一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)

第 1 页 共 19 页 一元二次方程拓展提高题一元二次方程拓展提高题 1 已知 则的值是 020005 2 xx 2 112 23 x xx 2 已知 则 012004 2 aa 1 2004 40072 2 2 a aa 3 若 且 则 1 ab0720055 2 aa0520057 2 bb b a 4 已知方程没有实数根 则代数式 04322 2 aaxx 2168 2 aaa 5 已知 则 y 的最大值为 xxy 62 6 已知 则 0 cba2 abc0 c A B C D 0 ab2 ba3 ba4 ba 7 已知 则 8 ba016 2 cab cba 8 已知 则 01 2 mm 20062 23 mm 9 已知 则 4 ba04 2 cab ba 10 若方程的二根为 且 则 0 2 qpxx 1 x 2 x1 1 x03 qp 2 x A 小于 1 B 等于 1 C 大于 1 D 不能确定 11 已知是方程的一个根 则的值为 0 4 1 2 xx 3 3 1 12 若 则 13 2 xx 200872129 234 xxxx A 2011 B 2010 C 2009 D 2008 13 方程的解为 22323 xx 14 已知 则的最大值是 062 22 yxxxyx2 22 A 14 B 15 C 16 D 18 15 方程恰有 3 个实根 则 mxx 2 2 2 m A 1 B 1 5 C 2 D 2 5 16 方程的全体实数根之积为 9 73 3 3 2 2 xx xx A 60 B C 10 D 60 10 17 关于 x 的一元二次方程 a 为常数 的两根之比 则052 2 axx3 2 21 xx 12 xx 第 2 页 共 19 页 A 1 B 2 C D 2 1 2 3 18 已知是 方程的两个实根 则 01 2 xx 3 4 19 若关于 x 的方程只有一解 求 a 的值 x ax xx x x a1 1 2 2 中考真题中考真题 1 若 则的值为 1 1 x x 3 3 1 x x 2 已知实数 满足 且 则的值为 013 2 013 2 1 3 2 A 1 B 3 C 3 D 10 3 实数 x y 满足方程 则 y 最大值为 01322 22 yxxyyx A B C D 不存在 2 1 2 3 4 3 4 方程的所有整数解的个数是 11 3 2 x xx A 2 B 3 C 4 D 5 5 已知关于 x 的方程的两根分别为和 1 则方程的两根0 2 cbxax3 0 2 acxbx 为 A 和 1 B 和 1 C 和 D 和 3 1 2 1 3 1 1 2 1 1 6 实数 x y 满足 记 则 u 的取值范围是 2 22 yxyx 22 yxyxu A B C D 6 3 2 u2 3 2 u61 u21 u 7 已知实数 m n 满足 则 02009 2 mm 102009 11 2 mn nn 1 n m 9 已知方程的两实根的平方和等于 11 k 的取值是 0212 22 kxkx A 或 1 B C 1 D 33 3 10 设 a b 是整数 方程有一个实数根是 则 0 2 baxx347 ba 13 已知方程的一根小于 另外三根皆大于 求 a 的取值范围 033 24 axaax2 1 14 已知关于 x 的方程有实数根 且 试问 y 值是否有最02 2 kxx 1 x 2 x 3 2 3 1 xxy 大值或最小值 若有 试求出其值 若没有 请说明理由 第 3 页 共 19 页 15 求所有有理数 q 使得方程的所有根都是整数 011 2 qxqqx 一元二次方程培优题及一元二次方程培优题及参考答案参考答案 1 已知 则的值是 D 020005 2 xx 2 112 23 x xx A 2001 B 2002 C 2003 D 2004 答案 答案 D 解析 解析 由得 020005 2 xx20004 2 xxx 20042004 2 2 44 2 11 2 2 112 2 2 2 2 23 xx x xx xx x x x x xx 归纳 归纳 本题解决的方法是通过降次达到化简的目的 2 已知 则 012004 2 aa 1 2004 40072 2 2 a aa 答案 答案 2002 解析 解析 由得 012004 2 aaaa20041 2 12004 2 aa2004 1 a a 原式 2002 1 2 2004 2004 4007120042 a a a aa 归纳 归纳 本题解决的方法是通过降次达到化简的目的 3 若 且 则 1 ab0720055 2 aa0520057 2 bb b a 答案 答案 5 7 解析 解析 由得 0520057 2 bb07 1 2005 1 5 2 bb 即 把 a 和作为一元二次方程的两根1 ab b a 1 b 1 0720055 2 xx 5 71 b a b a 归纳 归纳 本题是通过构造一元二次方程的两根 利用根与系数的关系解决问题 4 已知方程没有实数根 则代数式 04322 2 aaxx 2168 2 aaa 答案 答案 2 考点 考点 根的判别式 分析 分析 由方程没有实数根 得 求的 a 的范围 然后根据此范04322 2 aaxx0 围化简代数式 第 4 页 共 19 页 解答 解答 解 已知方程没有实数根04322 2 aaxx 即 得0 043244 2 aa086 2 aa42 a 则代数式224 2 4 2168 2 aaaaaaa 归纳 归纳 本题考查了一元二次方程根的判别式 当时 方程没有实数根 同时考查了一0 元二次不等式的解法 二次根式的性质和绝对值的意义 5 已知 则 y 的最大值为 xxy 62 答案 答案 8 97 考点 考点 二次函数的最值 专题 专题 计算题 换元法 分析 分析 此题只需先令 用 x 表示 t 代入求 y 关于 t 的二次函数的最值即可 06 tx 解答 解答 令 06 tx 2 6tx 则 8 1 12 4 1 212221262 2 22 tttttxxy 又 且 y 关于 t 的二次函数开口向下 则在处取得最大值0 t 4 1 t 即 y 最大值为 即 8 1 12 8 97 归纳 归纳 本题考查了二次函数的最值 关键是采用换元法 将用 t 来表示进行解题比x 6 较简便 6 已知 则 0 cba2 abc0 c A B C D 0 ab2 ba3 ba4 ba 答案 答案 B 考点 考点 根的判别式 专题 专题 综合题 分析 分析 由 得到 a b 两个负数 再由 0 cba2 abc0 ccba c ab 2 这样可以把 a b 看作方程的两根 根据根的判别式得到 解得0 2 2 c cxx0 2 4 2 c c 然后由得到 2 ccba 2 ba 解答 解答 0 cba2 abc0 c0 a0 b0 c cba c ab 2 可以把 a b 看作方程0 2 2 c cxx 第 5 页 共 19 页 解得 即0 2 4 2 c c2 c 2 bac2 ba 点评 点评 本题考查了一元二次方程根的判别式 如方程有两个实数根 则 也考查了一0 元二次方程根与系数的关系以及绝对值的含义 7 已知 则 8 ba016 2 cab cba 答案 答案 0 考点 考点 因式分解的应用 非负数的性质 偶次方 分析 分析 本题乍看下无法代数求值 也无法进行因式分解 但是将已知的两个式子进行适当 变形后 即可找到本题的突破口 由可得 将其代入得 8 ba8 ba016 2 cab 此时可发现正好符合完全平方公式 因此可用非负数的性质0168 22 cbb168 2 bb 求出 b c 的值 进而可求得 a 的值 然后代值运算即可 解答 解答 8 ba8 ba 又 即016 2 cab0168 22 cbb 04 2 2 cb 4 b0 c4 a0 cba 归纳 归纳 本题既考查了对因式分解方法的掌握 又考查了非负数的性质以及代数式求值的方 法 8 已知 则 01 2 mm 20062 23 mm 答案 答案 2005 考点 考点 因式分解的应用 专题 专题 整体思想 分析 分析 根据已知条件可得到 然后整体代入代数式求值计算即可 1 2 mm 解答 解答 01 2 mm1 2 mm 原式 20052006120062006 22 mmmmmm 点评 点评 这里注意把要求的代数式进行局部因式分解 根据已知条件 整体代值计算 9 已知 则 4 ba04 2 cab ba 答案 答案 0 考点 考点 拆项 添项 配方 待定系数法 专题 专题 计算题 分析 分析 先将字母 b 表示字母 a 代入 转化为非负数和的形式 根据非负数04 2 cab 的性质求出 a b c 的值 从而得到的值 ba 解答 解答 4 ba4 ba 代入 可得 即04 2 cab 044 2 cbb 02 2 2 cb 2 b0 c24 ba0 ba 归纳 归纳 本题既考查了对因式分解方法的掌握 又考查了非负数的性质以及代数式求值的方 法 解题关键是将代数式转化为非负数和的形式 第 6 页 共 19 页 10 若方程的二根为 且 则 0 2 qpxx 1 x 2 x1 1 x03 qp 2 x A 小于 1 B 等于 1 C 大于 1 D 不能确定 答案 答案 A 考点 考点 根与系数的关系 专题 专题 计算题 分析 分析 方程的二根为 根据根与系数的关系及已知条件即可求解 0 2 qpxx 1 x 2 x 解答 解答 方程的二根为 0 2 qpxx 1 x 2 xpxx 21 qxx 21 1 1 x3 qp3 2121 xxxx 23 1212 xxxx 21 12 xx 21 1 x1 2 x 归纳 归纳 本题考查了根与系数的关系 属于基础题 关键掌握 是方程 1 x 2 x 的两根时 0 2 qpxxpxx 21 qxx 21 11 已知是方程的一个根 则的值为 0 4 1 2 xx 3 3 1 答案 答案 5 考点 考点 因式分解的应用 专题 专题 整体思想 分析 分析 根据已知条件可得到 即然后整体代入代数式求值计算即0 4 1 2 4 1 2 可 解答 解答 是方程的一个根 即 0 4 1 2 xx0 4 1 2 4 1 2 原式 5 4 1 1 4 1 1 11 11 2 22 点评 点评 这里注意把要求的代数式进行局部因式分解 根据已知条件 整体代值计算 12 若 则 13 2 xx 200872129 234 xxxx A 2011 B 2010 C 2009 D 2008 答案 答案 B 考点 考点 因式分解的应用 专题 专题 计算题 整体思想 分析 分析 将化简为 整体代入变形的式13 2 xx013 2 xx200872129 234 xxxx 子 计算即可求解 2010132135133 2222 xxxxxxxx 解答 解答 即 13 2 xx013 2 xx200872129 234 xxxx 2010132135133 2222 xxxxxxxx2010 归纳 归纳 本题考查因式分解的运用 注意运用整体代入法求解 第 7 页 共 19 页 13 方程的解为 22323 xx 答案 答案 3 2 考点 考点 利用方程的同解原理解答 专题 专题 计算题 解答 解答 22323 xx 两边同时平方得 44922323 2 xxx 整理得 再平方得 解得 2349 2 xx812 x 3 2 x 归纳 归纳 本题考查将无理方程通过平方的方式转化为有理方程解答 14 已知 则的最大值是 062 22 yxxxyx2 22 A 14 B 15 C 16 D 18 答案 答案 B 考点 考点 完全平方公式 分析 分析 由得代入 通过二次函数的最值 求062 22 yxxxxy62 22 xyx2 22 出它的最大值 解答 解答 化为 故062 22 yxxxxy62 22 2 9 0 y30 x 222 82xxxyx 二次函数开口向下 当时表达式取得最大值4 x 由于 所以时此时 表达式取得最大值 1530 x3 x0 y 点评 点评 本题是中档题 考查曲线与方程的关系 直接利用圆锥曲线解答比较麻烦 利用转 化思想使本题的解答比较简洁 注意二次函数闭区间是的最大值的求法 15 方程恰有 3 个实根 则 mxx 2 2 2 m A 1 B 1 5 C 2 D 2 5 答案 答案 C 考点 考点 解一元二次方程 公式法 绝对值 一元二次方程的解 专题 专题 解题方法 分析 分析 因为方程中带有绝对值符号 所以讨论方程的根分两种情况 当时 原方程为0 x 当时 原方程为 mxx 22 2 0 xmxx 22 2 解答 解答 当时 原方程为 化为一般形式为 0 xmxx 22 2 022 2 mxx 用求根公式得 11 2 442 m m x 当时 原方程为 化为一般形式为 0 xmxx 22 2 022 2 mxx 第 8 页 共 19 页 用求根公式得 11 2 442 m m x 方程的根恰为 3 个 而当时 方程的 3 个根分别是 2 m2 1 x0 2 x2 3 x 归纳 归纳 本题考查未知数的取值范围 以确定字母系数 m 的值 16 方程的全体实数根之积为 9 73 3 3 2 2 xx xx A 60 B C 10 D 60 10 答案 答案 A 考点 考点 换元法解分式方程 专题 专题 换元法 分析 分析 设 原方程化成 再整理成整式方程求解即可 yxx 73 2 2 3 y y 解答 解答 设 则 解得 yxx 73 2 2 3 y y032 2 yy1 1 y3 2 y 当时 解得1 1 y173 2 xx 2 333 x 当时 解得或3 2 y373 2 xx2 x5 6052 2 333 2 333 归纳 归纳 本题考查了用换元法解分式方程 解次题的关键是把看成一个整体来计73 2 xx 算 即换元法思想 17 关于 x 的一元二次方程 a 为常数 的两根之比 则052 2 axx3 2 21 xx 12 xx A 1 B 2 C D 2 1 2 3 答案 答案 C 考点 考点 一元二次方程根与系数的关系及求解 解答 解答 设的两根分别为 由根与系数的关系得 052 2 axxk2k3 2 5 32 kk 2 32 a kk 2 1 k3 a 2 1 4 24 4 25 4 21 2 1212 xxxxxx 归纳 归纳 本题考查了用根与系数的关系解决问题 关键是利用公式巧妙变形 18 已知是 方程的两个实根 则 01 2 xx 3 4 答案 答案 5 考点 考点 根与系数的关系 代数式求值 完全平方公式 专题 专题 计算题 第 9 页 共 19 页 分析 分析 由方程的根的定义 可知 移项 得 两边平方 整理得01 2 1 2 由一元二次方程根与系数的关系 可知 将 两式分别代入 32 4 1 即可求出其值 3 4 解答 解答 是方程的根 01 2 xx01 2 1 2 3212121 24 又 方程的两个实根 01 2 xx 1 5132323323 4 归纳 归纳 本题主要考查了方程的根的定义 一元二次方程根与系数的关系 难度中等 关键 是利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次 再结合根与系数的关系求解 19 若关于 x 的方程只有一解 求 a 的值 x ax xx x x a1 1 2 2 答案 答案 或0 a 2 1 a 考点 考点 解分式方程 分析 分析 先将分式方程转化为整式方程 把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论 只有一个解 内涵丰富 在全面分析的基础上求出 a 的值 解答 解答 原方程化为 0132 2 xaax 1 当时 原方程有一个解 0 a 2 1 x 2 当时 方程 总有两个不同的实数根 由题意知必有一0 a 0145 2 2 aa 个根是原方程的增根 从原方程知增根只能是 0 或 1 显然 0 不是 的根 故 得 1 x 2 1 a 综上可知当时 原方程有一个解 时 0 a 2 1 x 2 1 a2 x 归纳 归纳 本题考查了解分式方程 注意 分式方程转化为整式方程不一定是等价转化 有可 能产生增根 分式方程只有一个解 可能足转化后所得的整式方程只有一个解 也可能是转化 后的整式方程有两个解 而其中一个是原方 20 已知二次函数满足且对一切实数恒 0 2 acbxaxxf 01 f 2 1 2 x xfx 成立 求的解析式 0 2 acbxaxxf 考点 考点 函数恒成立问题 函数解析式的求解及常用方法 二次函数的性质 专题 专题 综合题 分析 分析 取 由 能够求出的值 由 知 1 x 2 11 11 f 11 f 01 f 0 1 cba cba 所以 由 对一切实数恒成立 知 即 2 1 bca xfx xcbxax 2 对一切实数恒成立 由此能求出的表达式 01 2 cxbax xf 第 10 页 共 19 页 解答 解答 解 1 二次函数满足且 0 2 acbxaxxf 01 f 2 1 2 x xfx 取 得 所以1 x 2 11 11 f 11 f 0 1 cba cba 2 1 bca 对一切实数恒成立 对一切实数恒成立 xfx 01 2 cxbax 041 0 2 acb a 16 1 0 ac a 0 a0 16 1 ac0 c 当且仅当时 等式成立 16 1 22 2 1 acca 4 1 ca 4 1 2 1 4 1 2 xxxf 点评 点评 本题考查二次函数的性质的综合应用 考查函数解析式的求法 解题时要认真审题 仔细解答 注意函数恒成立条件的灵活运用 21 已知 0 2 acbxaxxf 1 对任意 当有 求证 两个不相等的 1 x 2 x 21 xx 21 xfxf 2 21 xfxf xf 实根且有一根在 内 1 x 2 x 2 若在 内有一根为 m 且 若的对 2 21 xfxf xf 1 x 2 x12 21 mxx 0 xf 称轴为 求证 0 xx 2 0 mx 考点 考点 一元二次方程的根的分布与系数的关系 二次函数的性质 等差数列的性质 专题 专题 计算题 转化思想 分析 分析 1 通过计算一元二次方程的判别式大于 0 可得方程有两个不相等的实数根 设 方程对应的函数为 由 可得方程有一个根属于 xg 0 21 xgxg 1 x 2 x 2 由题意可得 即 由于 2 21 xfxf mf 022 21 2 2 2 1 2 xxmbxxma 故 由证得结12 21 mxx 2 2 2 1 2 2xxmab 22 2 2 2 2 2 12 2 2 2 1 2 0 xx m xxm a b x 论 解答 解答 证明 1 2 21 xfxf xf cbxaxcbxaxcbxaxxf 2 2 21 2 1 2 2 1 整理得 022 21 2 2 2 1 2 xxbxxabxax 第 11 页 共 19 页 2 2 2 121 2 2 2 1 2 22284baxbaxxxbxxaab 21 xx baxbax 21 22 故方程有两个不相等的实数根0 令 则 2 21 xfxf xfxg 2 2121 4 1 xfxfxgxg 又 则 21 xfxf 0 21 xgxg 故方程有一根在 内 2 21 xfxf xf 1 x 2 x 2 方程在 内有一根为 m 2 21 xfxf xf 1 x 2 x 2 21 xfxf mf 022 21 2 2 2 1 2 xxmbxxma 12 21 mxx 2 2 2 1 2 2xxmab 故 2 2 2 2 12 2 2 2 1 2 0 22 2 2 m xx m xxm a b x 点评 点评 本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系 二次函数的性质 等差数列的性质 体现了转化的数学思想 一元二次方程成都四中考试真题一元二次方程成都四中考试真题 1 若 则的值为 1 1 x x 3 3 1 x x A 3 B 4 C 5 D 6 答案 答案 4 考点 考点 因式分解的应用 专题 专题 整体思想 解答 解答 1 1 x x43 111 1 11 2 2 2 3 3 x x x x x x x x x x 归纳 归纳 本题关键是将作为整体 然后将进行因式分解变形解答 1 1 x x 3 3 1 x x 2 已知实数 满足 且 则的值为 013 2 013 2 1 3 2 A 1 B 3 C 3 D 10 答案 答案 D 解析 解析 由得 即 013 2 0 11 31 2 3 1 1 2 3 1 第 12 页 共 19 页 即 把和作为一元二次方程的两根1 1 1 013 2 xx 即3 1 1 1091 1 313 3 13 1 3 1 3 22 2 归纳 归纳 本题是通过构造一元二次方程的两根 利用根与系数的关系解决问题 3 实数 x y 满足方程 则 y 最大值为 01322 22 yxxyyx A B C D 不存在 2 1 2 3 4 3 答案 答案 B 考点 考点 根的判别式 专题 专题 计算题 转化思想 分析 分析 先把方程变形为关于 x 的一元二次方程 由于此方程 013221 22 yyxyx 有解 所以 这样得到 y 的不等式 解此不等式 得到 y 的取值范围 然0 0384 2 yy 后找到最大值 解答 解答 把看作为关于 x 的 并01322 22 yxxyyx 013221 22 yyxyx 且此方程有解 所以 即0 0132421 2 2 yyy 0384 2 yy 01232 yy 故 y 的最大值是 2 3 2 1 y 2 3 点评 点评 本题考查了一元二次方程 a b c 为常数 根的判别式 当0 2 cbxax0 a 方程有两个不相等的实数根 当 方程有两个相等的实数根 当 方程没有0 0 0 实数根 同时考查了转化思想的运用和一元二次不等式的解 4 方程的正根的个数为 x xx 2 2 2 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 答案 答案 D 考点 考点 二次函数的图象 反比例函数的图象 分析 分析 此题实质是求函数和函数的图象在一 四象限有没有交点 根据 2 1 2xxy x y 2 2 两个已知函数的图象的交点情况 直接判断 解答 解答 设函数 函数 2 1 2xxy x y 2 2 函数的图象在一 三 四象限 开口向下 顶点坐标为 1 1 对称轴 2 1 2xxy 1 x 函数的图象在一 三象限 而两函数在第一象限没有交点 交点在第三象限 x y 2 2 第 13 页 共 19 页 即方程的正根的个数为 0 个 x xx 2 2 2 归纳 归纳 此题用函数知识解答比较容易 主要涉及二次函数和反比例函数图象的有关性质 同学们应该熟记且灵活掌握 5 方程的所有整数解的个数是 11 3 2 x xx A 2 B 3 C 4 D 5 答案 答案 C 考点 考点 零指数幂 专题 专题 分类讨论 分析 分析 方程的右边是 1 有三种可能 需要分类讨论 第 1 种可能 指数为 0 底数不为 0 第 2 种可能 底数为 1 第 3 种可能 底数为 指数为偶数 1 解答 解答 1 当 时 解得 2 当时 解得03 x01 2 xx3 x11 2 xx 或 1 3 当 为偶数时 解得2 x11 2 xx3 x1 x 因而原方程所有整数解是 1 共 4 个 3 2 1 点评 点评 本题考查了 a 是不为 0 的任意数 以及 1 的任何次方都等于 1 本题容易1 0 a 遗漏第 3 种可能情况而导致误选 B 需特别注意 6 关于 x 的方程的两根分别为和 1 则方程的两根为 0 2 cbxax3 0 2 acxbx A 和 1 B 和 1 C 和 D 和 3 1 2 1 3 1 1 2 1 1 答案 答案 B 考点 考点 解一元二次方程 因式分解法 一元二次方程的解 分析 分析 因为方程的两个根为和 1 所以方程可以方程因式为 用含 a 的3 013 xxa 式子表示 b 和 c 代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根 解答 解答 的两根为和 1 0 2 cbxax3 013 xxa 整理得 032 2 aaxaxab2 ac3 把 b c 代入方程 得 0 2 acxbx032 2 aaxax 0112 xxa 2 1 1 x1 2 x 归纳 归纳 本题考查的是用因式分解法解一元二次方程 把方程的两根代入方程 整理后用含 a 的式子表示 b 和 c 然后把 b c 代入后面的方程 用因式分解法可以求出方程的根 7 实数 x y 满足 记 则 u 的取值范围是 2 22 yxyx 22 yxyxu A B C D 6 3 2 u2 3 2 u61 u21 u 答案 答案 A 考点 考点 完全平方公式 第 14 页 共 19 页 专题 专题 综合题 分析 分析 把原式的 xy 变为 根据完全平方公式特点化简 然后由完全平方式恒大于xyxy 2 等于 0 得到 xy 的范围 再把原式中的 xy 变为 同理得到 xy 的另一个范围 求出两xyxy32 范围的公共部分 然后利用不等式的基本性质求出的范围 最后利用已知xy22 表示出 代入到 u 中得到 的范围即为 u 的范围 2 22 yxyx 22 yx xyu22 xy22 解答 解答 由得 即 则2 22 yxyx022 22 xyyxyx 02 2 xyyx 2 xy 由得 2 22 yxyx0322 22 xyyxyx 即 则 032 2 xyyx 3 2 xy 3 2 2 xy 不等式两边同时乘以得 2 3 4 24 xy 两边同时加上 2 得 即2 3 4 2224 xy622 3 2 xy 2 22 yxyxxyyx 2 22 xyyxyxu22 22 则 u 的取值范围是6 3 2 u 点评 点评 此题考查了完全平方公式 以及不等式的基本性质 解题时技巧性比较强 对已知 的式子进行了三次恒等变形 前两次利用拆项法拼凑完全平方式 最后一次变形后整体代入确 定出 u 关于 xy 的式子 从而求出 u 的范围 要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点 两数 的平方和加上或减去它们乘积的 2 倍等于两数和或差的平方 8 已知实数 m n 满足 则 02009 2 mm 102009 11 2 mn nn 1 n m 考点 考点 一元二次方程根与系数的关系 分析 分析 根据题意 由得 由得 02009 2 mm01 11 2009 2 mm 02009 11 2 nn 又因为 即 因此可以把 作为一元二次方程 012009 2 nn1 mnn m 1 m 1 n 的两根 由根与系数的关系得 012009 2 xx 2009 11 n m 解答 解答 02009 2 mm02009 11 2 nn 01 11 2009 2 mm 012009 2 nn 1 mnn m 1 把 作为一元二次方程的两根 m 1 n 012009 2 xx 2009 111 n m n m 第 15 页 共 19 页 归纳 归纳 本题考查的是用构造一元二次方程 利用根与系数的关系解答问题 本题的关键是 利用已知进行变形是关键所在 不要忽视了这个条件隐含的题意 1 mn 9 已知方程的两实根的平方和等于 11 k 的取值是 0212 22 kxkx A 或 1 B C 1 D 33 3 答案 答案 C 考点 考点 根与系数的关系 解一元二次方程 因式分解法 根的判别式 分析 分析 由题意设方程两根为 得 0212 22 kxkx 1 x 2 x 12 21 kxx 然后再根据两实根的平方和等于 11 从而解出 k 值 2 2 21 kxx 解答 解答 设方程两根为 0212 22 kxkx 1 x 2 x 得 12 21 kxx2 2 21 kxx 0942412 2 2 kkk 4 9 k 11 2 2 2 1 xx 112 21 2 21 xxxx 解得或 112212 2 2 kk1 k3 4 9 k 归纳 归纳 此题应用一元二次方程根与系数的关系解题 利用两根的和与两根的积表示两根的 平方和 把求未知系数的问题转化为解方程的问题 10 设 a b 是整数 方程有一个实数根是 则 0 2 baxx347 ba 答案 答案 3 考点 考点 一元二次方程的解 二次根式的化简求值 专题 专题 方程思想 分析 分析 一个根代入方程 得到 a b 等式 再由 a b 是整数 可以求出32347 a b 的值 解答 解答 把代入方程有 32347 32 032347 ba 03427 aba a b 是整数 04 027 a ba 1 4 b a 3 ba 归纳 归纳 本题考查的是一元二次方程的解 把方程的解代入方程 由 a b 是整数就可以求出 a b 的值 11 已知函数 b c 为常数 这个函数的图象与 x 轴交于两个不同的 cxbxy 1 2 两点 A 0 和 B 0 且满足 1 x 2 x1 12 xx 1 求证 cbb22 2 若 试比较与的大小 并加以证明 1 xt cbtt 2 1 x 考点 考点 抛物线与 x 轴的交点 第 16 页 共 19 页 专题 专题 证明题 探究型 分析 分析 1 首先利用求根公式求出 x 的值 再由求解 1 12 xx 2 已知推出 根据推出答案 21 2 1xxxxcxbx 1 21 xtxt 1 xt 解答 解答 证明 1 令中得到 cxbxy 1 2 0 y 01 2 cxbx 2 411 2 cbb x 又 1 12 xx 141 2 cb 1412 2 cbb cbb22 2 由已知 xxxxxcbxx 21 2 txtxtcbtt 21 2 1 211211 2 xtxtxtxtxtxcbtt 1 xt 0 1 xt 1 12 xx 1 21 xxt 即01 2 xt 01 21 xtxt 1 2 xcbtt 归纳 归纳 综合考查了二次函数的求根公式 用函数的观点看不等式等知识 12 已知关于 x 的方程有两个不相等的实数根和 并且抛物线 022 2 aaxxa 1 x 2 x 与 x 轴的两个交点分别位于点 2 0 的两旁 5212 2 axaxy 1 求实数 a 的取值范围 2 当时 求 a 的值 22 21 xx 考点 考点 抛物线与 x 轴的交点 根与系数的关系 分析 分析 1 由一元二次方程的二次项系数不为 0 和根的判别式求出 a 的取值范围 设抛物 线与 x 轴的两个交点的坐标分别为 0 0 且 5212 2 axaxy 是的两个不相等的实数根 再利用的 05212 2 axax 05212 2 axax 根的判别式求 a 的取值范围 又 抛物线与 x 轴的两个交点分别位于 5212 2 axaxy 点 2 0 的两旁 利用根与系数的关系确定 2 把代数式变形后 利用根与系数的关系求 出 a 的值 解答 解答 解 1 关于 x 的方程有两个不相等的实数根 022 2 aaxxa 0242 02 2 aaa a 解得 且 0 a2 a 设抛物线与 x 轴的两个交点的坐标分别为 0 0 且 5212 2 axaxy 第 17 页 共 19 页 是的两个不相等的实数根 05212 2 axax 02112521412 22 aaa a 为任意实数 由根与系数关系得 12 a 52 a 抛物线与 x 轴的两个交点分别位于点 2 0 的两旁 5212 2 axaxy 2 2 022 042 解得 0412252 aa 2 3 a 由 得 a 的取值范围是0 2 3 a 2 和是关于 x 的方程的两个不相等的实数根 1 x 2 x 022 2 aaxxa 2 2 21 a a xx 2 21 a a xx 0 2 3 a 02 a0 2 21 a a xx 不妨设 0 1 x0 2 x22 2121 xxxx 即82 2 221 2 1 xxxx 84 21 2 21 xxxx 解这个方程 得 8 2 4 2 2 2 a a a a 4 1 a