三角形五心定律

垂 心 三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心 锐角三角形垂心在三角形内部 直角三角形垂心在三角形直角顶点 钝角三角形垂心在三角形外部 垂心是高线的交点 垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点 三角形三个顶点 三个垂足 垂心这 7 个点可以得到 6 个四点圆 三角形上作三高 三高必于垂心交 高线分割三角形 出现直角三对整 直角三角有十二 构成六对相似形 四点共圆图中有 细心分析可找清 重心 重心是三角形三边中线的交点 三线交一可用燕尾定理证明 十分简单 证明过程又是 塞瓦定理的特例 重心的几条性质 1 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2 1 2 重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等 3 重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小 4 在平面直角坐标系中 重心的坐标是顶点坐标的算术平均 即其坐标为 X1 X2 X3 3 Y1 Y2 Y3 3 空间直角坐标系 横坐标 X1 X2 X3 3 纵坐标 Y1 Y2 Y3 3 竖坐 标 z1 z2 z3 3 5 三角形内到三边距离之积最大的点 内心 内心是三角形三条内角平分线的交点 即内切圆的圆心 内心是三角形角平分线交点的原理 经圆外一点作圆的两条切线 这一点与圆心的连线 平分两条切线的夹角 原理 角平分线上点到角两边距离相等 内心定理 三角形的三个内角的角平分线交于一点 该点叫做三角形的内心 注意到内心到三边距离相等 为内切圆半径 内心定理其实极易证 若三边分别为 l1 l2 l3 周长为 p 则内心的重心坐标为 l1 p l2 p l3 p 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点 希望对你有帮助 三角形五心定律 三角形的重心 外心 垂心 内心和旁心称之为三角形的五心 三角形五心定律指是三角 形重心定律 外心定律 垂心定律 内心定律 旁心定律的总称 一 三角形重心定律 三角形的三条边的中线交于一点 该点叫做作三角形的重心 三中线交于一点可用燕尾定 理证明 十分简单 重心原是一个物理概念 对于等厚度的质量均匀的三角形薄片 其重 心恰为此三角形三条中线的交点 重心因而得名 重心的性质 1 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2 1 2 重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等 即重心到三条边的距离与三条边的 长成反比 3 重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小 4 在平面直角坐标系中 重心的坐标是顶点坐标的算术平均 即其重心坐标为 X1 X2 X3 3 Y1 Y2 Y3 3 二 三角形外心定律 三角形的三条边的垂直平分线交于一点 此点为该三角形外接圆的圆心 叫做三角形的外 心 注意到外心到三角形的三个顶点距离相等 结合垂直平分线定义 此结论其实极好证 外心的性质 1 若 O 是 ABC 的外心 则 BOC 2 A A 为锐角或直角 或 BOC 360 2 A A 为钝角 3 当三角形为锐角三角形时 外心在三角形内部 当三角形为钝角三角形时 外心在三角 形外部 当三角形为直角三角形时 外心与斜边中点重合 4 计算外心的重心坐标应先计算下列临时变量 d1 d2 d3 分别是三角形三个顶点连向 另外两个顶点向量的点乘 c1 d2d3 c2 d1d3 c3 d1d2 c c1 c2 c3 重心坐标 c2 c3 2c c1 c3 2c c1 c2 2c 三 三角形垂心定律 三角形的三条高 所在直线 交于一点 该点叫做三角形的垂心 垂心的性质 1 三角形三个顶点 三个垂足 垂心这 7 个点可以得到 6 个四点圆 2 三角形外心 O 重心 G 和垂心 H 三点共线 且 OG GH 1 2 此直线称为三角形的欧 拉线 Euler line 3 垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的 2 倍 4 垂心分每条高线的两部分乘积相等 定律证明 已知 ABC 中 AD BE 是两条高 AD BE 交于点 O 连接 CO 并延长交 AB 于点 F 求 证 CF AB 证明 连接 DE ADB AEB 90 度 A B D E 四点共圆 ADE ABE EAO DAC AEO ADC AEO ADC AE AO AD AC EAD OAC ACF ADE ABE 又 ABE BAC 90 度 ACF BAC 90 度 CF AB 因此 垂心定律成立 四 三角形内心定律 三角形的三条内角平分线交于一点 该点叫做三角形的内心 即三角形内切圆的圆心 注 意到内心到三边距离相等 为内切圆半径 内心定律其实极易证 性质 若三边分别为 l1 l2 l3 周长为 p 则内心的重心坐标为 l1 p l2 p l3 p 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点 五 三角形旁心定律 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点 三角形的旁切圆 与三角形 的一边和其他两边的延长线相切的圆 的圆心 叫做旁心 性质 每个三角形都有三个旁心 它到三边的距离相等 如图 点 M 就是 ABC 的一个旁心 三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分 线的交点 一个三角形有三个旁心 而且一定在三角形外 附 三角形的中心 只有正三角形才有中心 这时重心 内心 外心 垂心 四心合一 有关三角形五心的诗歌 三角形五心歌 重外垂内旁 三角形有五颗心 重外垂内和旁心 五心性质很重要 认真掌握莫记混 重 心 三条中线定相交 交点位置真奇巧 交点命名为 重心 重心性质要明了 重心分割中线段 数段之比听分晓 长短之比二比一 灵活运用掌握好 外 心 三角形有六元素 三个内角有三边 作三边的中垂线 三线相交共一点 此点定义为外心 用它可作外接圆 内心外心莫记混 内切外接是关键 垂 心 三角形上作三高 三高必于垂心交 高线分割三角形 出现直角三对整 直角三角形有十二 构成六对相似形 四点共圆图中有 细心分析可找清 内 心 三角对应三顶点 角角都有平分线 三线相交定共点 叫做 内心 有根源 点至三边均等距 可作三角形内切圆 此圆圆心称 内心 如此定义理当然 三角形的五心有许多重要性质 它们之间也有很密切的联系 如 1 三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等 2 三角形的外心到三顶点的距离相等 3 三角形的垂心与三顶点这四点中 任一点是其余三点所构成的三角形的垂心 4 三角形的内心 旁心到三边距离相等 5 三角形的垂心是它垂足三角形的内心 或者说 三角形的内心是它旁心三角形的垂 心 6 三角形的外心是它的中点三角形的垂心 7 三角形的重心也是它的中点三角形的重心 8 三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心 9 三角形的任一顶点到垂心的距离 等于外心到对边的距离的二倍 下面是更为详细的性质 1 垂心 三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心 三角形垂心有下列有趣的性质 设 ABC 的三条高为 AD BE CF 其中 D E F 为垂足 垂心为 H 性质 1 垂心 H 关于三边的对称点 均在 ABC 的外接圆上 性质 2 ABC 中 有六组四点共圆 有三组 每组四个 相似的直角三角形 且 AH HD BH HE CH HF 性质 3 H A B C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心 并称这样的四点为 一垂心组 性质 4 ABC ABH BCH ACH 的外接圆是等圆 性质 5 在非直角三角形中 过 H 的直线交 AB AC 所在直线分别于 P Q 则 AB AP tanB AC AQ tanC tanA tanB tanC 性质 6 三角形任一顶点到垂心的距离 等于外心到对边的距离的 2 倍 性质 7 设 O H 分别为 ABC 的外心和垂心 则 BAO HAC ABH OBC BCO HCA 性质 8 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的 2 倍 性质 9 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心 锐角三角形的内接三角形 顶点在原三 角形的边上 中 以垂足三角形的周长最短 2 内心 三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心 内心有下列优美的性质 性质 1 设 I 为 ABC 的内心 则 I 为其内心的充要条件是 到 ABC 三边的距离相等 性质 2 设 I 为 ABC 的内心 则 BIC 90 12 A 类似地还有两式 反之亦然 性质 3 设 I 为 ABC 内一点 AI 所在直线交 ABC 的外接圆于 D I 为 ABC 内心的充要 条件是 ID DB DC 性质 4 设 I 为 ABC 的内心 BC a AC b AB c I 在 BC AC AB 上的射影分别为 D E F 内切圆半径为 r 令 p 1 2 a b c 则 1 S ABC pr 2 r 2S ABC a b c 3 AE AF p a BD BF p b CE CD p c 4 abcr p AI BI CI 性质 5 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等 反之 若 I 为 ABC 的 A 平分线 AD D 在 ABC 的外接圆上 上的点 且 DI DB 则 I 为 ABC 的内心 性质 6 设 I 为 ABC 的内心 BC a AC b AB c A 的平分线交 BC 于 K 交 ABC 的外 接圆于 D 则 AI KI AD DI DI DK b c a 3 外心 三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心 外心有如下一系列优美性质 性质 1 三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点 三角形的外心到三顶点的距离 相等 反之亦然 性质 2 设 O 为 ABC 的外心 则 BOC 2 A 或 BOC 360 2 A 还有两式 性质 3 设三角形的三条边长 外接圆的半径 面积分别为 a b c R S 则 R abc 4S 性质 4 过 ABC 的外心 O 任作一直线与边 AB AC 或延长线 分别相交于 P Q 两点 则 AB AP sin2B AC AQ sin2C sin2A sin2B sin2C 性质 5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆