【5年高考3年模拟】（新课标专用）2014高考数学一轮复习 试题分类汇编 推理与证明（B）

1 第十三章推理与证明第十三章推理与证明 考点一 合情推理与演绎推理 1 2013 湖南 15 5 分 对于 E a1 a2 a100 的子集 X 定义 X 的 特征数列 为 x1 x2 x100 其中 1 其余项均为 0 例如 子集 a2 a3 的 特征数列 为 0 1 1 0 0 0 1 子集 a1 a3 a5 的 特征数列 的前 3 项和等于 2 若 E 的子集 P 的 特征数列 p1 p2 p100满足 p1 1 pi pi 1 1 1 i 99 E 的子集 Q 的 特征数列 q1 q2 q100满足 q1 1 qj qj 1 qj 2 1 1 j 98 则 P Q 的元素个数为 答案 1 2 2 17 2 2013 陕西 13 5 分 观察下列等式 1 1 2 1 2 1 2 2 22 1 3 3 1 3 2 3 3 23 1 3 5 照此规律 第 n 个等式可为 答案 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 3 2013 湖北 17 5 分 在平面直角坐标系中 若点 P x y 的坐标 x y 均为整数 则称点 P 为 格点 若一个多边形的顶点全是格点 则称该多边形为格点多边形 格点多边形的面积记为 S 其 内部的格点数记为 N 边界上的格点数记为 L 例如图中 ABC 是格点三角形 对应的 S 1 N 0 L 4 1 图中格点四边形 DEFG 对应的 S N L 分别是 2 已知格点多边形的面积可表示为 S aN bL c 其中 a b c 为常数 若某格点多边形对应的 N 71 L 18 则 S 用数值作答 答案 1 3 1 6 2 79 4 2013 江西 21 14 分 设函数 f x a 为常数且 a 0 1 1 当 a 时 求 f 2 若 x0满足 f f x0 x0 但 f x0 x0 则称 x0为 f x 的二阶周期点 证明函数 f x 有且 仅有两个二阶周期点 并求二阶周期点 x1 x2 3 对于 2 中的 x1 x2 设 A x1 f f x1 B x2 f f x2 C a2 0 记 ABC 的面积为 S a 求 S a 在区间上的最大值和最小值 解析 1 当 a 时 f f f 2 2 f f x 当 0 x a2时 由 x x 解得 x 0 因为f 0 0 故 x 0 不是 f x 的二阶周期点 2 当 a2 x a 时 由 a x x 解得 x a2 a 因 f 故 x 为 f x 的二阶周期点 当 a x a2 a 1 时 由 x a x 解得 x a a2 a 1 因 f 故 x 不是 f x 的二阶周期点 当 a2 a 1 x 1 时 由 1 x x 解得 x a2 a 1 1 因 f 故 x 为 f x 的二阶周期点 因此 函数 f x 有且仅有两个二阶周期点 x1 x2 3 由 2 得 A B 则 S a S a 因为 a a2 a0 或令 g a a3 2a2 2a 2 g a 3a2 4a 2 3 因 a 0 1 g a 0 故对于任意 a g a a3 2a2 2a 2 0 S a 0 则 S a 在区间上单调递增 故 S a 在区间上的最小值为 S 最大值为 S 考点二 直接证明与间接证明 5 2013 四川 10 5 分 设函数 f x a R e 为自然对数的底数 若存在 b 0 1 使 f f b b 成立 则 a 的取值范围是 A 1 e B 1 1 e C e 1 e D 0 1 答案 A 6 2013 陕西 21 14 分 已知函数 f x ex x R 1 求 f x 的反函数的图象上点 1 0 处的切线方程 2 证明 曲线 y f x 与曲线 y x2 x 1 有唯一公共点 3 设 a b 比较 f 与 的大小 并说明理由 解析 1 f x 的反函数为 g x ln x 设所求切线的斜率为k g x k g 1 1 于是在点 1 0 处切线方程为 y x 1 2 解法一 曲线 y ex与 y x2 x 1 公共点的个数等于函数 x ex x2 x 1 零点的个数 0 1 1 0 x 存在零点 x 0 又 x ex x 1 令 h x x ex x 1 则 h x ex 1 3 当 x 0 时 h x 0 时 h x 0 x 在 0 上单调递增 x 在 x 0 处有唯一的极小值 0 0 即 x 在 R 上的最小值为 0 0 x 0 仅当 x 0 时等号成立 x 在 R 上是单调递增的 x 在 R 上有唯一的零点 故曲线 y f x 与 y x2 x 1 有唯一的公共点 解法二 ex 0 x2 x 1 0 曲线 y ex与 y x2 x 1 公共点的个数等于曲线 y 与 y 1 公共点的个数 设 x 则 0 1 即 x 0 时 两曲线有公共点 又 x 0 仅当 x 0 时等号成立 x 在 R 上单调递减 x 与 y 1 有唯一的公共点 故曲线 y f x 与 y x2 x 1 有唯一的公共点 3 f b a 设函数 u x ex 2x x 0 则 u x ex 2 2 2 0 u x 0 仅当 x 0 时等号成立 u x 单调递增 当 x 0 时 u x u 0 0 令 x 则得 b a 0 f 7 2013 湖北 20 13 分 如图 某地质队自水平地面 A B C 三处垂直向地下钻探 自 A 点向下 钻到 A1处发现矿藏 再继续下钻到 A2处后下面已无矿 从而得到在 A 处正下方的矿层厚度为 A1A2 d1 同样可得在 B C 处正下方的矿层厚度分别为 B1B2 d2 C1C2 d3 且 d1 d2 d3 过 AB AC 的中点 M N 且与直线 AA2平行的平面截多面体 A1B1C1 A2B2C2所得的截面 DEFG 为该多面体的 一个中截面 其面积记为 S中 1 证明 中截面 DEFG 是梯形 2 在 ABC 中 记 BC a BC 边上的高为 h 面积为 S 在估测三角形 ABC 区域内正下方的矿藏 储量 即多面体 A1B1C1 A2B2C2的体积 V 时 可用近似公式 V估 S中 h 来估算 已知 V d1 d2 d3 S 试判断 V估与 V 的大小关系 并加以证明 解析 1 依题意 A1A2 平面 ABC B1B2 平面 ABC C1C2 平面 ABC 所以 A1A2 B1B2 C1C2 又 A1A2 d1 B1B2 d2 C1C2 d3 且 d1 d2 d3 因此四边形 A1A2B2B1 A1A2C2C1均是梯形 由 AA2 平面 MEFN AA2 平面 AA2B2B 且平面 AA2B2B 平面 MEFN ME 可得 AA2 ME 即 A1A2 DE 同理可证 A1A2 FG 所以 DE FG 又 M N 分别为 AB AC 的中点 则 D E F G 分别为 A1B1 A2B2 A2C2 A1C1的中点 即 DE FG 分别为梯形 A1A2B2B1 A1A2C2C1的中位线 因此 DE A1A2 B1B2 d1 d2 FG A1A2 C1C2 d1 d3 而 d1 d2 d3 故 DE FG 所以中截面 DEFG 是梯形 2 V估 V 证明如下 由 A1A2 平面 ABC MN 平面 ABC 可得 A1A2 MN 4 而 EM A1A2 所以 EM MN 同理可得 FN MN 由 MN 是 ABC 的中位线 可得 MN BC a 即为梯形 DEFG 的高 因此 S中 S梯形 DEFG 2d1 d2 d3 即 V估 S中 h 2d1 d2 d3 又 S ah 所以 V d1 d2 d3 S d1 d2 d3 于是 V V估 d1 d2 d3 2d1 d2 d3 d2 d1 d3 d1 由 d1 d20 d3 d1 0 故 V估 V 8 2013 湖南 21 13 分 已知函数 f x ex 1 求 f x 的单调区间 2 证明 当 f x1 f x2 x1 x2 时 x1 x2 0 解析 1 函数 f x 的定义域为 f x ex ex ex ex 当 x0 当 x 0 时 f x 0 所以 f x 的单调递增区间为 0 单调递减区间为 0 2 当 x0 ex 0 故 f x 0 同理 当 x 1 时 f x 0 当 f x1 f x2 x1 x2 时 不妨设 x1 x2 由 1 知 x1 0 x2 0 1 下面证明 x 0 1 f x f x 即证 ex e x 此不等式等价于