【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第十二章 算法初步、推理与证明、复数12．4直接证明与间接证明教学案 理 新人教A版

1 12 412 4 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 考考纲纲要要求求 1 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法和综合法的思考 过程 特点 2 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法的思考过程 特点 1 直接证明中最基本的两种证明方法是 和 2 综合法是利用已知条件和某些数学定义 定理 公理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 综合法又叫 3 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证 明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 分析法又叫 4 反证法 假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明 从而证明了 这样的证明方法叫反证法 应用反证法证明数学命题 一般有下面几个步骤 第一步 分清命题 p q 的 第二步 作出与命题结论q相矛盾的假设 第三步 由p与q出发 应用正确的推理方法 推出矛盾结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设q不真 于是原结论q成立 从而间接地证明了命题p q为真 1 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 等价条件 2 用反证法证明命题 三角形的三个内角至少有一个不大于 60 时 应假设 A 三个内角都不大于 60 B 三个内角都大于 60 C 三个内角至多有一个大于 60 D 三个内角至多有两个大于 60 3 设t a 2b s a b2 1 则下列关于t和s的大小关系中正确的是 A t s B t s C t s D t s 4 命题 对于任意角 cos4 sin4 cos 2 的证明 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos 2 过程应用 了 A 分析法B 综合法 C 综合法 分析法综合应用D 间接证明法 5 因为某种产品的两种原料相继提价 所以生产者决定对产品分两次提价 现在有三 种提价方案 方案甲 第一次提价p 第二次提价q 方案乙 第一次提价q 第二次提价p 方案丙 第一次提价 第二次提价 p q 2 p q 2 其中p q 0 比较上述三种方案 提价最多的是 A 甲 B 乙C 丙 D 一样多 一 综合法 例 1 如图 四边形ABCD是正方形 PB 平面ABCD MA 平面 2 ABCD PB AB 2MA 求证 1 平面AMD 平面BPC 2 平面PMD 平面PBD 方法提炼方法提炼 1 综合法是 由因导果 它是从已知条件出发 顺着推证 经过一系列的中间推理 最后导出所证结论的真实性 用综合法证明题的逻辑关系是 AB1B2 BnB A为已知条件或数学定义 定理 公理 B为要证结论 它的 常见书面表达是 或 2 利用综合法证不等式时 是以基本不等式为基础 以不等式的性质为依据 进行推 理论证的 因此 关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质 3 综合法是一种由因导果的证明方法 其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法 这就 是保证前提正确 推理合乎规律 才能保证结论的正确性 请做演练巩固提升 1 二 分析法 例 2 已知 ABC三边a b c的倒数成等差数列 证明 B为锐角 方法提炼方法提炼 1 分析法是 执果索因 它是从要证的结论出发 倒着分析 逐渐地靠近已知 2 用分析法证 若P 则Q 这个命题的模式是 为了证明命题Q为真 这只需证明命题P1为真 从而有 这只需证明命题P2为真 从而有 这只需证明命题P为真 而已知P为真 故Q必为真 提醒 用分析法证题时 一定要严格按格式书写 否则极易出错 3 在解决问题时 我们经常把综合法和分析法结合起来使用 根据条件的结构特点去 转化结论 得到中间结论Q 根据结论的结构特点去转化条件 得到中间结论P 若由P可 以推出Q成立 就可以证明结论成立 一般情况下 用分析法寻找思路 用综合法完成证 明 请做演练巩固提升 4 三 反证法 例 3 设 an 是公比为q的等比数列 Sn是它的前n项和 1 求证 数列 Sn 不是等比数列 2 数列 Sn 是等差数列吗 为什么 方法提炼方法提炼 反证法是间接证明问题的一种常用方法 它不是从已知条件去直接证明结论 而是先 否定结论 在否定结论的基础上进行演绎推理 导出矛盾 从而肯定结论的真实性 用反 证法证明要把握三点 1 反设 必须先否定结论 即肯定结论的反面 2 归谬 必须从 否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须依据这一条件进行推证 推导出 的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与已知事实矛盾等 但推 导出的矛盾必须是明显的 3 结论 因为推理正确 所以产生矛盾的原因在于 反设 的 谬误 既然结论的反面不成立 从而肯定了结论成立 请做演练巩固提升 2 证明类问题中的新情景问题 典例 设f x g x h x 是 R R 上的任意实数函数 如下定义两个函数 f g x 3 和 f g x 对任意x R R f g x f g x f g x f x g x 则下列等式恒 成立的是 A f g h x f h g h x B f g h x f h g h x C f g h x f h g h x D f g h x f h g h x 解析 解析 f g h x f g h x f h x g h x f h x g h x f h g h x 答案 答案 B 答题指导 答题指导 对于此类新情景下的新定义问题需要做好以下几点 1 充分理解题意 理解定义是解题的关键 2 若是选择 填空题建议以特例理解新定义 可以化难为易 化繁为简 3 按规则要求办事 即新定义如何要求就如何去做 此法虽然可能会繁琐 但只要 理解透彻 运算得当也能解决问题 1 2012 浙江绍兴模拟 设a lg 2 lg 5 b ex x 0 则a与b的大小关系为 A a b B a bC a b D a b 2 2012 山师大附中模拟 用反证法证明某命题时 对结论 自然数a b c中恰 有一个偶数 正确的反设为 A a b c中至少有两个偶数 B a b c中至少有两个偶数或都是奇数 C a b c都是奇数 D a b c都是偶数 3 若函数F x f x f x 与G x f x f x 其中f x 的定义域为 R R 且 f x 不恒为零 则 A F x G x 均为偶函数 B F x 为奇函数 G x 为偶函数 C F x 与G x 均为奇函数 D F x 为偶函数 G x 为奇函数 4 已知a b 0 求证 a3 b3 a2 b2 1 3 1 2 4 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 综合法 分析法 2 顺推证法或由因导果法 3 递推证法或执果索因法 4 不成立 假设错误 原命题成立 条件和结论 q 基础自测基础自测 1 A 2 B 3 D 解析 解析 s t a b2 1 a 2b b 1 2 0 s t 4 B 解析 解析 因为证明过程是 从左往右 即由条件结论 5 C 解析 解析 设产品的原价为a 则按方案甲可得提价后的价格为 A a 1 p 1 q 按方案乙可得提价后的价格为 B a 1 q 1 p A 按方案 丙可得提价后的价格为 C a 1 p q 2 1 p q 2 a 2 1 p q 2 则 C B a 2 a 1 p 1 q p q 2 0 故应选 C 1 p q 2 a 4 考点探究突破考点探究突破 例 1 证明 证明 1 因为 PB 平面 ABCD MA 平面 ABCD 所以 PB MA 因为 PB平面 BPC MA平面 BPC 所以 MA 平面 BPC 同理 DA 平面 BPC 又 MA平面 AMD AD平面 AMD MA AD A 所以平面 AMD 平面 BPC 2 连接 AC 设 AC BD E 取 PD 的中点 F 连接 EF MF 因为四边形 ABCD 为正方形 所以 E 为 BD 的中点 因为 F 为 PD 的中点 所以 EFPB 1 2 又 AM PB 1 2 所以四边形 AEFM 为平行四边形 所以 MF AE 因为 PB 平面 ABCD AE平面 ABCD 所以 PB AE 所以 MF PB 因为四边形 ABCD 为正方形 所以 AC BD 5 所以 MF BD 所以 MF 平面 PBD 又 MF平面 PMD 所以平面 PMD 平面 PBD 例 2 证明 证明 要证明 B 为锐角 根据余弦定理 也就是证明 cos B 0 a2 c2 b2 2ac 即需证a2 c2 b2 0 由于a2 c2 b2 2ac b2 要证a2 c2 b2 0 只需证 2ac b2 0 a b c的倒数成等差数列 即 2ac b a c 1 a 1 c 2 b 要证 2ac b2 0 只需证b a c b2 0 即证b a c b 0 上述不等式显然成立 B 必为锐角 例 3 1 证明 证明 若 Sn 是等比数列 则 S 2 S1 S3 即a1 1 q 22 2 a1 a1 1 q q2 a1 0 1 q 2 1 q q2 解得q 0 这与q 0 相矛盾 故数列 Sn 不是等比数列 2 解 当q 1 时 Sn 是等差数列 当q 1 时 Sn 不是等差数列 假设q 1 时 S1 S2 S3成等差数列 即 2S2 S1 S3 2a1 1 q a1 a1 1 q q2 由于a1 0 2 1 q 2 q q2 即q q2 q 1 q 0 这与q 0 相矛盾 综上可知 当q 1 时 Sn 是等差数列 当q 1 时 Sn 不是等差数列 演练巩固提升演练巩固提升 1 A 解析 解析 a lg 2 lg 5 lg 10 1 而b ex e0 1 故a b 2 B 解析 解析 恰有一个偶数 的对立面是 没有偶数或至少有两个偶数 3 D 解析 解析 由F x f x f x G x f x f x 知F