【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第一章§2.2分层抽样与系统抽样导学案 北师大版必修3

1 2 22 2 分层抽样与系统抽样分层抽样与系统抽样 1 理解分层抽样与系统抽样的概念 2 通过对实例的分析 了解分层抽样与系统抽样的方法 1 分层抽样 1 定义 将总体按其 分成若干类型 有时称作层 然后在每个类型中按照 随机抽取一定的样本 这种抽样方法通常叫作分层抽样 有时也称为类型抽样 2 分层抽样的步骤 分层 按某种 将总体分成若干部分 层 按 确定每层抽取个体的个数 各层分别按简单随机抽样或其他的抽样方法抽取样本 综合每层抽样 组成样本 应用分层抽样应遵循以下要求 1 分层 将相似的个体归入一类 即为一层 分层要求每层的各个个体互不交叉 即 遵循不重复 不遗漏的原则 即保证样本结构与总体结构的一致性 2 分层抽样为保证每个个体等可能入样 需遵循在各层中进行简单随机抽样 每层样 本数量与该层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等 3 当总体个体差异明显时 采用分层抽样 做一做 1 1 某社区有 500 户家庭 其中高收入家庭 125 户 中等收入家庭 280 户 低收入家庭 95 户 为了调查社会购买力的某项指标 要从中抽取一个容量为 100 的样本 应采用的抽样方法是 A 简单随机抽样 B 分层抽样 C 系统抽样 D 分类抽样 做一做 1 2 当前 国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问 题 已知甲 乙 丙三个社区现分别有低收入家庭 360 户 270 户 180 户 若第一批经济 适用房中有 90 套住房用于解决这三个社区中 90 户低收入家庭的住房问题 则应从甲社区 中抽取低收入家庭的户数为 A 40 B 30 C 20 D 36 2 系统抽样 1 定义 将总体中的个体进行编号 等距分组 在第一组中 按照 抽取第 一个样本 然后按 称为抽样距 抽取其他样本 这种抽样方法称为系统抽样 有 时也叫等距抽样或机械抽样 2 注意 编号时要随机编号 否则抽取的样本代表性差 3 系统抽样的步骤 采用随机抽样的方法将总体中的N个个体 确定分段间隔k k N N 将整体按编号进行分段 组 在第 段用简单随机抽样确定起始个体的编号l l N N 0 l k 按照一定的规则抽取样本 通常是将起始编号l 上间隔k得到第 2 个个体编 号l k 再加上k得到第 3 个个体编号l 2k 这样继续下去 直到获取整个样本 系统抽样的特征 1 当总体中个体无差异且个体数目较大时 采用系统抽样 2 将总体分成均衡的若干部分指的是 将总体分段 分段的间隔要求相等 因此 系 2 统抽样又称等距抽样 间隔一般为k Error 表示不超过Error N n 3 预先制定的规则指的是 在第一段内采用简单随机抽样确定一个起始编号 在此编 号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号 做一做 2 1 下列抽样试验中 最适宜用系统抽样法的是 A 某市的 4 个区共有 2 000 名学生 且 4 个区的学生人数之比为 3 2 8 2 从中 抽取 200 人入样 B 从某厂生产的 2 000 个电子元件中随机抽取 5 个入样 C 从某厂生产的 2 000 个电子元件中随机抽取 200 个入样 D 从某厂生产的 20 个电子元件中随机抽取 5 个入样 做一做 2 2 一个总体中有 1 000 个个体 现用系统抽样抽取一个容量为 100 的样 本 则编号后 按从小到大的编号顺序平均分成 组 每组有 个个 体 1 系统抽样中如何对总体中的每个个体进行合理分段 剖析 系统抽样操作的要领是先将个体数较多的总体分成均衡的若干部分 然后 按照 预先制定的规则 从每一部分中抽取 1 个个体 得到所需样本 由于抽样的间隔相等 因 此系统抽样又称为等距抽样 或叫机械抽样 所以系统抽样中必须对总体中的每个个体进 行合理 即等距 分段 若从容量为N的总体中抽取容量为n的样本 用系统抽样时 应先将总体中的各个个 体编号 再确定分段间隔k 以便对总体进行分段 当 是整数时 取k 为分段间隔即可 如N 100 n 20 则分段间隔k 5 N n N n 100 20 也就是将 100 个个体平均每 5 个分为一段 组 当 不是整数时 应先从总体中随机剔除一些个体 使剩余个体数N 能被n整除 这 N n 时分段间隔k 如N 101 n 20 则应先用简单随机抽样从总体中剔除 1 个个体 N n 使剩余的总体容量 即 100 能被 20 整除 从而得出分段间隔k 5 也就是说 只需 100 20 将 100 个个体平均分为 20 段 组 一般地 用简单随机抽样的方法从总体中剔除部分个体 其个数为总体中的 个体数除 以样本容量所得的余数 上述过程中 总体中的每个个体被取出 或被剔除 的可能性相等 也就是每个个体不 被选取 或不被剔除 的可能性也相等 所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍然 都相等 这说明使用系统抽样法抽取样本的过程是公平的 2 分层抽样中各层入样的个体数应如何确定 剖析 当总体由差异明显的几部分组成时 应将总体分成互不交叉的几部分 其中所 分成的每一部分叫层 然后按照各部分所占的比例 从各部分中独立抽取一定数量的个体 再将各部分抽出的个体合在一起作为样本 这就是分层抽样 由于层与层之间有明显的区别 而层内个体间差异不明显 为了使样本更能充分地反 映总体的情况 抽取样本时 必须照顾到各个层的个体 所以每层中所抽取的个体数应按 各层个体数在总体中所占的比例抽取 也就是各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的 比例 即抽样比 这样抽取能使所得到的样本结构与总体结构相同 可以提高样 样本容量 总体容量 本对总体的代表性 在实际操作时 应先计算出抽样比k 再按抽样比确定每层需要抽取的个 样本容量 总体容量 3 体数 抽样比 该层个体数目 该层个体数目 样本容量 总体容量 题型一 分层抽样中的计算问题 例题 1 某校共有师生 1 600 人 其中教师有 100 人 现用分层抽样的方法 从所 有师生中抽取一个容量为 80 的样本 则抽取的学生数为 反思 一个总体中有m个个体 用分层抽样方法从中抽取一个容量为n n m 的样本 某层中含有x x m 个个体 在该层中抽取的个体数目为y 则有 y 该等式中含有四 nx m 个量 已知其中任意三个量 就能求出第四个量 题型二 分层抽样的应用 例题 2 某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查 参加调查的 总人数为 12 000 人 其中持各种态度的人数如下表所示 很喜爱喜爱一般不喜爱 2 4354 5673 9261 072 电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见 打算从中再抽取 60 人进行更为详细的 调查 应怎样进行抽样 分析 人数多 差异大分层抽样确定每层抽取比例在各层中分别抽取 合在一起得样本 反思 在分层抽样的过程中 为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的 这就要求 各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比 题型三 为整数的系统抽样问题 N n 例题 3 为了了解某地区今年高一学生期末考试的数 学成绩 打算从参加考试的 15 000 名学生的数学成绩中用系统抽样的方法抽取容量为 150 的样本 请写出抽取过程 分析 按照系统抽样的步骤进行 反思 当总体容量n能被样本容量N整除时 分段间隔k 当用系统抽样抽取样本 N n 时 通常是将起始数s加上间隔k得到第 2 个个体编号s k 再加k得到第 3 个个体编号 s 2k 依次进行下去 直到获取整个样本 题型四 不是整数的系统抽样问题 N n 例题 4 从某厂生产的 802 辆轿车中抽取 80 辆测试某项性能 请合理选择抽样方法 进行抽样 并写出抽样过程 分析 总体特点 采用系统抽样 间隔不为整数 剔除2个个体 系统抽样样本 反思 当总体容量不能被样本容量整除时 可以先从总体中随机剔除几个个体 但要 注意的是剔除过程必须是随机的 也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等 剔除几个 个体后使总体中剩余的个体能被样本容量整除 然后再按系统抽样方法抽取样本 题型五 易错辨析 例题 5 要从某学校的10 013 名学生中抽取 100 名进行健康检查 采用何种抽样方 法较好 并写出过程 错解 由于总体个数为 10 013 数量较大 而且都是学生 差别不大 因而应该采用 系统抽样 具体过程如下 由系统抽样的步骤先分为 100 段 其中前 87 段每段 100 人 后 13 段每段 101 人 再在第一段中用简单随机抽样确定起始个体编号l 最后将 l 100 l 200 l 9 913 分别抽出得第 2 3 100 组中的编号 从而获得整个 样本 错因分析 上面的解法违背了系统抽样的等距均分原理 抽出的个体不都是处在每段 的同一位置上 前 87 段与后 13 段各自处的位置不一样 导致抽样的不公平性 所以解法 4 是错误的 必须先要随机地剔除 13 人 1 下列问题中 最适合用分层抽样抽取样本的是 A 从 10 名同学中抽取 3 人参加座谈会 B 某社区有 300 户家庭 其中高收入的家庭 75 户 中等收入的家庭 180 户 低收入 的家庭 45 户 为了了解生活购买力的某项指标 要从中抽取一个容量为 50 户的样本 C 从 1 000 名工人中 抽取 100 人调查上班途中所用的时间 D 从生产流水线上 抽取样本检查产品质量 2 2011 西安市一中月考 1 我校在检查学生作业时 抽出每班学号尾数为 5 的学生作 业进行检查 这里运用的是 A 分层抽样 B 抽签抽样 C 随机抽样 D 系统抽样 3 2012 江苏高考 2 某学校高一 高二 高三年级的学生人数之比为 3 3 4 现用 分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本 则应从高二年级抽取 名学生 4 若总体中含有 1 645 个个体 采用系统抽样的方法从中抽取容量为 35 的样本 则编 号后确定编号分为 段 分段间隔k 每段有 个个体 5 某学校有在编人员 200 人 其中行政人员 20 人 教师 140 人 后勤人员 40 人 教 育部门为了解学校机构改革意见 要从中抽取一个容量为 20 的样本 试确定用何种方法抽 样 并写出抽样过程 答案 答案 基础知识 梳理 1 1 属性特征 所占比例 2 特征 所占比例 做一做 1 1 B 做一做 1 2 A 抽样比是 则应从甲社区中抽取低收入家庭的 90 360 270 180 1 9 户数为 360 40 1 9 2 1 简单随机抽样 分组的间隔 3 编号 一 加 做一做 2 1 C 做一做 2 2 100 10 典型例题 领悟 例题 1 75 抽样比为 该校有学生 1 600 100 1 500 人 则抽取的学 80 1 600 1 20 5 生数为 1 500 75 1 20 例题 2 解 解 采用分层抽样的方法 抽样比为 60 12 000 很喜爱 的有 2 435 人 应抽取 2 435 12 人 60 12 000 喜爱 的有 4 567 人 应抽取 4 567 23 人 60 12 000 一般 的有 3 926 人 应抽取 3 926 20 人 60 12 000 不喜爱 的有 1 072 人 应抽取 1 072 5 人 60 12 000 因此 采用分层抽样的方法在 很喜爱 喜爱 一般 不喜爱 的人中分别抽 取 12 人 23 人 20 人和 5 人 例题 3 解 解 1 对全体学生的数学成绩进行编号 1 2 3 15 000 2 分段 由于样本容量与总体容量的比是 1 100 所以我们将总体平均分为 150 个 部分 其中每一部分包括 100 个个体 3 在第一部分即 1 号到 100 号用简单随机抽样抽取一个号码 比如是 56 4 以 56 作为起始数 再顺次抽取 156 256 356 14 956 这样就得到一个容量 为 150 的样本 例题 4 解 解 由于总体及样本中的个体数较多 且无明显差异 因此采用系统抽样 的方法 步骤如下 第一步 先从 802 辆轿车中剔除 2 辆轿车 剔除方法可用随机数法 第二步 将余下的 800 辆轿车编号为 1 2 800 并均匀分成 80 段 每段含k 10 个个体 800 80 第三步 从第 1 段即 1 2 10 这 10 个编号中 用简单随机抽样的方法抽取一个号 如 5 作为起始号 第四步 从 5 开始 再将编号为 15 25 795 的个体抽出 得到一个容量为 80 的 样本 例题 5 正解 正解 由于总体个数为 10 013 数量较大 而且都是学生 差别不大 因 而应采用系统抽样法 具体过程如下 由系统抽样的步骤可知编号分段时 10 013 100 不为整数 先从总体中随机剔除 13 人 再按如下步骤操作 采用随机的方式将总体中的个体编号为 1 2 3 10 000 把总体分成 100 段 每段 100 人 10 000 100 在第一段中用简单随机抽样确定起始个体的编号l 将l 100 l 200 l 9 900 分别抽出得到第 2 3 100 组中的各个编号 从而获得整个样本 随堂练习 巩固 1 B 2 D 3 15 根据分层抽样的特点 可得高二年级学生人数占学生总人数的 因此在样本 3 10 中 高二年级的学生所占比例也应该为 故应从高二年级抽取 50 15 名 学生 3 10 3 10 4 35 47