【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.5知能优化训练 苏教版选修2-1

1 1 给出下列几个式子 a a a a a a2 a a b b 2 a a2 b b2 a a b b c c a a b b c c a a b b a a b b 其中正确的是 答案 2 2011 年高考辽宁卷 如图 四棱锥S ABCD的底面为正方形 SD 底面ABCD 则下列 结论中不正确的是 AC SB AB 平面SCD SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 解析 易证AC 平面SBD 因而AC SB 正确 AB DC DC 平面SCD 故AB 平 面SCD 正确 由于SA SC与平面SBD的相对位置一样 因而所成的角相同 答案 3 在 ABC中 已知 2 4 0 1 3 0 则 ABC AB BC 解析 2 4 0 1 3 0 BA BC 2 12 0 10 BA BC 2 BA 2 2 4 2 05 BC 10 cos BA BC BA BC BA BC 10 2 5 10 2 2 ABC 135 答案 135 4 2011 年高考重庆卷 已知单位向量e e1 e e2的夹角为 60 则 2e e1 e e2 解析 2e e e e2 2 4e e 4e e1e e2 e e 4 4 1 1 cos60 1 3 2 12 2 2e e1 e e2 3 答案 3 一 填空题 1 已知a a x 2 0 b b 3 2 x x2 且a a与b b的夹角为钝角 则x的取值范围是 解析 cos a a b b 夹角为钝角 cos a a b b 3x 2 2 x x2 4 9 2 x 2 x4 0 且a a b b不共线 3x 2 2 x 0 x 4 答案 x 4 2 2 设a a b b c c是单位向量 且a a b b 0 则 a a c c b b c c 的最小值为 解析 a a b b 0 且a a b b c c均为单位向量 a a b b c c 1 a a c c b b c c a a b b a a b b c c c c2 设a a b b与c c的夹角为 2 则 a a c c b b c c 1 a a b b c c cos 1 cos 故 a a c c b b c c 的最小值 2 为 1 2 答案 1 2 3 若向量a a与b b不共线 a a b b 0 且c c a a b b 则向量a a与c c的夹角为 a a a a a a b b 解析 a a c c a a a a b b a a a a b b a a a a a a a a a a 0 a a c c a a a a a a b b a a a a a a b b 答案 90 4 设向量a a b b c c满足a a b b c c 0 a a b b c c a a b b 若 a a 1 则 a a 2 b b 2 c c 2的值是 解析 由已知 可得a a b b 0 a a c c b b c c 由a a a a b b c c 0 可得 a a c c b b c c 1 将 a a b b c c 2 0 展开 求得 a a 2 b b 2 c c 2 4 答案 4 5 已知a a cos 1 sin b b sin 1 cos 则向量a a b b与a a b b的夹 角是 解析 a a b b 且a a b b与a a b b是以a a b b为邻边的正方形的两条对角线 2 a a b b与a a b b的夹角为 90 答案 90 6 已知a a 1 2 b b 2 1 2 若a a b b夹角的余弦值为 则 8 9 解析 a a b b 2 4 6 a a b b 3 则 6 3 5 25 2 8 9 整理得 3 6 8 解得 2 或 5 2 2 55 答案 2 或 2 55 7 已知三点A 1 2 11 B 4 2 3 C 6 1 4 则三角形ABC的形状是 解析 3 4 8 2 3 1 5 1 7 AB BC AC 2 2 2 AB 89 BC 14 AC 75 AB BC AC ABC是以角C为直角的直角三角形 答案 直角三角形 8 设A B C D是空间不共面的四点 且满足 0 0 0 AB AC AC AD AB AD 则 BCD的形状是 解析 0 0 0 AB AC AC AD AB AD AB AC AD两两垂直 BC2 AB2 AC2 CD2 AC2 AD2 BD2 AB2 AD2 BC2 CD2 BD2 CD2 BC2 BD2 BD2 BC2 CD2 结合余弦定理可知 BCD的各内角均为 锐角 BCD是锐角三角形 答案 锐角三角形 二 解答题 9 已知向量a a 4 2 4 b b 6 3 2 求 3 1 a a b b 2 a a 3 b b 4 2a a 3b b a a 2b b 解 1 a a b b 4 6 2 3 4 2 22 2 a a 6 a a242 2 2 4 2 3 b b 7 b b262 3 2 22 4 2a a 3b b a a 2b b 2a a2 3a a b b 4a a b b 6b b2 2 62 22 6 72 244 10 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E1 F1分别是A1B1 C1D1的一个四等分点 求BE1与 DF1所成角的余弦值 解 如图所示 不妨设正方体的棱长为 1 分别以 为单位正交基底建立空间直 DA DC DD1 角坐标系O xyz 则B 1 1 0 E1 1 1 D 0 0 0 F1 0 1 3 4 1 4 所以 1 1 1 1 0 0 1 BE1 3 4 1 4 0 1 0 0 0 0 1 DF1 1 4 1 4 0 0 1 1 BE1 DF1 1 4 1 4 15 16 所以 cos BE1 DF1 BE1 DF1 BE1 DF1 15 16 17 4 17 4 15 17 因此 BE1与DF1所成角的余弦值是 15 17 11 已知空间三点A 0 2 3 B 2 1 6 C 1 1 5 1 求以 为邻边的平行四边形的面积 AB AC 2 若 a a 且a a与 均垂直 求向量a a的坐标 3 AB AC 解 1 由题意 可得 2 1 3 1 3 2 AB AC cos AB AC AB AC AB AC 2 3 6