【步步高】2014届高三数学大一轮复习 5.3 平面向量的数量积课时检测 理 苏教版

1 5 35 3 平面向量的数量积平面向量的数量积 一 填空题 1 已知向量a a和向量 b 的夹角为 30 a a 2 b b 3 则a a b b 解析 考查数量积的运算 a a b b 2 3 3 3 2 答案 3 2 已知 a 是平面内的单位向量 若向量 b 满足 b a b 0 则 b 的取值范围是 解析 b b a a b b 0 a a b b b b2 即 a a b b cos b b 2 当b b 0 时 b b a a cos cos 0 1 所以 b 0 1 答案 0 1 3 若e e1 e e2是夹角为的单位向量 且a a 2e e1 e e2 b b 3e e1 2e e2 则a a b b等于 3 解析 a a b b 2e e1 e e2 3e e1 2e e2 6e e e e1 e e2 2e e 2 12 2 6 cos 2 4 3 1 2 7 2 答案 7 2 4 已知平面向量a a b b的夹角为 60 a a 1 b b 1 则 a a 2b b 3 解析 由a a 1 得 a a 2 所以 a a 2b b 3 a a 2b b 2 2 a a2 4a a b b 4b b24 8cos 60 4123 答案 2 3 5 在 ABC中 已知BC 2 1 则 ABC的面积S ABC最大值是 AB AC 解析 以线段BC所在直线为x轴 线段BC的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系 则B 1 0 C 1 0 设A x y 则 1 x y 1 x y AB AC 于是 1 x 1 x y y x2 1 y2 AB AC 由条件 1 知x2 y2 2 这表明点A在以原点为圆心 为半径的圆上 AB AC 2 当OA BC时 ABC面积最大 即 S ABC 2 1 222 2 点评 建系设标 数形转化 简单易行 用心体会 6 已知 是夹角为的两个单位向量 a a 2 b b k 1 e 2 e 2 3 1 e 2 e 1 e 2 e 若a a b b 0 则实数 k 的值为 解析 由a a b b 0 得 2 k 0 1 e 2 e 1 e 2 e 整理 得 k 2 1 2k cos 0 解得 k 2 3 5 4 答案 5 4 7 如图 在 ABC中 AD AB 1 则 BC 3BD AD AC AD 解析 法一 建系如图所示 令B xB 0 C xC yC D 0 1 所以 xC xB yC BC xB 1 BD BC 3 BD 所以Error 所以xC 1 xB yC 33 1 xB 0 1 则 AC 33 AD AC AD 3 法二 AC AD AB BC AD BC AD 3AD BD 其中 cos ADB 2 1 AD BD AD BD AD BD AD BD AD 故 3 AD BD 3 答案 3 8 若等边 ABC的边长为 2 平面内一点M满足 则 3 CM 1 6CB 2 3CA MA MB 解析 建立直角坐标 由题意 设C 0 0 A 2 0 B 3 则 33 3 M 2 3 3 2 1 2 MA MB 3 2 1 2 3 2 5 2 答案 2 9 已知向量p p的模是 向量q q的模为 1 p p与q q的夹角为 a a 3p p 2q q b b p p q q 则 2 4 以a a b b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是 解析 a a b b 3p p 2q q p p q q 2p p 3q q 2p p 3q q 24p p2 12p p q q 9q q2 8 12 2 2 2 9 29 答案 29 10 在平面直角坐标系xOy中 已知A 0 1 B 3 4 两点 若点C在 AOB的平 分线上 且 则点C的坐标是 OC 10 解析 法一 设点C的坐标是 x y 且x 0 y 0 直线OB方程为y x 因点C在 4 3 AOB的平分线上 所以点C到直线OB与y轴的距离相等 从而 x 又 4x 3y 5 x2 y2 10 解之得Error 所以点C的坐标是 1 3 法二 设点C的坐标是 x y 且x 0 y 0 则因点C在 AOB的平分线上 所以由 cos cos 得 又x2 y2 10 解之得Error 所以点 C OC OA OC OB y 1 10 3x 4y 5 10 的坐标是 1 3 答案 1 3 11 已知O是 ABC的内部一点 0 2 且 BAC 60 则 OBC OA OB OC AB AC 的面积为 解析 由 cos 60 2 AB AC AB AC 得 4 S ABC sin 60 由 0 知 AB AC 1 2 AB AC 3 OA OB OC O是 ABC的重心 所以S OBC S ABC 1 3 3 3 答案 3 3 12 已知点G是 ABC的重心 R R 若 A 120 AG AB AC 2 则 的最小值是 AB AC AG 4 解析 设AG交BC于D 则由G是 ABC的重心 得D是BC的中点 所以 AG 2 3AD 2 3 1 2 AB AC 所以 2 2 1 3 AB AC AG 1 9 AB AC 2 2 4 又由 2 1 9 AB AC AB AC cos 120 得 4 AB AC AB AC 故当 2 时 取最小值 AB AC AG 2 3 答案 2 3 13 已知 ABC所在平面上的动点M满足 2 2 2 则M点的轨迹过 ABC的 AM BC AC AB 心 解析 如图 设N是BC的中点 则由 2 2 得 AM BC AC AB AC AB BC AN AM 0 即 0 AN BC NM BC 所以 所以M点的轨迹过 ABC的外心 NM BC 答案 外心 二 解答题 14 已知向量a a b b满足 a a 2 b b 1 a a b b 2 1 求a a b b的值 2 求 a a b b 的值 解析 1 因为 a a b b 2 所以 a a b b 2 a a2 2a a b b b b2 4 1 2a a b b 4 所以a a b b 1 2 2 a a b b 2 a a2 2a a b b b b2 4 2 1 6 1 2 故 a a b b 6 5 15 已知 a a b b 3 a a与b b夹角为 45 求使向量a a b b与 a a b b的夹角为钝角 2 时 的取值范围 解析 由条件知 cos45 a ba b 3 a a b b a a b b 设a a b b与 a a b b的夹角为 则 为钝角 cos 0 a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b 0 a a2 b b2 1 2 a ba b 0 2 9 3 1 2 0 3 2 11 3 0 11 85 6 11 85 6 若 180 时 a a b b与 a a b b共线且方向相反 存在k 0 使a a b b k a a b b a a b b不共线 Error k 1 1 m m n n的最大值为 5 求实数k的值 解析 1 由G是 ABC的重心 得 0 GA GB GC 所以 由正弦定理 可将已知等式转化为 GC GA GB 56a 40b 35c 0 GA GB GA GB 整理 得 56a 35c 40b 35c 0 GA GB 因为 不共线 所以Error 由此 GA GB