一次函数方案选择问题

1 利用一次函数选择最佳方案利用一次函数选择最佳方案 1 1 根据自变量的取值范围选择最佳方案根据自变量的取值范围选择最佳方案 A 列出所有方案 写出每种方案的函数关系式 B 画出函数的图象 求出交点坐标 利用图象来讨论自变量在哪个范围内取哪种方案最佳 2 2 根据一次函数的增减性来确定最佳方案 根据一次函数的增减性来确定最佳方案 A 首先弄清最佳方案量与其他量之间的关系 设出最佳方案量和另外一个量 建立函数关系式 B 根据条件列出不等式组 求出自变量的取值范围 C 根据一次函数的增减性 确定最佳方案 根据自变量的取值范围选择最佳方案根据自变量的取值范围选择最佳方案 例 1 某校实行学案式教学 需印制若干份数学学案 印刷厂有甲 乙两种收费方式 除按印数收取印刷费外 甲种方式还需收取制版费而乙种不需要 两种印刷方式的费用 y 元 与印刷份数 x 份 之间的函数关系如图 所示 1 填空 甲种收费方式的函数关系式是 乙种收费方式的函数关系式是 2 该校某年级每次需印制 100 450 含 100 和 450 份学案 选择哪种印刷方式较合算 例 2 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游 甲旅行社说 如果老师买全票 其他人全部半价优惠 乙旅行社说 所有人按全票价的 6 折优惠 已知全票价为 240 元 设学生人数为 x 甲旅行社的收费为 元 乙旅行社的收费为 元 甲 y 乙 y 1 分别表示两家旅行社的收费 与 x 的函数关系式 甲 y 乙 y 2 就学生人数讨论哪家旅行社更优惠 2 2 根据一次函数的增减性来确定最佳方案 根据一次函数的增减性来确定最佳方案 例 3 博雅书店准备购进甲 乙两种图书共 100 本 购书款不高于 2224 元 预计这 100 本图书全部售完的利润 不低于 1100 元 两种图书的进价 售价如下表所示 甲种图书乙种图书 进价 元 本 1628 售价 元 本 2640 请解答下列问题 1 有哪几种进书方案 2 2 在这批图书全部售出的条件下 1 中的哪种方案利润最大 最大利润是多少 3 博雅书店计划用 2 中的最大利润购买单价分别为 72 元 96 元的排球 篮球捐给贫困山区的学校 那 么在钱恰好用尽的情况下 最多可以购买排球和篮球共多少个 请你直接写出答案 例 4 某学校计划在总费用 2300 元的限额内 利用汽车送 234 名学生和 6 名教师集体外出活动 每辆汽车上至 少有 1 名教师 现有甲 乙两种大客车 它们的载客量和租金如表 甲种客车乙种客车 载客量 单位 人 辆 4530 租金 单位 元 辆 400280 1 共需租多少辆汽车 2 给出最节省费用的租车方案 例 5 某市的 A 县和 B 县春季育苗 急需化肥分别为 90 吨和 60 吨 该市的 C 县和 D 县分别储存化肥 100 吨和 50 吨 全部调配给 A 县和 B 县 已知 C D 两县运化肥到 A B 两县的运费 元 吨 如下表所示 1 设 C 县运到 A 县的化肥为 x 吨 求总运费 W 元 与 x 吨 的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范围 2 求最低总运费 并说明总运费最低时的运送方案 出发地 运费 目的地 C 县D 县 A 县 3540 B 县 3045 3 一 一 生产方案的设计生产方案的设计 例例 1 镇江市 在举国上下众志成城 共同抗击非典的非常时期 某医药器械厂接受了生产一批高质量医 用口罩的任务 要求在 天之内 含 天 生产 型和 型两种型号的口罩共 万只 其中 型口罩不得少于 1 8 万只 该厂的生产能力是 若生产 型口罩每天能生产 0 6 万只 若生产 型口罩每天能生产 0 8 万只 已 知生产一只 型口罩可获利 0 5 元 生产一只 型口罩可获利 0 3 元 1 设该厂在这次任务中生产了 型口罩万只 问 该厂生产 型口罩可获利润 万元 生x 产 型口罩可获利润 万元 设该厂这次生产口罩的总利润是万元 试写出关于的函数关系式 并求出自变量的取值范围 yyxx 如果你是该厂厂长 在完成任务的前提下 你如何安排生产 型和 型口罩的只数 使获得的总利润最大 最大利润是多少 若要在最短时间内完成任务 你又如何来安排生产 型和 型口罩的只数 最短时间是多少 分析 分析 0 5 0 3 5 xx 0 5 0 3 5 0 2 1 5 yxxx 首先 1 8 但由于生产能力的限制 不可能在 天之内全部生产 型口罩 假设最多用 天生产xt 型 则 天生产 型 依题意 得 0 6 0 8 解得 故最大值只能是ttttx 0 6 7 4 2 所以的取值范围是 1 8 万只 4 2 万只 xx 要使取得最大值 由于 0 2 1 5 是一次函数 且随增大而增大 故当取最大值 1 yyxyxx 4 2 时 取最大值 0 2 4 2 1 5 2 32 万元 即按排生产 型 4 2 万只 型 0 8 万只 获得的总利润最大 y 为 2 32 万元 若要在最短时间完成任务 全部生产 型所用时间最短 但要求生产 型 1 8 万只 因此 除了生产 2 型 1 8 万只外 其余的 3 2 万只应全部改为生产 型 所需最短时间为 1 8 0 6 3 2 0 8 天 1 2011 岳阳 某工厂有一种材料 可加工甲 乙 丙三种型号机械配件共 240 个 厂方计划由 20 个工 人一天内加工完成 并要求每人只加工一种配件 根据下表提供的信息 解答下列问题 配件种类甲乙丙 每人可加工配件的数量 个 161210 每个配件获利 元 685 1 设加工甲种配件的人数为 x 加工乙种配件的人数为 y 求 y 与 x 之间的函数关系式 2 如果加工每种配件的人数均不少于 3 人 那么加工配件的人数安排方案有几种 并写出每种安排方案 3 要使此次加工配件的利润最大 应采用 2 中哪种方案 并求出最大利润值 二 营销方案的设计二 营销方案的设计 例 例 湖北 一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份 0 7 元 销售价是每份 元 卖不掉的报纸 还可以 0 20 元的价格退回报社 在一个月内 以 30 天计算 有 20 天每天可卖出 100 份 其余 10 天每天只能 卖出 60 份 但每天报亭从报社订购的份数必须相同 若以报亭每天从报社订购的份数为自变量 每月所获得x 的利润为函数 y 写出与之间的函数关系式 并指出自变量的取值范围 yxx 4 报亭应该每天从报社订购多少份报纸 才能使每月获得的利润最大 最大利润是多少 分析 分析 由已知 得应满足 60 100 因此 报亭每月向报社订购报纸 30份 销售xxx 20 60 10 份 可得利润 0 3 20 60 10 6 180 元 退回报社 10 60 份 亏本xxxx 0 5 10 60 5 300 元 故所获利润为 6 180 5 300 480 即xxyxxx 480 yx 自变量的取值范围是 60 100 且为整数 xxx 因为是的一次函数 且随增大而增大 故当取最大值 100 时 最大值为yxyxxy 100 480 580 元 2 2011 营口 某家电商场计划用 32400 元购进 家电下乡 指定产品中的电视机 冰箱 洗衣机共 15 台 三种 家电的进价和售价如下表所示 价格 种类进价 元 台 售价 元 台 电视机2 0002 100 冰箱2 4002 500 洗衣机1 6001 700 其中购进电视机的数量和冰箱的数量相同 洗衣机数量不大于电视机数量的一半 国家规定 农民购买家电后 可根据商场售价的 13 领取补贴 设购进电视机的台数为 x 台 三种家电国家财政共需补贴农民 y 元 1 求出 y 与 x 之间的函数关系 2 在不超出现有资金的前提下 商场有哪几种进货方案 3 在 2 的条件下 如果这 15 台家电全部销售给农民 国家财政最多需补贴农民多少元 三 优惠方案的设计三 优惠方案的设计 例 例 南通市 某果品公司急需将一批不易存放的水果从 市运到 市销售 现有三家运输公司可供选择 这三家运输公 司提供的信息如下 解答下列问题 若乙 丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰 好是甲公司的 倍 求 两市的距离 精确到个位 如果 两市的距离为千米 且这批水果在包装s 与装卸以及运输过程中的损耗为 300 元 小时 那么要使果品公司支付的总费用 包装与装卸费用 运输费用 及损耗三项之和 最小 应选择哪家运输公司 分析分析 设 两市的距离为千米 则三家运输公司包装与装卸及运输的费用分别是 甲公司为x 6 1500 元 乙公司为 8 1000 元 丙公司为 10 700 元 依题意 得xxx 8 1000 10 700 6 1500 xxx 解得 216 217 千米 x 3 2 设选择甲 乙 丙三家公司的总费用分别为 单位 元 则三家运输公司包装及运输 1 y 2 y 3 y 运输 单位 运输速 度 千 米 时 运输费 用 元 千米 包装与 装卸时 间 小 时 包装与 装卸费 用 元 甲公司60 1500 乙公司50 1000 丙公司100103700 5 所需的时间分别为 甲 小时 乙 小时 丙 小时 从而 60 s 50 s 100 s 6 1500 300 11 2700 1 ys 60 s s 8 1000 300 14 1600 2 ys 50 s s 10 700 300 13 1600 3 y 100 s 现在要选择费用最少的公司 关键是比较 的大小 1 y 2 y 3 y 总是成立的 也就是说在乙 丙两家公司中只能选择丙公司 在甲和丙两家中 究s 2 y 3 y 竟应选哪一家 关键在于比较和的大小 而与的大小与 两市的距离的大小有关 要一一进 1 y 3 y 1 y 3 ys 行比较 当 时 11 2700 13 1600 解得 550 此时表明 当两市距离小于 550 千米时 选择丙 1 y 3 ysss 公司较好 当 时 550 此时表明 当两市距离等于 550 千米时 选择甲或丙公司都一样 1 y 3 ys 当 时 550 此时表明 当两市的距离大于 550 千米时 选择甲公司较好 1 y 3 ys 3 实验学校计划组织共青团员 372 人到某爱国主义基地接受教育 并安排 8 们老师同行 经学校与汽车出租公 司协商 有两种型号客车可供选择 它们的载客量和租金如下表 为保证每人都有座位 学校决定租 8 辆车 1 写出符合要求的租车方案 并说明理由 2 设租甲种客车 x 辆人 总租金共 y 元 写出 y 与 x 之间的函数关系式 3 在 1 方案中 求出租金最少租车方案 四 调运方案的设计四 调运方案的设计 例 例 城有化肥 200 吨 城有化肥 300 吨 现要把化肥运往 两农村 如果从 城运往 两 地运费分别是 20 元 吨与 25 元 吨 从 城运往 两地运费分别是 15 元 吨与 22 元 吨 现已知 地 需要 220 吨 地需要 280 吨 如果个体户承包了这项运输任务 请你帮他算一算 怎样调运花钱最小 分析分析 根据需求 库存在 两城的化肥需全部运出 运输的方案决定于从某城运往某地的吨数 也就 甲种客车乙种客车 载客量 人 辆 5030 租金 元 辆 400200 6 是说 如果设从 城运往 地吨 则余下的运输方案便就随之确定 此时所需的运费 元 也只与 吨 xyx 的值有关 因此问题求解的关键在于建立与之间的函数关系 yx 解 解 设从 城运往吨到 地 所需总运费为元 则 城余下的 200 吨应运往 地 其次 地xyx 尚欠的 220 吨应从 城运往 即从 城运往 地 220 吨 城余下的 300 220 xxx 15 220 22 80 xx 即 10060 yx 因为随增大而增大 故当取最小值时 的值最小 而 200 yxxyx 故当 时 最小值 10060 元 xy 因此 运费最小的调运方案是将 城的 200 吨全部运往 地 城 220 吨运往 地 余下的 80 吨运往 地 4 某商业集团新进了 40 台空调机 60 台电冰箱 计划调配给下属的甲 乙两个连锁店销售 其中 70 台给甲 连锁店 30 台给乙连锁店 两个连锁店销售这两种电器每台的利润 元 如下表 空调机电冰箱 甲连锁店200170 乙连锁店160150 设集团调配给甲连锁店 x 台空调机 集团卖出这 100 台电器的总利润为 y 元 1 求 y 关于 x 的函数关系式 并求出 x 的取值范围 2 为了促销 集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利 a 元销售 其他的销售利润不变 并且让利后每台空 调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润 问该集团应该如何设计调配方案 使总利润达到最大 练习题 练习题 某工厂现有甲种原料 360 千克 乙种原料 290 千克 计划利用这两种原料生产 A B 两种产品 共 50 件 已 知生产一件 A 种产品需用甲种原料 9 千克 乙种原料 3 千克 可获利润 700 元 生产一件 B 种产品 需用甲种原 料 4 千克 乙种原料 10 千克 可获利润 1200 元 1 要求安排 A B 两种产品的生产件数 有哪几种方案 请你设计出来 2 生产 A B 两种产品获总利润是 元 其中一种的生产件数是 试写出与之间的函数关系式 并利yxyx 用函数的性质说明 1 中的哪种生产方案获总利润最大 最大利润是多少 北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台 北京厂可支援外地 10 台 上海厂可支援外地 4 台 现在 决定给重庆 8 台 汉口 6 台 如果从北京运往汉口 重庆的运费分别是 4 百元 台 8 百元 台 从上海运往汉口 重庆的运费分别是 3 百元 台 5 百元 台 求 1 若总运费为 8400 元 上海运往汉口应是多少台 2 若要求总运费不超过 8200 元 共有几种调运方案 7 3 求出总运费最低的调运方案 最低总运费是多少元 3 某校校长暑假将带领该校市级 三好生 去北京旅游 甲旅行社说 如果校长买全票一张 则其余学生可 享受半价优待 乙旅行社说