浙江省磐安县高考数学试题分类专题汇编 函数与导数 新人教A版

1 高考数学试题分类汇编高考数学试题分类汇编 函数与导数函数与导数 一 选择题 1 全国一 1 函数的定义域为 C 1 yx xx A B 0 x x 1x x C D 10 x x 01xx 2 全国一 2 汽车经过启动 加速行驶 匀速行驶 减速行驶之后停车 若把这一过程 中汽车的行驶路程看作时间 的函数 其图像可能是 A st s tO A s tO s tO s tO B C D 3 全国一 6 若函数的图像与函数的图像关于直线对称 1 yf x ln1yx yx 则 B f x A B C D 21x e 2x e 21x e 22x e 4 全国一 7 设曲线在点处的切线与直线垂直 则 D 1 1 x y x 3 2 10axy a A 2B C D 1 2 1 2 2 5 全国一 9 设奇函数在上为增函数 且 则不等式 f x 0 1 0f 的解集为 D 0 f xfx x A B 10 1 1 01 C D 1 1 10 01 6 全国二 3 函数的图像关于 C 1 f xx x A 轴对称 B 直线对称 yxy C 坐标原点对称 D 直线对称xy 8 全国二 4 若 则 C 13 1 ln2lnlnxeaxbxcx 2 A B C D 0 时是单调函数 则满足 f x f x 的所有x之和为 C 3 4 x f xf x A B C D 3 38 8 二 填空题 1 上海卷 4 若函数f x 的反函数为f 1 x x2 x 0 则f 4 2 2 上海卷 8 设函数f x 是定义在 R 上的奇函数 若当x 0 时 f x lg x 则 满足f x 0 的x的取值范围是 1 0 1 3 上海卷 11 方程x2 x 1 0 的解可视为函数y x 的图像与函数y 的图像交 22 1 x 点的横坐标 若x4 ax 4 0 的各个实根x1 x2 xk k 4 所对应的点 xi 4 xi i 1 2 k 均在直线y x的同侧 则实数a的取值范围是 6 6 4 全国二 14 设曲线在点处的切线与直线垂直 则 ax ye 01 210 xy a 2 6 5 北京卷 12 如图 函数的图象是折线段 其中 f xABC 的坐标分别为 则 2 ABC 0 4 2 0 6 4 0 f f 2 用数字作答 0 1 1 lim x fxf x 6 北京卷 13 已知函数 对于上的任意 有如下条 2 cosf xxx 2 2 12 xx 件 其中能使恒成立的条件序号是 12 xx 22 12 xx 12 xx 12 f xf x 7 北京卷 14 某校数学课外小组在坐标纸上 为学校的一块空地设计植树方案如下 第 棵树种植在点处 其中 当时 k kkk P xy 1 1x 1 1y 2k 表示非负实数的整数部分 例如 1 1 12 1 5 55 12 55 kk kk kk xxTT kk yyTT T aa 按此方案 第 6 棵树种植点的坐标应为 第 2008 棵树 2 6 2T 0 2 0T 12 种植点的坐标应为 3 402 8 安徽卷 1313 函数的定义域为 2 21 log 1 x f x x 3 9 江苏卷 8 直线是曲线的一条切线 则实数 b 1 2 yxb ln0yx x ln2 1 10 江苏卷 14 3 31f xaxx 对于总有 0 成立 则 1 1x f xa 4 11 湖南卷 13 设函数存在反函数 且函数的图象过 yf x 1 yfx yxf x 点 1 2 则函数的图象一定过点 1 2 1 yfxx 12 湖南卷 14 已知函数 3 1 1 ax f xa a 1 若a 0 则的定义域是 f x 3 a 2 若在区间上是减函数 则实数a的取值范围是 f x 0 1 2 B C A y x 1O3 4 5 6 1 2 3 4 7 01 3 13 重庆卷 13 已知 a 0 则 3 1 2 4 9 a 2 3 log a 14 浙江卷 15 已知 t 为常数 函数在区间 0 3 上的最大值为 2 则txxy 2 2 t 1 15 辽宁卷 13 函数的反函数是 10 0 x xx y ex 11 ln1 xx y xx 三 解答题 1 全国一 19 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 已知函数 32 1f xxaxx a R 讨论函数的单调区间 f x 设函数在区间内是减函数 求的取值范围 f x 21 33 a 解 1 求导 32 1f xxaxx 2 321fxxax 当时 在上递增 2 3a 0 0fx f xR 当 求得两根为 2 3a 0fx 2 3 3 aa x 即在递增 递减 f x 2 3 3 aa 22 33 33 aaaa 递增 2 3 3 aa 2 且解得 2 2 32 33 31 33 aa aa 2 3a 7 4 a 2 全国二 22 本小题满分 12 分 设函数 sin 2cos x f x x 求的单调区间 f x 8 如果对任何 都有 求的取值范围 0 x f xax a 解 2 分 22 2cos cossin sin 2cos1 2cos 2cos xxxxx fx xx 当 时 即 2 2 2 2 33 kxk k Z 1 cos 2 x 0fx 当 时 即 2 4 2 2 33 kxk k Z 1 cos 2 x 0fx 因此在每一个区间 是增函数 f x 2 2 2 2 33 kk k Z 在每一个区间 是减函数 6 分 f x 2 4 2 2 33 kk k Z 令 则 g xaxf x 2 2cos1 2cos x g xa x 2 23 2cos 2cos a xx 2 111 3 2cos33 a x 故当时 1 3 a 0g x 又 所以当时 即 9 分 0 0g 0 x 0 0g xg f xax 当时 令 则 1 0 3 a sin3h xxax cos3h xxa 故当时 0 arccos3xa 0h x 因此在上单调增加 h x 0 arccos3a 故当时 0 arccos3 xa 0 0h xh 即 sin3xax 于是 当时 0 arccos3 xa sinsin 2cos3 xx f xax x 当时 有 0a 1 0 222 fa A 9 因此 的取值范围是 12 分a 1 3 3 北京卷 18 本小题共 13 分 已知函数 求导函数 并确定的单调区间 2 2 1 xb f x x fx f x 解 2 4 2 1 2 2 1 1 xxbx fx x A 3 222 1 xb x 3 2 1 1 xb x 令 得 0fx 1xb 当 即时 的变化情况如下表 1 1b 2b fx x 1 b 1b 11 b 1 fx 0 当 即时 的变化情况如下表 11b 2b fx x 1 11 b 1b 1 b fx 0 所以 当时 函数在上单调递减 在上单调递增 2b f x 1 b 11 b 在上单调递减 1 当时 函数在上单调递减 在上单调递增 在上2b f x 1 11 b 1 b 单调递减 当 即时 所以函数在上单调递减 在11b 2b 2 1 f x x f x 1 上单调递减 1 4 四川卷 22 本小题满分 14 分 10 已知是函数的一个极值点 3x 2 ln 110f xaxxx 求 a 求函数的单调区间 f x 若直线与函数的图象有 3 个交点 求的取值范围 yb yf x b 解 因为 210 1 a fxx x 所以 36 100 4 a f 因此16a 由 知 2 16ln 110 1 f xxxx x 2 243 1 xx fx x 当时 1 13 x 0fx 当时 1 3x 0fx 所以的单调增区间是 f x 1 1 3 的单调减区间是 f x 1 3 由 知 在内单调增加 在内单调减少 在上单调 f x 1 1 1 3 3 增加 且当或时 1x 3x 0fx 所以的极大值为 极小值为 f x 116ln29f 332ln221f 因此 2 161610 1616ln291ff 2 132 11213f ef 所以在的三个单调区间直线有的图象各有一 f x 1 1 1 3 3 yb yfx 个交点 当且仅当 31fbf 因此 的取值范围为 b 32ln221 16ln29 5 天津卷 21 本小题满分 14 分 已知函数 其中 432 2f xxaxxb xR Rba 11 当时 讨论函数的单调性 10 3 a f x 若函数仅在处有极值 求的取值范围 f x0 x a 若对于任意的 不等式在上恒成立 求的取值范围 2 2 a 1f x 1 1 b 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性 函数的最大值 解不等式等基础知识 考查综合分析和解决问题的能力 满分 14 分 解 322 434 434 fxxaxxxxax 当时 10 3 a 2 4104 2 21 2 fxxxxxxx 令 解得 0fx 1 0 x 2 1 2 x 3 2x 当变化时 的变化情况如下表 x fx f x x 0 0 1 0 2 1 2 1 2 2 2 2 fx 0 0 0 f x 极小值 极大值 极小值 所以在 内是增函数 在 内是减函数 f x 1 0 2 2 0 1 2 2 解 显然不是方程的根 2 434 fxxxax 0 x 2 4340 xax 为使仅在处有极值 必须成立 即有 f x0 x 2 4403xax 2 9640a 解些不等式 得 这时 是唯一极值 3 8 3 8 a 0 fb 因此满足条件的的取值范围是 a 8 8 3 3 解 由条件 可知 从而恒成立 2 2 a 2 9640a 2 4340 xax 当时 当时 0 x 0fx 0 x 0fx 因此函数在上的最大值是与两者中的较大者 f x 1 1 1 f 1 f 为使对任意的 不等式在上恒成立 当且仅当 即 2 2 a 1f x 1 1 1 1 1 1 f f 在上恒成立 2 2ba ba 2 2 a 12 所以 因此满足条件的的取值范围是 4b b 4 6 安徽卷 20 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 设函数 1 01 ln f xxx xx 且 求函数的单调区间 f x 已知对任意成立 求实数的取值范围 1 2 a x x 0 1 x a 解解 1 1 若 则 列表如下 22 ln1 ln x fx xx 0 fx 1 x e x 1 0 e 1 e 1 1 e 1 fx 0 f x单调增极大值 1 f e 单调减单调减 2 2 在 两边取对数 得 由于所以 1 2 a x x 1 ln2lnax x 01 x 1 1 ln2ln a xx 由 1 的结果可知 当时 0 1 x 1 f xfe e 为使 1 式对所有成立 当且仅当 即 0 1 x ln2 a e ln2ae 7 山东卷 21 本小题满分 12 分 已知函数其中n N a为常数 1 ln 1 1 n f xax x 当n 2 时 求函数f x 的极值 当a 1 时 证明 对任意的正整数n 当 x 2 时 有f x x 1 解 由已知得函数f x 的定义域为 x x 1 当n 2 时 2 1 ln 1 1 f xax x 所以 2 3 2 1 1 ax f x x 1 当a 0 时 由f x 0 得 1 1 1 2 1x a 2 2 1x a 13 此时 f x 12 3 1 a xxxx x 当x 1 x1 时 f x 0 f x 单调递减 当x x1 时 f x 0 f x 单调递增 2 当a 0 时 f x 0 恒成立 所以f x 无极值 综上所述 n 2 时 当a 0 时 f x 在处取得极小值 极小值为 2 1x a 22 1 1 ln 2 a f aa 当a 0 时 f x 无极值 证法一 因为a 1 所以 1 ln 1 1 n f xx x 当n为偶数时 令 1 1ln 1 1 n g xxx x 则 g x 1 0 x 2 11 12 1 11 1 nn nxn xxxx 所以当x 2 时 g x 单调递增 又 g 2 0 因此 g 2 0 恒成立 1 1ln 1 1 n g xxx x 所以f x x 1 成立 当n为奇数时 要证 x 1 由于 0 所以只需证 ln x 1 x 1 f x 1 1 nx 令 h x x 1 ln x 1 则 h x 1 0 x 2 12 11 x xx 所以 当x 2 时 单调递增 又h 2 1 0 1 ln 1 h xxx 所以当x 2 时 恒有h x 0 即 ln x 1 x 1 命题成立 综上所述 结论成立 证法二 当a 1 时 1 ln 1 1 n f xx x 14 当x 2 时 对任意的正整数n 恒有 1 1 1 nx 故只需证明 1 ln x 1 x 1 令 1 1 ln 1 2ln 1 2 h xxxxxx 则 12 1 11 x h x xx 当x 2 时 0 故h x 在上单调递增 h x 2 因此 当x 2 时 h x h 2 0 即 1 ln x 1 x 1 成立 故 当x 2 时 有 x 1 1 ln 1 1 n x x 即f x x 1 8 江苏卷 17 某地有三家工厂 分别位于矩形 ABCD 的顶点 A B 及 CD 的中点 P 处 已 知 AB 20km CB 10km 为了处理三家工厂的污水 现要在矩形 ABCD 的区域上 含边界 且 A B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂 并铺设排污管道 AO BO OP 设排污管 道的总长为km y 按下列要求写出函数关系式 设 BAO rad 将表示成的函数关系式 y 设 OP km 将表示成 x的函数关系x yx 式 请你选用 中的一个函数关系式 确定污水处理厂的位置 使三条排污管道总 长度最短 解析 本小题主要考查函数最值的应用 由条件知 PQ 垂直平分 AB 若 BAO rad 则 故 10 coscos AQ OA 又 OP 10 10ta 10 cos OB 10 10tan 所以 1010 10 10tan coscos yOAOBOP 所求函数关系式为 20 10sin 10 cos y 0 4 C B P O A D 15 若 OP km 则 OQ 10 所以 OA OB xx 2 22 101020200 xxx 所求函数关系式为 2 220200 010yxxxx 选择函数模型 22 10coscos20 10sin10 2sin1 coscos sin y A 令0 得 sin 因为 所以 y 1 2 0 4 6 当时 是的减函数 当时 是的增函0 6 0y y 6 4 0y y 数 所以当 时 这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上 且距离 AB 6 min 10 10 3y 边 km 处 10 3 3 9 江苏卷 20 若 为常数 1 1 3 xp fx 2 2 2 3 xp fx A 12 xR p p 且 112 212 fxfxfx f x fxfxfx 求对所有实数成立的充要条件 用表示 1 f xfx 12 p p 设为两实数 且 若 a bab 12 p p a b f afb 求证 在区间上的单调增区间的长度和为 闭区间的长度定义为 f x a b 2 ba m n nm 解析 本小题考查充要条件 指数函数与绝对值函数 不等式的综合运用 恒成立 1 f xfx 12 fxfx 12 32 3 xpxp A 123 log 2 33 xpxp 1232 xpxplog 因为 121212 xpxpxpxppp 所以 故只需 恒成立 12 pp 32 log 综上所述 对所有实数成立的充要条件是 1 f xfx 12 pp 32 log 1 如果 则的图象关于直线对称 因为 12 pp 32 log 1 xp f afb 所以区间关于直线 对称 a b 1 xp 16 因为减区间为 增区间为 所以单调增区间的长度和为 1 a p 1 p b 2 ba 2 如果 12 pp 32 log 1 当时 12 pp 32 log 1 1 1 1 1 3 3 xp px xp b fx xa p 23 23 log 2 2 2 log 2 2 3 3 xp px xp b fx xa p 当 因为 所以 1 xp b 213 log 210 2 331 pp fx fx 12 0 0fxfx 12 fxfx 故 1 f xfx 1 3x p 当 因为 所以 2 xa p 123 log 210 2 331 pp fx fx 12 0 0fxfx 12 fxfx 故 2 f xfx 23 log 2 3p x 因为 所以 所以即 f afb 231 log 2 33p ab p 123 log 2 bppa 123 log 2abpp 当时 令 则 所以 21 xpp 12 fxfx 231 log 2 33x ppx 123 log 2 2 pp x 当时 所以 123 2 log 2 2 pp xp 12 fxfx 2 f xfx 23 log 2 3x p 时 所以 123 1 log 2 2 pp xp 12 fxfx 1 f xfx 1 3p x 在区间上的单调增区间的长度和 f x a b 123 12 log 2 2 pp bpp 123 log 2 222 ppabba bb 2 当时 21 pp 32 log 1 1 1 1 1 3 3 xp px xp b fx xa p 23 23 log 2 2 2 log 2 2 3 3 xp px xp b fx xa p 当 因为 所以 2 xp b 213 log 210 2 331 pp fx fx 12 0 0fxfx 12 fxfx 17 故 2 f xfx 23 log 2 3x p 当 因为 所以 1 xa p 123 log 210 2 331 pp fx fx 12 0 0fxfx 12 fxfx 故 1 f xfx 1 3p x 因为 所以 所以 f afb 231 log 2 33b p pa 123 log 2abpp 当时 令 则 所以 12 xp p 12 fxfx 231 log 2 33p xxp 123 log 2 2 pp x 当时 所以 123 1 log 2 2 pp xp 12 fxfx 1 f xfx 1 3x p 时 所以 123 1 log 2 2 pp xp 12 fxfx 2 f xfx 23 log 2 3p x 在区间上的单调增区间的长度和 f x a b 123 21 log 2 2 pp bpp 123 log 2 222 ppabba bb 综上得在区间上的单调增区间的长度和为 f x a b 2 ba 10 江西卷 22 本小题满分 14 分 已知函数 11 811 ax f x axxa 0 x 当时 求的单调区间 18a f x 对任意正数 证明 2a 12f x 解 当时 求得 18a 11 31 x f x x 3 1 21 x fx xx 于是当时 而当 时 0 1 x 0fx 1 x 0fx 即在中单调递增 而在中单调递减 f x 0 1 1 2 对任意给定的 由 0a 0 x 111 118 1 f x xa ax 18 若令 则 而 8 b ax 8abx 111 111 f x xab 一 先证 因为 1f x 11 11xx 11 11aa 11 11bb 又由 得 4 22 224 28abxabxabx 6abx 所以 111111 111111 f x xabxab 32 1 1 1 abxabaxbx xab 9 1 1 1 abxabaxbx xab 1 1 1 1 1 abxabaxbxabx xab 二 再证 由 式中关于的对称性 不妨设 则 2f x x a bxab 02b 当 则 所以 因为 7ab 5a 5xa 1 1 1 b 此时 112 1 111 5xa 111 2 111 f x xab 当 由 得 7ab 8 x ab 1 81 ab abx 因为 所以 2 2 2 1 1 1 114 1 2 1 bbb bbbb 1 1 2 1 1 b bb 同理得 于是 1 1 2 1 1 a aa 1 22 2 118 abab f x abab 今证明 因为 2 118 abab abab 2 11 1 1 abab abab 只要证 即 也即 据 此 1 1 8 abab abab 8 1 1 abab 7ab 为显然 因此 得证 故由 得 2f x 19 综上所述 对任何正数 皆有 a x 12f x 11 湖北卷 20 本小题满分 12 分 水库的蓄水量随时间而变化 现用 表示时间 以月为单位 年初为起点 根据历年数据 t 某水库的蓄水量 单位 亿立方米 关于 的近似函数关系式为t 1 2 4 1440 50 010 4 10 341 50 1012 x ttet V t ttt 该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期 以表示第 1 月份 1iti 同一年内哪几个月份是枯水期 1 2 12i 求一年内该水库的最大蓄水量 取计算 2 7e 解 水库的蓄水量随时间而变化 现用 表示时间 以月为单位 年初为起点 根据历年数据 t 某水库的蓄水量 单位 亿立方米 关于 的近似函数关系式为t 1 2 4 1440 50 010 4 10 341 50 1012 x ttet V t ttt 该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期 以表示第 1 月份 1iti 同一年内哪几个月份是枯水期 1 2 12i 求一年内该水库的最大蓄水量 取计算 2 7e 12 湖南卷 21 本小题满分 13 分 已知函数f x ln2 1 x 2 1 x x I 求函数的单调区间 f x 若不等式对任意的都成立 其中 e 是自然对数的底数 1 1 a ae n N n 求的最大值 解 函数的定义域是 f x 1 22 22 2ln 1 22 1 ln 1 2 1 1 1 xxxxxxx fx xxx 设则 2 2 1 ln 1 2 g xxxxx 2ln 1 2 g xxx 20 令则 2ln 1 2 h xxx 22 2 11 x h x xx 当时 在 1 0 上为增函数 10 x 0 h x h x 当 x 0 时 在上为减函数 0 h x h x 0 所以h x 在x 0 处取得极大值 而h 0 0 所以 0 0 g xx 函数g x 在上为减函数 1 于是当时 10 x 0 0 g xg 当 x 0 时 0 0 g xg 所以 当时 在 1 0 上为增函数 10 x 0 fx f x 当 x 0 时 在上为减函数 0 fx f x 0 故函数的单调递增区间为 1 0 单调递减区间为 f x 0 不等式等价于不等式由知 1 1 n ae n 1 ln 1 1 na n 1 11 n 设则 1 1 ln 1 an n 11 0 1 ln 1 G xx xx 22 2222 11 1 ln 1 1 ln 1 1 ln 1 xxx G x xxxxxx 由 知 即 2 2 ln 1 0 1 x x x 22 1 ln 1 0 xxx 所以于是G x 在上为减函数 0 G x 0 1 x 0 1 故函数G x 在上的最小值为 0 1 1 1 1 ln2 G 所以a的最大值为 1 1 ln2 13 陕西卷 21 本小题满分 12 分 已知函数 且 恰有一个极大值点和一个极小值点 其 2 1 kx f x xc 0c 1c k R 中一个是 xc 求函数的另一个极值点 f x 求函数的极大值和极小值 并求时的取值范围 f xMm1Mm k 21 解 由题意知 22 2222 2 1 2 k xcx kxkxxck fx xcxc 0fc 即得 2 20c kcck 0c 0k 由得 0fx 2 20kxxck 由韦达定理知另一个极值点为 或 1x 2 xc k 由 式得 即 2 1 k c 2 1c k 当时 当时 1c 0k 01c 2k i 当时 在和内是减函数 在内是增函数 0k f x c 1 1 c 1 1 0 12 kk Mf c 2 2 1 0 2 2 kck mfc cck 由及 解得 2 1 22 2 kk Mm k 0k 2k ii 当时 在和内是增函数 在内是减函数 2k f x c 1 1 c 2 0 2 2 k Mfc k 1 0 2 k mf 恒成立 22 1 1 11 2 2 22 kkk Mm kk 综上可知 所求的取值范围为 k 2 2 14 重庆卷 20 本小题满分 13 分 小问 5 分 小问 8 分 设函数曲线y f x 通过点 0 2a 3 且在点 2 0 f xaxbxc a 1 f 1 处的切线垂直于y轴 用a分别表示b和c 当bc取得最小值时 求函数g x f x e x的单调区间 解 因为 2 2 f xaxbxcfxaxb 所以 又因为曲线通过点 0 2a 3 yf x 故 0 23 0 23 fafcca 而从而 22 又曲线在 1 f 1 处的切线垂直于y轴 故 yf x 1 0 f 即 2a b 0 因此b 2a 由 得 2 39 2 23 4 44 bcaaa 故当时 取得最小值 3 4 a bc 9 4 此时有 33 22 bc 从而 2 33333 42222 f xxxfxx 2 333 422 xx g xf x cxxe 所以 2 3 4 4 xx g xf xfx exe 令 解得 0g x 12 2 2 xx 当 2 0 2 xg xg xx 时故在上为减函数 当 2 2 0 2 xg xg xx 时 故在上为减函数 当 2 0 2 xg xg xx 时 故在上为减函数 由此可见 函数的单调递减区间为 2 和 2 单调递增 g x 区间为 2 2 15 福建卷 19 本小题满分 12 分 已知函数 32 1 2 3 f xxx 设 an 是正数组成的数列 前n项和为Sn 其中a1 3 若点 n N 在函数y f x 的图象上 求证 点 n Sn 也在 2 11 2 nnn a aa y f x 的图象上 求函数f x 在区间 a 1 a 内的极值 本小题主要考查函数极值 等差数列等基本知识 考查分类与整合 转化与化归等数学思 想方法 考查分析问题和解决问题的能力 满分 12 分 证明 因为所以 x x2 2x 32 1 2 3 f xxx f 由点在函数y f x 的图象上 2 11 2 N nnn a aan 又所以0 N n an 11 2 0 nnnn aaaa 所以 又因为 n n2 2n 所以 2 1 32 2 2 n n n Snnn f n Sfn 23 故点也在函数y f x 的图象上 n n S 解 2 2 2 fxxxx x 由得 0 fx 02xx 或 当x变化时 的变化情况如下表 fx f x 注意到 从而 1 12aa 当 此时无极小 2 12 21 2 3 aaaf xf 即时的极大值为 f x 值 当的极小值为 此时无极大值 10 01 aaaf x 即时 0 2f f x 当既无极大值又无极小值 2101 aaaf x 或或时 16 福建卷 22 本小题满分 14 分 已知函数f x ln 1 x x1 求f x 的单调区间 记f x 在区间 n N 上的最小值为bx令an ln 1 n bx 0 如果对一切n 不等式恒成立 求实数c的取值范围 2 2 nn n c aa a 求证 1313211 224242 21 1 n n n a aa aaa a aa aa aa A A A A A A A A A 本小题主要考查函数的单调性 最值 不等式 数列等基本知识 考查运用导数研究函数 性质的方法 考查分析问题和解决问题的能力 满分 14 分 解法一 I 因为f x ln 1 x x 所以函数定义域为 1 且f x 1 1 1x 1 x x 由f x 0 得 1 x 0 f x 的单调递增区间为 1 0 由f x 0 f x 的单调递增区间为 0 II 因为f x 在 0 n 上是减函数 所以bn f n ln 1 n n 则an ln 1 n bn ln 1 n ln 1 n n n i 22 2 2 2 2 2 nnn aaannnn nn x 2 2 2 0 0 0 f x 0 0 f x 极大值 极小值 24 22 1 22 n nn 又 lim 2 2 2 lim1 2 11 2 x nnn n 因此c 1 即实数c的取值范围是 1 II 由 i 知 1 2121 21 nn n 因为 2 1 3 5 21 2 4 6 2 n n 3222 1 3 3 5 5 7 21 21 11 246 2 2121 nn nnn 所以 nN N 12 1 2 642 12531 nn n 2121nn 则 2 642 12 531 42 31 2 1 n n 1313211 22242 3153212121 1 n nn ann a aa aaa aa aa aa 即 N N 21 1 n an 解法二 同解法一 因为f x 在上是减函数 所以 0 n ln 1 n bf nnn 则ln 1 ln 1 ln 1 nn anbnnnn i 因为对n N 恒成立 所以对n N 2 2 nn n c aa a 2 2 c nn n 恒成立 则对n N 恒成立 2 22cnnn 设 n N 则c g n 对n N 恒成立 2 22 g nnnn 考虑 2 22 1 g xxxx x 25 因为 0 1 2 2 2 111 1 2 22 11 21 2 xx g xxxx x xx 所以内是减函数 则当n N 时 g n 随n的增大而减小 1 g x 且 又因为 1 2 2 4 2 24 lim lim 22 limlim 22 22 11 xxxx n n g nnnn nnn nn 所以对一切因此c 1 即实数c的取值范围是 1 N 1 ng n 由 知 1 2121 21 nn n 下面用数学归纳法证明不等式 1 3 5 21 1 N 2 4 6 2 21 n n nn A A A A A A A A 当n 1 时 左边 右边 左边 右边 不等式成立 1 2 1 3 假设当n k时 不等式成立 即 1 3 5 21 1 2 4 6 2 21 k kn A A A A A A A A 当n k 1 时 32 1 22 3212 22 12 22 12 12 1 22 2642 12 12531 kk kk k k k k kkk kk 1 1 2 1 32 1 32 1 4824 3824 kkkkk kk 即 n k 1 时 不等式成立 综合 得 不等式成立 N 12 1 2 642 12 531 n nn n 所以 1212 2 642 12 531 nn n n 2 642 12 531 42 31 2 1 n n 112123513 nn 即 N 12 1 242 1231 42 31 2 1 na aaa aaa aa aa a a n n n 17 广东卷 19 本小题满分 14 分 26 设 函数 试讨论函数k R 1 1 1 11 x xf x xx F xf xkx x R 的单调性 F x 解析 1 1 1 1 1 kxx xF xf xkx xkxx 2 1 1 1 1 1 21 kx x F x kx x 对于 1 1 1