【拿高分 选好题】（新课程）高中数学二轮复习 第一部分 18个必考问题 专项突破《必考问题10 基本不等式及其应用》专题训练 苏教版

1 训练训练 1010 基本不等式及其应用基本不等式及其应用 参考时间 80 分钟 一 填空题 1 2012 泰州期末 已知a b t a 0 b 0 t为常数 且ab的最大值为 2 则 t 2 已知x 0 y 0 且 1 若x 2y m2 2m恒成立 则实数m的取值范围是 2 x 1 y 3 若不等式x2 2ax b2 4 0 恰有一个解 则ab的最大值为 4 设a b 0 则a2 的最小值是 1 ab 1 a a b 5 一批救灾物资随 26 辆汽车从某市以v km h 的速度匀速直达 400 km 外的灾区 为了安 全起见 两辆汽车的间距不得小于 2km 则这批物资全部运送到灾区最少需 v 20 h 6 2010 山东 若对任意x 0 a恒成立 则a的取值范围是 x x2 3x 1 7 已知x 0 y 0 x a b y成等差数列 x c d y成等比数列 则的 a b 2 cd 最小值是 8 已知实数x s t满足 8x 9t s 且x s 则的最小值为 x2 s t x st 1 x t 9 若实数x y满足 4x 4y 2x 1 2y 1 则t 2x 2y的取值范围是 10 2012 苏北四市调研 已知 ABC的三边长a b c成等差数列 且a2 b2 c2 84 则实数b的取值范围是 二 解答题 11 二次函数f x ax2 bx c的系数均为整数 若 1 2 且 是方程 f x 0 两个不等的实数根 求最小正整数a的值 12 某工厂去年的某产品的年产量为 100 万只 每只产品的销售价为 10 元 固定成本为 8 元 今年工厂第一次投入 100 万元 科技成本 并计划以后每年比上一年多投入 100 万 元 科技成本 预计产量年递增 10 万只 第n次投入后 每只产品的固定成本为g n k 0 k为常数 n Z Z 且n 0 若产品销售价保持不变 第n次投入后的年 k n 1 利润为f n 万元 2 1 求k的值 并求出f n 的表达式 2 问从今年算起第几年年利润最高 最高年利润为多少万元 13 已知函数f x x 0 x2 ax 2 x 1 指出f x 的单调区间 并进行证明 2 若x 0 时 不等式f x x恒成立 求实数a的取值范围 1 2 14 2012 南通 泰州 扬州调研 如图 矩形 ABCD中 AB 3 AD 2 一质点从AB边上的点 P0出发 沿与AB的夹角为 的方向射到边BC 上点P1后 依次反射 入射角与反射角相等 到 边CD DA和AB上的P2 P3 P4处 1 若P4与P0重合 求 tan 的值 2 若P4落在A P0两点之间 且AP0 2 设 tan t 将五边形P0P1P2P3P4的面积S 表示为t的函数 并求S的最大值 参考答案 训练 10 基本不等式及其应用 1 解析 由基本不等式得ab 2 2 t 0 解得t 2 a b 2 t2 42 答案 2 2 2 解析 要使x 2y m2 2m恒成立 主要 x 2y min m2 2m 而 x 0 y 0 x 2y x 2y 1 x 2y 4 8 所以 x 2y 2 x 1 y 4y x x y min 8 m2 2m 8 解得 4 m 2 答案 4 2 3 解析 因为不等式x2 2ax b2 4 0 恰有一个解 所以抛物线与x轴相切 即 2a 2 4 b2 4 0 化简得a2 b2 4 所以ab 2 当且仅当a b 或 a2 b2 22 a b 时 取等号 即ab的最大值为 2 2 答案 2 4 解析 a2 a2 ab ab a a b ab 1 ab 1 a a b 1 ab 1 a a b 1 a a b 2 2 4 当且仅当a a b 1 且ab 1 即a b 时取等号 1 ab2 2 2 答案 4 5 解析 时间最短 则两车之间的间距最小 且要安全 则时间t 400 25 v 20 2 v 2 10 当且仅当v 80 时等号成立 400 v 25v 40025 答案 10 6 解析 a恒成立 a max 而 x x2 3x 1 x x2 3x 1 x x2 3x 1 1 x 1 x 3 3 x 0 当且仅当x 时 等号成立 a 1 2 x 1 x 3 1 5 1 x 1 5 答案 a 1 5 7 解析 由题知a b x y cd xy x 0 y 0 则 a b 2 cd x y 2 xy 4 当且仅当x y时取等号 2xy 2 xy 答案 4 8 解析 由x s和 8x 9t s得 9x 9t x s 0 所以 x2 s t x st 1 x t x s 9 x t 6 x s x t 1 x t 1 x t 1 x t 答案 6 9 解析 因为 4x 4y 2x 2 2y 2 t2 2 2x 2y 所以t2 2 2x 2y 2t 即 2 2x 2y t2 2t 又 0 2 2x 2y 2 2 t2 所以 0 t2 2t t2 解不等 2x 2y 2 1 2 1 2 式组得 2 t 4 答案 2 t 4 10 解析 因为三边长a b c成等差数列 所以 2b a c a2 b2 c2 84 a2 c2 84 b2 所以 2ac 4b2 84 b2 5b2 84 由基本不等式可得 2ac a2 c2 即 5b2 84 84 b2 b2 28 又a b c为 ABC的三边长 所以b2 a c 2 84 b2 5b2 84 168 6b2 b2 24 所以 24 b2 28 故实数b的取值范围是 2 2 67 答案 2 2 67 11 解 根据条件进行等价转化 再利用二次函数图象直观求解 因为 1 2 且 是方程f x 0 的两个不等的实数根 所以f 1 0 f 2 0 又二次函数 f x ax2 bx c的系数均为整数 且a 0 所以f 1 1 f 2 1 当a最小时 必有f 1 1 f 2 1 即Error 得Error 代入 b2 4ac 0 中解得a 4 又当 a 5 时 Error 满足题意 故最小正整数a的值为 5 12 解 1 由g n 由已知得g 0 8 所以k 8 k n 1 所以f n 100 10n 100n n N N 10 8 n 1 2 由f n 100 10n 100n 10 8 n 1 1 000 80 1 000 80 1 000 80 2 520 n 10 n 1 n 1 9 n 1 9 当且仅当 即n 8 时取等号 n 1 9 n 1 所以第 8 年工厂的利润最高 最高为 520 万元 13 解 1 f x x a x 0 x2 ax 2 x 2 x f x 在 0 上为减函数 在 上为增函数 22 设 0 x1 x2 2 则f x1 f x2 x1 2 x1 a x2 2 x2 a 4 x1 x2 2 x1 2 x2 x1 x2 x1x2 2 x1x2 因为 0 x1 x2 所以x1 x2 0 0 x1x2 2 2 所以f x1 f x2 0 f x1 f x2 故f x 在 0 上为减函数 2 同理可证 f x 在 上为增函数 2 2 由f x x 有x a x 1 2 2 x 1 2 x a 0 因为x 0 所以x 2 2 当且仅当x 2 时取等号 1 2 2 x 1 2 2 x 1 2x 2 x 要使不等式f x x对x 0 恒成立 1 2 只需 2 a 0 所以a 2 即为所求 所以实数a的取值范围为 2 14 解 1 设P0B x0 则P1B x0tan P1C 2 x0tan P2C x0 P2D 3 x0 P1C tan 2 x0tan tan 2 tan 2 tan P3D 3 x0 tan 2 P3A 4 3 x0 tan AP4 3 x0 由于P4 4 tan 与P0重合 AP4 P0B 3 所以 6 即 tan 4 tan 2 3 2 由 1 可知AP4 4 因为P4落在A P0两点之间 所以 tan 1 4 tan 2 3 即 t 1 2 3 S S四边形ABCD S P0BP1 S P1