【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 6.2不等式的证明课时提能训练 文 新人教版

1 全程复习方略全程复习方略 广西专用 广西专用 20132013 版高中数学版高中数学 6 26 2 不等式的证明课时提能训不等式的证明课时提能训 练练 文文 新人教版新人教版 45 45 分钟分钟 100100 分分 一 选择题一 选择题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 3636 分分 1 预测题 使 a b 0 成立的一个充分不必要条件是 A B a2 b2 0 a 2b 2 C lga lgb 0 D xa xb且 x 0 2 设 a b R 且 a b a b 2 则必有 A 1 ab B ab 1 a2 b2 2 a2 b2 2 C ab 1 D ab 1 a2 b2 2 a2 b2 2 3 已知 a b 满足 0 a b 1 下列不等式中成立的是 A aa bb B aa ba C bb ab D bb ba 4 设 M 则 10 1 2 10 1 21 10 1 22 11 1 21 A M 1 B M 1 C M 1 D M 与 1 的大小关系不定 5 2012 梧州模拟 设 y 是 1 x 与 1 x 的等比中项 则 3x 4y 的最大值为 A 3 B 4 C 5 D 7 6 设 a b 则有 1 tan10 1 tan10 3 A a b B b a a2 b2 2 a2 b2 2 C a b D b a a2 b2 2 a2 b2 2 二 填空题二 填空题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 1818 分分 7 2012 玉林模拟 设 P Q R 则 P Q R 的大小顺序是 27362 8 已知点 An n an 为函数 y 的图象上的点 Bn n bn 为函数 y x 的图象上的点 其中 n N x2 1 设 cn an bn 则 cn与 cn 1的大小关系为 9 易错题 已知 x2 y2 4 则 x y 的范围是 2 三 解答题三 解答题 每小题每小题 1515 分 共分 共 3030 分分 10 2012 桂林模拟 已知 a b c 均为正数 求证 a b c a2 b2b2 c2c2 a22 11 已知不等式 loga a 1 对大于 1 的自然数 n 都成立 求实数 a 的取值 1 n 1 1 n 2 1 2n 1 12 2 3 范围 探究创新 16 分 设数列 an bn 满足 a1 2nan 1 n 1 an 且 bn ln 1 an an2 n N 1 2 1 2 1 求数列 an 的通项公式 2 对一切 n N 证明 成立 2 an 2 an bn 3 记数列 an bn 的前 n 项和分别为 An Bn 证明 2Bn An 4 2 答案解析答案解析 1 解析 选 A a 2 b 2 a b a 2b 2 又 a 2 0 且 b 2 0 a 2 且 b 2 a b 2 0 2 解题指南 赋值法是解决不等式问题的常用方法 需选取符合条件的 a b 的值 解析 选 B 赋值法 取 a b 3 2 1 2 则 ab 1 1 故选 B 3 4 a2 b2 2 9 4 1 4 2 5 4 3 解析 选 B a 0 a b 1 0 1 aa ba a b a b a 1 aa ba a b 4 解题指南 利用放缩法证明 将分式的分母变小 使分式变大 解析 选 B 210 1 210 210 2 210 211 1 210 M 10101011 1111 2212221 3 10 101010 2 111 1 222 个 5 解析 选 C 由题意知 y2 1 x2 y 0 即 x2 y2 1 y 0 令 x cos y sin 0 2 则 3x 4y 3cos 4sin 5sin 5 cos sin 4 5 3 5 6 解析 选 A a tan55 tan60 b a2 b2 2b b 1 2 a2 1 0 1 tan10 1 tan10 3 a2 b2 2b 即 b 故答案选 A a2 b2 2 7 解析 P Q R 4 2 2 4 7 3 4 6 2 而 2 1 2 2 1 2 6 1 3 7 故 4 2 2 4 2 6 4 3 7 即 P R Q 答案 P R Q 8 解析 方法一 an bn n n2 1 cn n n2 1 1 n2 1 n cn随 n 的增大而减小 cn 1 cn 方法二 cn 1 n 1 0 n 1 2 1 cn n 0 n2 1 n n 1 c c n2 1 n n 1 2 1 n 1 1 n 1 2 1 n 1 n2 1 n cn cn 1 答案 cn cn 1 9 解题指南 本题为条件不等式的求解问题 结合条件的特征可知 可用三角换元法 数形结合法或 构造法求解 解析 方法一 设 x 2sin y 2cos R 4 则 x y 2sin 2cos 2sin 2 4 1 sin 1 4 2 x y 2 22 方法二 设 P x y 是 x2 y2 4 上任一点 则圆上任意点 P x y 到直线 x y 0 的距离 2 x y 2 即 x y 2 2 2 x y 2 22 方法三 设 a a x y a a 2 b b 1 1 则 a a b b x y 而 a a b b a a b b a a b b a a b b 2 2 2 a a b b 2 22 即 2 x y 2 22 答案 2 2 22 方法技巧 证明不等式的其他方法与技巧 1 有些问题直接证明较困难 但通过换元后就可变得简单 换元法常用于条件不等式的证明 其中以三 角换元最为常见 当题目条件形如 x2 y2 1 x2 y2 1 等时常用三角换元 当然也有视题目本身的特 征对式子的某一部分进行整体换元的 而在换元时要注意等价 2 根据要证明的不等式的结构也可采用构造法证明不等式 如构造函数 转化为求函数最值 构造向量 转化为求向量的数量积或模 构造几何模型 转化为求点到直线的距离 两点间的距离 点到平面的距 离等 10 证明 因为 a2 b2 2ab 所以 2 a2 b2 a b 2 所以 a b 2a2 b2 所以 a b a2 b2 2 2 同理 b c c a b2 c2 2 2c2 a2 2 2 所以 a b c a2 b2b2 c2c2 a22 变式备选 设 a b 是非负实数 求证 a3 b3 a2 b2 ab 证明 方法一 a3 b3 a2 b2 ab 5 a2 b2 aabbba 5 5 abab 2 a2 3 ab 3 b2 ababab 因为实数 a b 0 2 0 ab a2 3 ab 3 b2 0 abab 所以上式非负 即有 a3 b3 a2 b2 ab 方法二 由 a b 是非负实数 作差得 a3 b3 a2 b2 a2 b2 abaabbba 5 5 abab 当 a b 时 从而 5 5 得 abab 5 5 0 abab 当 a b 时 从而 5 5 得 abab 5 5 0 abab 综上所述 a3 b3 a2 b2 ab 11 解题指南 将恒成立问题先转化为求最值问题 再构造函数 利用函数单调性求最值 解析 设 f n n 2 n N 则 f n 1 f n 1 n 1 1 n 2 1 2n 1 2n 1 1 2n 2 1 n 1 0 1 2n 1 2n 2 所以 f n 1 f n 即 f n 是关于 n n 2 n N 的递增函数 所以 f n min f 2 7 12 从而原不等式可化为loga a 1 1 12 2 3 7 12 整理得 Error Error Error Error 解得 1 a 1 5 2 所以所求实数 a 的取值范围为 1 1 5 2 探究创新 解析 1 2nan 1 n 1 an n 1 a n1 1 2 an n 6 即数列 是以 为首项 以 为公比的等比数列 an n 1 2 1 2 an n 2n 2 an 0 bn ln 1 an an 2 0 n N 1 2 要证明 只需证明 2bn an2 2an 2 an 2 an bn 即证 bn an2 an 0 即证明 ln 1 an an 0 成立 1 2 构造函数 f x ln 1 x x x 0 则 f x 1 1 1 x x 1 x 当 x 0 时 f x 0 即 f x 在 0 上单调递减 故 f x f 0 0 ln