次 小颖和小红的说法正确吗 为什么 小颖和小红各投掷一枚骰子 用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之 和为 3 的倍数的概率 分析 分析 统计和概率题的考查设计 一般有以下特点 有效地考查学生从给出的统计 图中 获取合理数据信息并进行数据处理的能力 关注社会热点与学生身边的生活现象 具有良好的现实性和教育性 考查学生利用统计数据进行科学决策的能力水平 本题主要 考查大家对频率 概率的理解水平和求概率的方法 列表法或画树状图 解 解 3 点朝上 出现的频率是 61 6010 5 点朝上 出现的频率是 201 603 小颖的说法是错误的 这是因为 5 点朝上 的频率最大并不能说明 5 点朝上 这 一事件发生的频率最大 只有当实验的次数足够大时 该事件发生的频率稳定在事件发生的 概率附近 小红的判断是错误的 因为事件的发生具有随机性 故 6 点朝上 的次数不一定是 100 次 列表如下 小红投的点数 小颖投的点数 123456 1234567 2345678 3456789 45678910 567891011 6789101112 121 3 363 P 点数之和为的倍数 模拟试题模拟试题 答题时间 90 分钟 一 填空题 1 将若干只鸡放入若干个笼 若每个笼里放 4 只 则有一只鸡无笼可放 若每个笼里放 5 只 则有一笼无鸡可放 那么至少有鸡 只 笼 个 2 某幢建筑物 从 10m 高的窗口 A 用水管向外喷水 喷出的水流呈抛物线状 抛物线 所在平面与墙垂直 如图 当抛物线的最高点 M 离墙 1m 时 离地面m 则水流落地 40 3 点 B 离墙的距离 OB 是 m 用心 爱心 专心 3 如图 客轮沿折线 A B C 从 A 出发经 B 再到 C 匀速航行 货轮从 AC 的中点 D 出 发沿某一方向匀速直线航行 将一批货物送达客轮 两船同时启航 并同时到达折线 A B C 上的某点 E 处 已知 AB BC 200 海里 ABC 90 客轮速度是货轮速度的 2 倍 则 货轮从出发到两船相遇共航行了 海里 结果保留根号 二 选择题 1 一只船向东匀速航行 上午 8 00 位于灯塔 P 的西偏南 60 的方向 M 处 且 PM 40 海里 上午 10 00 到达这座灯塔的正南 N 处 则船航行的速度为 A 10 海里 h B 20 海里 h C 10海里 h D 20海里 h33 2 某旅行社有 100 张床位 每床每晚收费 10 元时 客床可全部租出 若每床每晚收费 提高 2 元 则减少 10 张床位的租出 若每床每晚收费再提高 2 元 则再减少 10 张床位租 出 以每次提高 2 元的这种方法变化下去 为了投资少而获利大 每床每晚应提高 A 4 元或 6 元 B 4 元 C 6 元 D 8 元 3 如图 已知在正方形网格中 每个小方格的边长都为 1 A B 两点在小正方形的顶 点上 点 C 也在小正方形的顶点上 且以 A B C 为顶点的三角形面积为 1 个平方单位 则 C 点的个数为 A 6 个 B 5 个 C 4 个D 3 个 三 解答题 1 甲 乙两位采购员同去一果园购买两次柑桔 两次柑桔的价格有变化 两位采购员的 采购方式也不同 其中 甲每次购买 1 000kg 乙每次用去 1 000 元 而不管购买多少柑桔 若规定 谁两次购买柑桔的平均单价低 则谁的购买方式更合算 请你判断甲 乙两人的 购买方式哪一个更合算些 并说明理由 用心 爱心 专心 2 一条鲨鱼在某区域中由西向东游动 此海域受环境污染影响出现了赤潮现象 鲨鱼在 A 点时 如图 赤潮中心 B 在它的北偏东 60 方向上 此次赤潮区域呈圆形 若鲨鱼向 前游动 5 海里到达 C 处 赤潮中心在它的北偏东 30 方向上 此次赤潮区域的半径为 海里 5 6 2 1 这条鲨鱼从 A 点出发向正东方向游动 它是否经过赤潮区域 请说明理由 2 若此鲨鱼要避开赤潮区域 则它至少应向东偏南多少度游去 3 某房地产开发公司计划建 A B 两种户型的住房共 80 套 该公司所筹资金不少于 2 090 万元 但不超过 2 096 万元 且所筹资金全部用于建房 两种户型的建房成本和售价 如下表 AB 成本 万元 套 2528 售价 万元 套 3034 1 该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案 2 该公司如何建房获得利润最大 3 根据市场调查 每套 B 型住房的售价不会改变 每套 A 型住房的售价将会提高 a 万元 a 0 且所建的两种住房可全部售出 该公司又将如何建房获得利润最大 注 利润 售价 成本 4 某商场大搞 真情回报社会 的幸运抽奖活动 共设五个奖金等级 最高奖