【三维设计】2013届高考数学一轮复习 大题规范解答 全得分系列（七）空间向量在立体几何中的应用答题模板 新人教版

1 三维设计三维设计 2013 2013 届高考数学一轮复习届高考数学一轮复习 大题规范解答大题规范解答 全得分系列全得分系列 七 空间向量在立体几何中的应用答题模板 七 空间向量在立体几何中的应用答题模板 新人教版新人教版 利用空间向量证明空间中的线面关系 计算空间的各种角是高考对立体几何的常规考 法 它以代数运算代替复杂的想象 给解决立体几何带来了鲜活的方法 此类问题多以解 答题为主 难度中档偏上 主要考查空间坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用 能力 运算能力要求较高 大题规范解答 得全分 系列之 七 空间向量在立体几何中的应用答题模板 典例 2012 安徽高考 满分 12 分 平面图形ABB1A1C1C如图 所示 其中BB1C1C是矩形 BC 2 BB1 4 AB AC A1B1 A1C1 现将该平面图形分别 25 沿BC和B1C1折叠 使 ABC与 A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂 直 再分别连接A1A A1B A1C 得到如图 所示的空间图形 对此 空间图形解答下列问题 1 证明 AA1 BC 2 求AA1的长 3 求二面角A BC A1的余弦值 教你快速规范审题 1 审条件 挖解题信息 观察 条件 四边形BB1C1C是矩形 平面ABC 平面BB1C1C 平面A1B1C1 平面BB1C1C 取BC B1C1的中点D D1 连接DD1 DD1 B1D1 A1D1两两垂直 2 审结论 明解题方向 1 证明 AA1 BC 观察 结论 2 求AA1的长 3 求二面角A BC A1的余弦值 需建立空间直角坐标系 正确写出相关点的坐标 转化为向量运算解决 3 建联系 找解题突破口 2 D1D D1B1 D1A1两两垂直 BC 2 BB1 4 AB AC A1B1 A1C2 1 5 以D1D D1B1 D1A1所在 直线分别为z轴 x轴 y轴 建立空间 直角坐标系 正确写出相关点及 相关向量的坐标 得相应 结论 教你准确规范解题 1 证明 取BC B1C1的中点分别为D和D1 连接A1D1 DD1 AD 由BB1C1C为矩形知 DD1 B1C1 因为平面BB1C1C 平面A1B1C1 所以DD1 平面A1B1C1 1 分 又由A1B1 A1C1知 A1D1 B1C1 2 分 故以D1为坐标原点 可建立如图所示的空间直角坐标系 D1 xyz 3 分 由题设 可得A1D1 2 AD 1 由以上可知AD 平面BB1C1C A1D1 平面BB1C1C 于是AD A1D1 4 分 所以A 0 1 4 B 1 0 4 A1 0 2 0 C 1 0 4 D 0 0 4 故 0 3 4 2 0 0 0 5 分 1 AA BC 1 AA BC 因此 即AA1 BC 6 分 1 AA BC 2 因为 0 3 4 1 AA 所以 5 即AA1 5 8 分 1 AA 3 设平面A1BC的法向量为n n1 x1 y1 z1 又因为 1 2 4 1 2 4 9 分 1 AC 1 A B 所以Error 10 分 即Error Error 令z1 1 则n n1 0 2 1 1 证明 0 1 A A BC 2 计算AA1 1 AA 3 求平面法向量的夹角 3 又因为平面ABC z轴 所以取平面ABC的法向量为n n2 0 0 1 则 cos n n1 n n2 11 分 n n1 n n2 n n1 n n2 1 5 5 5 所以二面角A BC A1的余弦值为 12 分 5 5 常见失分探因 Error Error Error 教你一个万能模板 第一步 理清题意利用条件分析问题 建立恰当的空间直角坐标系 第二步 确定相关点的坐标结合建系过程与图形 准确地写出相关点的坐标 第三步 确立平面 的法向量 利用点的坐标求出相关直线的方向向量和平面的法向量 若已知某直 线垂直某平面 可直接取直线的一个方向向量为该平面的法向量 第四步 转化为向量 运算 将空间位置关系转化为向量关系 空间角转