2014届高三数学辅导精讲精练31

1 20142014 届高三数学辅导精讲精练届高三数学辅导精讲精练 3131 1 2012 辽宁 已知两个非零向量a a b b 满足 a a b b a a b b 则下面结论正确的 是 A a a b b B a a b b C a a b b D a a b b a a b b 答案 B 解析 由 a a b b a a b b 两边平方并化简得a a b b 0 又a a b b都是非零向量 所以 a a b b 2 2011 辽宁 已知向量a a 2 1 b b 1 k a a 2a a b b 0 则k A 12 B 6 C 6 D 12 答案 D 解析 2a a b b 4 2 1 k 5 2 k 由a a 2a a b b 0 得 2 1 5 2 k 0 10 2 k 0 解得k 12 3 2013 东北三校一模 已知平面向量a a 1 3 b b 4 2 若 a a b b与a a 垂直 则实数 等于 A 1 B 1 C 2 D 2 答案 B 解析 依题意得 a a b b 4 3 2 a a b b a a 4 3 2 1 3 4 3 3 2 10 10 0 1 选 B 4 已知向量a a 1 2 向量b b x 2 且a a a a b b 则实数x等于 A 9 B 4 C 0 D 4 答案 A 解析 因为向量a a 1 2 向量b b x 2 所以a a b b 1 x 4 又因为 a a a a b b 所以a a a a b b 0 即 1 1 x 2 4 0 解得x 9 故选 A 5 2013 郑州第一次质检 若向量a a b b满足 a a b b 1 a a b b b b 则向量 3 2 a a b b的夹角为 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 2 解析 a a b b b b b b2 a ba b 1 a ba b 3 2 a ba b a a b b cos a a b b cos a a b b a a b b 60 故选 C 1 2 1 2 6 已知a a b b均为单位向量 它们的夹角为 60 那么 a a 3b b 等于 A B 710 C D 4 13 答案 C 解析 a a 3b b a a 3b b 2 选 C a a 2 9 b b 2 6 a a b b cos60 13 7 已知向量a a 1 2 a ba b 5 a a b b 2 则 b b 等于 5 A B 2 55 C 5 D 25 答案 C 解析 由a a 1 2 可得a a2 a a 2 12 22 5 a a b b 2 a a2 2a a b b b b2 20 5 5 2 5 b b2 20 b b2 25 b b 5 故选 C 8 a a b b为平面向量 已知a a 4 3 2a a b b 3 18 则a a b b夹角的余弦值等于 A B 8 65 8 65 C D 16 65 16 65 答案 C 解析 由题可知 设b b x y 则 2a a b b 8 x 6 y 3 18 所以解得 x 5 y 12 故b b 5 12 由 cos a a b b 故选 C a a b b a a b b 16 65 9 若a a 2 3 b b 4 7 c c 且a a b b a a c c 则c c 26 A 4 7 B 5 1 C 5 1 D 2 4 答案 C 解析 设c c x y c c x2 y2 26 26 a a b b a a c c 2 4 3 7 2x 3y 联立 解之得Error 10 已知向量a a 1 2 b b 2 3 若向量c c满足 c c a a b b c c a a b b 则c c 3 A B 7 9 7 3 7 3 7 9 C D 7 3 7 9 7 9 7 3 答案 D 解析 不妨设c c m n 则a a c c 1 m 2 n a a b b 3 1 对于 c c a a b b 则有 3 1 m 2 2 n 又c c a a b b 则有 3m n 0 则有m n 7 9 7 3 11 已知向量a a b b是非零向量 且满足a a b b b b 则 a a 1 是 向量a a与b b 反向 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 a a b b a a b b cos a a b b b b a a cos a a b b 1 若 a a 1 则 cos a a b b 1 a a b b a a与b b反向 若a a与b b反向 则 cos a a b b 1 a a 1 12 2011 全国课标理 已知a a与b b均为单位向量 其夹角为 有下列四个命题 p1 a a b b 1 0 p2 a a b b 1 p3 a a b b 1 2 3 2 3 0 p4 a a b b 1 其中的真命题是 3 3 A p1 p4 B p1 p3 C p2 p3 D p2 p4 答案 A 解析 由 a a b b 1 可得a a2 2a a b b b b2 1 a a 1 b b 1 a a b b 故 1 2 0 当 0 时 a a b b a a b b 2 a a2 2a a b b b b2 1 即 2 3 2 3 1 2 a a b b 1 由 a a b b 1 可得a a2 2a a b b b b2 1 a a 1 b b 1 a a b b 故 1 2 反之也成立 选 A 3 13 2011 安徽 已知向量a a b b满足 a a 2b b a a b b 6 且 a a 1 b b 2 则a a与b b的夹角为 4 答案 3 解析 设a a与b b的夹角为 依题意有 a a 2b b a a b b a a2 a ba b 2b b2 7 2cos 6 所以 cos 因为 0 所以 1 2 3 14 2012 安徽 若平面向量a a b b满足 2a a b b 3 则a a b b的最小值是 答案 9 8 解析 由 2a a b b 3 可知 4a a2 b b2 4a a b b 9 所以 4a a2 b b2 9 4a a b b 而 4a a2 b b2 2a a 2 b b 2 2 2a a b b 4a a b b 所以a a b b 当且仅当 2a a b b时取 9 8 等号 15 2012 江西 设单位向量m m x y b b 2 1 若m m b b 则 x 2y 答案 5 解析 因为m m b b 所以m m b b 2x y 0 又由m m是单位向量 得x2 y2 1 由 解得Error 或Error 所以x 2y 或x 2y 55 所以 x 2y 5 16 2012 北京 已知正方形ABCD的边长为 1 点E是AB边上的动点 则 的 DE CB 值为 的最大值为 DE DC 答案 1 1 解析 以D为坐标原点 建立平面直角坐标系如图所示 则D 0 0 A 1 0 B 1 1 C 0 1 设E 1 a 0 a 1 所以 1 a 1 0 1 DE CB 1 a 0 1 a 1 DE DC 故 的最大值为 1 DE DC 17 若向量a a与b b的夹角为 60 b b 4 a a 2b b a a 3b b 72 则 a a 5 答案 6 解析 a a 2b b a a 3b b 72 a a 2 a a b b 6 b b 2 72 因为a a b b a a b b cos60 2 a a 所以 a a 2 2 a a 24 0 所以 a a 4 a a 6 0 所以 a a 6 18 已知向量a a 1 b b是不平行于x轴的单位向量 且a a b b 则b b等于 33 答案 1 2 3 2 解析 令b b x y 注 也可设b b cos sin 则 Error 将 代入 知 x2 x 2 1 x2 3 6x 3x2 1 0 33 解得x 1 舍去 此时y 0 或x y 1 2 3 2 19 已知 a a 4 b b 3 2a a 3b b 2a a b b 61 1 求a a与b b的夹角 2 求 a a b b 和 a a b b 3 若 a a b b 作 ABC 求 ABC的面积 AB AC 答案 1 120 2 3 3 13373 解析 1 由 2a a 3b b 2a a b b 61 得 4 a a 2 4a a b b 3 b b 2 61 a a 4 b b 3 代入上式求得a a b b 6 cos a a b b a a b b 6 4 3 1 2 又 0 180 120 2 可先平方转化为向量的数量积 a a b b 2 a a b b 2 a a 2 2a a b b b b 2 42 2 6 32 13 a a b b 13 同理 a a b b a a2 2a a b b b b237 3 先计算a a b b夹角的正弦 再用面积公式求值 由 1 知 BAC 120 a a 4 b b 3 AB AC 6 S ABC sin BAC 1 2 AC AB 3 4 sin120 3 1 23 20 设两个向量e e1 e e2满足 e e1 2 e e2 1 e e1与e e2的夹角为 若向量 3 2te e1 7e e2与e e1 te e2的夹角为钝角 求实数t的范围 答案 7 14 2 14 2 1 2 解析 由向量 2te e1 7e e2与e e1 te e2的夹角为钝角 得 0 2te e1 7e e2 e e1 te e2 2te e1 7e e2 e e1 te e2 即 2te e1 7e e2 e e1 te e2 0 化简即得 2t2 15t 7 0 解得 7 t 1 2 当夹角为 时 也有 2te e1 7e e2 e e1 te e2 0 但此时夹角不是钝角 设 2te e1 7e e2 e e1 te e2 2a a b b B 2a a a a 2b b D 2b b a a 2b b 若a a 2b b 0 不妨设a a x 0 则a a 2b b 0 y xy 0 得 2b b x y 则 2b b 2 x2 y2 y2 a a 2b b 2 所以 2b b a a 2b b 4 O为 ABC的内切圆圆心 AB 5 BC 4 CA 3 下列结论正确的是 A OA OB OB OC OC OA C OA OB OB OC OC OA D OA OB OB OC OC OA 答案 A 解析 如图 A 0 3 B 4 0 C 0 0 O 1 1 则 1 2 3 1 1 1 5 1 OA OB OC OA OB OA OC OB 2 OC 5 2011 广东理 若向量a a b b c c满足a a b b且a a c c 则c c a a 2b b A 4 B 3 C 2 D 0 答案 D 解析 由a a b b及a a c c 得b b c c 则c c a a 2b b c c a a 2c c b b 0 6 2011 辽宁理 若a a b b c c均为单位向量 且a a b b 0 a a c c b b c c 0 则 8 a a b b c c 的最大值为 A 1 B 1 2 C D 2 2 答案 B 解析 由已知条件 向量a a b b c c都是单位向量可以求出 a a2 1 b b2 1 c c2 1 由 a a b b 0 及 a a c c b b c c 0 可以知道 a a b b c c c c2 1 因为 a a b b c c 2 a a2 b b2 c c2 2a a b b 2a a c c 2b b c c 所以有 a a b b c c 2 3 2 a a c c b b c c 1 故 a a b b c c 1 7 已知向量a a 1 1 a a b b 3 a a b b 则 a a b b 13 答案 25 解析 由题知 a a a a b b 2 a a 2 2a a b b b b 2 13 因此 b b 12 1225 8 在 OAB中 M是AB的中点 N是OM的中点 若OM 2 则 NO NA NB 答案 2 解析 如图 延长NM到点C 使得MC NM 连接AC BC 根据向量的几何运算法则 可得 而 所以 2 2 NA NB NC OM NO 1 2OM NO NA NB 1 2 OM 9 已知 a a 2 b b 1 a a与b b的夹角为 60 求向量a a 2b b与a a b b的夹角的余弦 值 答案 1 2 解析 a a b b a a b b cos 1 a a 2b b 2 a a2 4b b2 4a a b b 12 a a b b 2 a a2 b b2 2a a b b 3 a a 2b b a a b b a a2 2b b2 a a b b 3 向量a a 2b b与a a b b的夹角的余弦值 9 cos a a 2b b a a b b a a 2b b a a b b 3 12 3 1 2 10 已知平面上三个向量a a b b c c的模均为 1 它们相互之间的夹角均为 120 1 求证 a a b b c c 2 若 ka a b b c c 1 k R R 求k的取值范围 解析 1 证明 a a b b c c a a c c b b c c a a c c cos120 b b c c cos120 0 a a b b c c 2 解析 ka a b b c c 1 ka a b b c c 2 1 k2a a2 b b2 c c2 2ka a b b 2ka a c c 2b b c c 1 a a b b c c 1 且a a b b c c的夹角均为 120 a a2 b b2 c c2 1 a a b b b b c c a a c c 1 2 k2 2k 0 k 2 或k0 所以x 2t t 0 a a 1 x 1 2t c c 1 3t 4t 所以a a c c 1 3t 8t2 8 t 2 3 16 23 32 所以m t x 23 32 3 16 3 8 3 已知圆O的半径为 1 PA PB为该圆的两条切线 A B为两切点 那么 的 PA PB 最小值为 A 4 B 3 22 C 4 2 D 3 2 22 答案 D 解析 方法一 设 x APB 则 tan cos PA PB 2 1 x x2 1 x2 1 则 x2 x2 1 3 2 PA PB x2 1 x2 1 x4 x2 x