浙江省2013年高考数学第二轮复习 专题七 概率与统计 文

1 专题七专题七 概率与统计概率与统计 真题试做真题试做 1 2012 陕西高考 文 3 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计 得到样本的 茎叶图 如图所示 则该样本的中位数 众数 极差分别是 A 46 45 56 B 46 45 53 C 47 45 56 D 45 47 53 2 2012 浙江高考 文 11 某个年级有男生 560 人 女生 420 人 用分层抽样的方法 从该年级全体学生中抽取一个容量为 280 的样本 则此样本中男生人数为 3 2012 浙江高考 文 12 从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中 随机 等可能 取 两点 则该两点间的距离为的概率是 2 2 4 2012 天津高考 文 15 某地区有小学 21 所 中学 14 所 大学 7 所 现采用分层 抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查 1 求应从小学 中学 大学中分别抽取的学校数目 2 若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析 列出所有可能的抽取结果 求抽取的 2 所学校均为小学的概率 考向分析考向分析 从近三年的高考试题来看 概率统计一般是 1 1 的模式 一大一小 古典概型是考查 的热点 经常在解答题中与统计一起考查 属中 低档题 以考查基本概念为主 同时注重 运算能力与逻辑推理能力的考查 而对于统计方面的考查 主要是考查分层抽样 系统抽样 的有关计算或三种抽样方法的区别以及茎叶图 频率分布表 频率分步直方图的识图及运 用 考查概率与统计知识点的高考试题 既有自身概念的思想体现 如 样本估计总体的思 想 又有必然与或然思想 函数与方程思想和数形结合思想 热点例析热点例析 热点一 随机抽样和用样本估计总体 例 1 2012 四川高考 文 3 交通管理部门为了解机动车驾驶员 简称驾驶员 对某 新法规的知晓情况 对甲 乙 丙 丁四个社区做分层抽样调查 假设四个社区驾驶员的总 人数为N 其中甲社区有驾驶员 96 人 若在甲 乙 丙 丁四个社区抽取驾驶员的人数分别 为 12 21 25 43 则这四个社区驾驶员的总人数N为 A 101 B 808 C 1 212 D 2 012 例 2 2012 山东高考 文 14 如图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温 单位 数据得到的样本频率分布直方图 其中平均气温的范围是 20 5 26 5 样本数据的分组 为 20 5 21 5 21 5 22 5 22 5 23 5 23 5 24 5 24 5 25 5 25 5 26 5 已知样本中平均气温低于 22 5 的城市个数为 11 则样本中平均气温不低 于 25 5 的城市个数为 2 规律方法规律方法 1 解答与抽样方法有关的问题的关键是深刻理解各种抽样方法的特点 适用 范围和实施步骤 熟练掌握系统抽样中被抽个体号码的确定方法 掌握分层抽样中各层人数 的计算方法 2 与频率分布直方图 茎叶图有关的问题 应正确理解图表中各个量的意义 通过图 表掌握信息是解决该类问题的关键 3 在做茎叶图或读茎叶图时 首先要弄清楚 茎 和 叶 分别代表什么 正确求出 数据的众数和中位数 方差越小 数据越稳定 特别提醒 频率分布直方图中的纵坐标为 而不是频率值 频率 组距 变式训练变式训练 1 2012 湖南高考 文 13 如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得 分数的茎叶图 则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 注 方差s2 x1 2 x2 2 xn 2 其中 为x1 x2 xn的平均 1 nxxxx 数 热点二 古典概型 例 3 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每位同学参加各个 小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A B C D 1 3 1 2 2 3 3 4 规律方法规律方法 1 解决古典概型问题的关键是 正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数 P A 既是古典概型的定义 又是求概率的计算公式 应熟练掌握 m n 2 若事件正面情况比较多 反面情况较少 则一般利用对立事件进行计算 对于 至 少 至多 等事件的概率计算 往往用这种方法求解 热点三 概率统计综合问题 例 4 2012 北京高考 文 17 近年来 某市为了促进生活垃圾的分类处理 将生活 垃圾分为厨余垃圾 可回收物和其他垃圾三类 并分别设置了相应的垃圾箱 为调查居民生 活垃圾分类投放情况 现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000 吨生活垃圾 数据统计如 下 单位 吨 厨余垃圾 箱 可回收物 箱 其他垃圾 箱 厨余垃圾 400100100 可回收物 3024030 其他垃圾 202060 1 试估计厨余垃圾投放正确的概率 2 试估计生活垃圾投放错误的概率 3 3 假设厨余垃圾在 厨余垃圾 箱 可回收物 箱 其他垃圾 箱的投放量分别为 a b c 其中a 0 a b c 600 当数据a b c的方差s2最大时 写出a b c的值 结论不要求证明 并求此时s2的值 注 s2 x1 2 x2 2 xn 2 其中 为数据x1 x2 xn的平均数 1 nxxxx 规律方法规律方法 1 抽样方法和概率问题的综合一般是从分层抽样开始 设置分层抽样中的一 些计算问题 然后就分层抽样中各个层设置一个古典概型计算问题 虽然此类题目所考查的 知识横跨两部分 但是分解开来后 并不难解决 由于此类题目多与实际问题联系紧密 题干较长 信息量大 且会有图表 因此要认真 审题并要掌握解答题目所需的知识 要做到 1 分层抽样中的公式运用要准确 抽样比 样本容量 个体总量 各层样本容量 各层个体总量 层 1 的数量 层 2 的数量 层 3 的数量 样本 1 的容量 样本 2 的容量 样本 3 的容 量 2 在计算古典概型概率时 基本事件的总数要计算准确 2 频率分布与概率的综合主要有两种形式 1 题目中给出了样本的频率分布表 它反映了样本在各个组内的频数和频率 要求根 据频率分布表画出频率分布直方图 并根据样本在各组的频数 设置分层抽样和概率计算 等 2 利用频率与概率的关系 频率近似于概率 给出某类个体中的一个个体被抽中的概 率 从而求出样本容量及其他类个体的数量 在解决此类问题时 可将题目中所给概率作为 此类个体被抽中的频率 从而求解 变式训练变式训练 2 某河流上的一座水力发电站 每年六月份的发电量Y 单位 万千瓦时 与该 河上游在六月份的降雨量X 单位 毫米 有关 据统计 当X 70 时 Y 460 X每增加 10 Y增加 5 已知近 20 年X的值为 140 110 160 70 200 160 140 160 220 200 110 160 160 200 140 110 160 220 140 160 1 完成如下的频率分布表 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70110140160200220 频率 1 20 4 20 2 20 2 假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同 并将频率视为概 率 求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时 或超过 530 万千瓦时 的概 率 思想渗透思想渗透 数形结合思想 解决有关统计问题 1 通过频率分布直方图和频数条形图研究数据分布的总体趋势 2 根据样本数据散点图确定两个变量是否存在相关关系 解答时注意的问题 1 频率分布直方图中的纵坐标为 而不是频率值 频率 组距 2 注意频率分布直方图与频数条形图的纵坐标的区别 为了解学生身高情况 某校以 10 的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样调查 测得身高情况的统计图如下 4 1 估计该校男生的人数 2 估计该校学生身高在 170 185 cm 之间的概率 3 从样本中身高在 180 190 cm 之间的男生中任选 2 人 求至少有 1 人身高在 185 190 cm 之间的概率 解 解 1 样本中男生人数为 40 由分层抽样比例为 10 估计全校男生人数为 400 2 由统计图知 样本中身高在 170 185 cm 之间的学生有 14 13 4 3 1 35 人 样本容量为 70 所以样本中学生身高在 170 185 cm 之间的频率f 0 5 故由f估计 35 70 该校学生身高在 170 185 cm 之间的概率P1 0 5 3 样本中身高在 180 185 cm 之间的男生有 4 人 设其编号为 样本 中身高在 185 190 cm 之间的男生有 2 人 设其编号为 从上述 6 人中任取 2 人的树 状图为 故从样本中身高在 180 190 cm 之间的男生中任选 2 人的所有可能结果数为 15 至少有 1 人身高在 185 190 cm 之间的可能结果数为 9 因此 所求概率P2 9 15 3 5 1 2012 浙江名校 创新 冲刺 文 3 由 1 2 3 三个数字组成数字允许重复的三位数 则百位和十位上的数字均不小于个位数字的概率为 A B C D 4 27 1 3 13 27 14 27 2 要完成下列两项调查 从某社区 125 户高收入家庭 280 户中等收入家庭 95 户 低收入家庭中选出 100 户调查社会购买力的某项指标 从某中学的 15 名艺术特长生中选 出 3 人调查学习负担情况 宜采用的抽样方法依次为 A 简单随机抽样法 系统抽样法 B 分层抽样法 简单随机抽样法 C 系统抽样法 分层抽样法 5 D 都用分层抽样法 3 2012 湖北高考 文 2 容量为 20 的样本数据 分组后的频数如下表 分组 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 频数 234542 则样本数据落在区间 10 40 的频率为 A 0 35 B 0 45 C 0 55 D 0 65 4 2012 浙江名校新高考研究联盟 文 14 两个袋中各装有编号为 1 2 3 4 5 的 5 个 小球 分别从每个袋中摸出一个小球 所得两球编号数之和小于 5 的概率为 5 2012 浙江五校联考 文 11 为了分析某同学在班级中的数学学习情况 统计了该 同学在 6 次月考中的数学名次 用茎叶图表示如图所示 则该组数据的中位数为 6 2012 安徽高考 文 18 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 1 mm 时 则视为合格品 否则视为不合格品 在近期一次产品抽样检查中 从某厂生产的此种产品中 随机抽取 5 000 件进行检测 结果发现有 50 件不合格品 计算这 50 件不合格品的直径长与 标准值的差 单位 mm 将所得数据分组 得到如下频率分布表 分组频数频率 3 2 0 10 2 1 8 1 2 0 50 2 3 10 3 4 合计 501 00 1 将上面表格补充完整 2 估计该厂生产的此种产品中 不合格品的直径长与标准值的差落在区间 1 3 内的概 率 3 现对该厂这种产品的某个批次进行检查 结果发现有 20 件不合格品 据此估算这批 产品中的合格品的件数 7 2012 湖南长沙模拟 文 18 甲 乙两位同学参加数学竞赛培训 现分别从他们在 培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 5 次 绘制成茎叶图如图 1 现要从中选派一人参加数学竞赛 从统计学的角度考虑 你认为选派哪位学生参加 合适 请说明理由 2 若在茎叶图中的甲 乙预赛成绩中各任取 1 次成绩分别记为a和b 求满足a b的 概率 参考答案参考答案 命题调研命题调研 明晰考向明晰考向 真题试做真题试做 1 A 解析 解析 由茎叶图可知中位数为 46 众数为 45 极差为 68 12 56 故选 A 2 160 解析 解析 根据分层抽样的特点 此样本中男生人数为 280 160 560 560 420 3 解析 解析 五点中任取两点的不同取法共有 10 种 而两点之间距离为的情况有 4 2 5 2 2 种 故概率为 4 10 2 5 4 1 解 解 从小学 中学 大学中分别抽取的学校数目为 3 2 1 2 解 解 在抽取到的 6 所学校中 3 所小学分别记为A1 A2 A3 2 所中学分别记为 6 A4 A5 大学记为A6 则抽取 2 所学校的所有可能结果为 A1 A2 A1 A3 A1 A4 A1 A5 A1 A6 A2 A3 A2 A4 A2 A5 A2 A6 A3 A4 A3 A5 A3 A6 A4 A5 A4 A6 A5 A6 共 15 种 解 解 从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学 记为事件B 的所有可能结果为 A1 A2 A1 A3 A2 A3 共 3 种 所以P B 3 15 1 5 精要例析精要例析 聚焦热点聚焦热点 热点例析热点例析 例 1 B 解析 解析 四个社区抽取的总人数为 12 21 25 43 101 由分层抽样可知 解得N 808 故选 B 96 12 N 101 例 2 9 解析 解析 由于组距为 1 则样本中平均气温低于 22 5 的城市频率为 0 10 0 12 0 22 平均气温低于 22 5 的城市个数为 11 所以样本容量为 50 11 0 22 而平均气温高于 25 5 的城市频率为 0 18 所以 样本中平均气温不低于 25 5 的城市个数为 50 0 18 9 变式训练 1 6 8 解析 解析 11 x 8 9 10 13 15 5 s2 6 8 8 11 2 9 11 2 10 11 2 13 11 2 15 11 2 5 例 3 A 解析 解析 记三个兴趣小组分别为 1 2 3 甲参加 1 组记为 甲 1 则基本事件 为 甲 1 乙 1 甲 1 乙 2 甲 1 乙 3 甲 2 乙 1 甲 2 乙 2 甲 2 乙 3 甲 3 乙 1 甲 3 乙 2 甲 3 乙 3 共 9 个 记事件A为 甲 乙两位同学参加同一个兴趣小组 则事件A包含 甲 1 乙 1 甲 2 乙 2 甲 3 乙 3 共 3 个 因此P A 3 9 1 3 例 4 解 解 1 厨余垃圾投放正确的概率约为 厨余垃圾 箱里厨余垃圾量 厨余垃圾总量 400 400 100 100 2 3 2 设生活垃圾投放错误为事件A 则事件 表示生活垃圾投放正确 A 事件 的概率约为 厨余垃圾 箱里厨余垃圾量 可回收物 箱里可回收物量与 其他 A 垃圾 箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量 即P 约为 0 7 A 400 240 60 1 000 所以P A 约为 1 0 7 0 3 3 当a 600 b c 0 时 s2取得最大值 因为 a b c 200 x 1 3 所以s2 600 200 2 0 200 2 0 200 2 80 000 1 3 变式训练 2 解 解 1 在所给数据中 降雨量为 110 毫米的有 3 个 为 160 毫米的有 7 个 为 200 毫米的有 3 个 故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70110140160200220 频率 1 20 3 20 4 20 7 20 3 20 2 20 解析 解析 2 P 发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时 P Y 490 或Y 530 P X 130 或X 210 7 P X 70 P X 110 P X 220 1 20 3 20 2 20 3 10 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时 或超过 530 万千瓦时 的概率 为 3 10 创新模拟创新模拟 预测演练预测演练 1 D 解析 解析 由 1 2 3 三个数字组成数字允许重复的三位数共有 3 3 3 27 个 其中 百位和十位上的数字均不小于个位数字的三位数有 个位数字为 3 时 只有 1 个 个位数字 为 2 时 有 2 2 4 个 个位数字为 1 时 有 3 3 9 个 总共有 14 个 故选 D 2 B 解析 解析 中总体由差异明显的几部分构成 宜采用分层抽样法 中总体中的个 体数较少 宜采用简单随机抽样法 故选 B 3 B 解析 解析 样本数据落在区间 10 40 的频数为 2 3 4 9 故所求的频率为 0 45 9 20 4 解析 解析 分别从每个袋中摸出一个小球 共有 25 种摸法 所得两球编号数之和小 6 25 于 5 的摸法有 若从第一个袋中摸出编号为 1 的小球 则从第二个袋中摸出的小球编号只能 为 1 2 3 有 3 种摸法 若从第一个袋中摸出编号为 2 的小球 则从第二个袋中摸出的小球 编号只能为 1 2 有 2 种摸法 若从第一个袋中摸出编号为 3 的小球 则从第二个袋中摸出 的小球编号只能为 1 有 1 种摸法 总共有 6 种摸法 故所求概率为 6 25 5 18 5 解析 解析 由茎叶图知中间两位数为 18 和 19 所以中位数为 18 5 18 19 2 6 解 解 1 频率分布表 分组频数频率 3 2 50 10 2 1 80 16 1 2 250 50 2 3 100 20 3 4 20 04 合计 501 00 2 由频率分布表知 该厂生产的此种产品中 不合格品的直径长与标准值的差落在区 间 1 3 内的概率约为 0 50 0 20 0 70 3 设这批产品中的合格品数为x件 依题意有 50 5 000 20 x 2