【5年高考3年模拟】（新课标专用）2014高考数学一轮复习 试题分类汇编 圆锥曲线的综合问题（B）

1 10 510 5 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 考点一 定点与定值问题 1 2013 北京 19 14 分 直线 y kx m m 0 与椭圆 W y2 1 相交于 A C 两点 O 是坐标原点 1 当点 B 的坐标为 0 1 且四边形 OABC 为菱形时 求 AC 的长 2 当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时 证明 四边形 OABC 不可能为菱形 解析 1 因为四边形 OABC 为菱形 所以 AC 与 OB 相互垂直平分 所以可设 A 代入椭圆方程得 1 即 t 所以 AC 2 2 假设四边形 OABC 为菱形 因为点 B 不是 W 的顶点 且 AC OB 所以 k 0 由消 y 并整理得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0 设 A x1 y1 C x2 y2 则 k m 所以 AC 的中点为 M 因为 M 为AC 和 OB 的交点 且 m 0 k 0 所以直线 OB 的斜率为 因为 k 1 所以 AC 与 OB 不垂直 所以 OABC 不是菱形 与假设矛盾 所以当点 B 不是 W 的顶点时 四边形 OABC 不可能是菱形 2 2013 安徽 21 13 分 已知椭圆 C 1 a b 0 的焦距为 4 且过点 P 1 求椭圆 C 的方程 2 设 Q x0 y0 x0y0 0 为椭圆 C 上一点 过点 Q 作 x 轴的垂线 垂足为 E 取点 A 0 2 连 结 AE 过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D 点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点 作直线 QG 问这样 作出的直线QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点 并说明理由 解析 1 因为焦距为 4 所以 a2 b2 4 又因为椭圆 C 过点 P 所以 1 故 a2 8 b2 4 从 而椭圆 C 的方程为 1 2 由题意 E 点坐标为 x0 0 设 D xD 0 则 x0 2 xD 2 再由 AD AE 知 0 即 x0 xD 8 0 由于 x0y0 0 故 xD 因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点 所以点 G 故直线 QG的斜率 kQG 又因 Q x0 y0 在椭圆 C 上 所以 2 8 从而 kQG 故直线 QG 的方程为 y 将 代入椭圆 C 的方程 得 2 x2 16x0 x 64 16 0 再将 代入 化简得 x2 2x0 x 0 解得 x x0 y y0 即直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点 考点二 参变量的取值范围与最值问题 3 2013 湖北 22 14 分 如图 已知椭圆 C1与 C2的中心在坐标原点 O 长轴均为 MN 且在 x 轴 上 短轴长分别为 2m 2n m n 过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 C2的四个交点按纵坐 标从大到小依次为 A B C D 记 BDM 和 ABN 的面积分别为 S1和 S2 1 当直线 l 与 y 轴重合时 若 S1 S2 求 的值 2 2 当 变化时 是否存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 S2 并说明理由 解析 依题意可设椭圆 C1和 C2的方程分别为 C1 1 C2 1 其中a m n 0 1 1 解法一 如图 1 若直线 l 与 y 轴重合 即直线 l 的方程为 x 0 则 S1 BD OM a BD S2 AB ON a AB 所以 在 C1和 C2的方程中分别令 x 0 可得 yA m yB n yD m 所以 若 即 化简得 2 2 1 0 由 1 解得 1 故当直线 l 与 y 轴重合时 若 S1 S2 则 1 解法二 如图 1 若直线 l 与 y 轴重合 则 BD OB OD m n AB OA OB m n S1 BD OM a BD S2 AB ON a AB 所以 若 即 化简得 2 2 1 0 由 1 解得 1 故当直线 l 与 y 轴重合时 若 S1 S2 则 1 2 解法一 如图 2 若存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 S2 根据对称性 不妨设直线 l y kx k 0 点 M a 0 N a 0 到直线 l 的距离分别为 d1 d2 因为 d1 d2 所以 d1 d2 又因为 S1 BD d1 S2 AB d2 所以 即 BD AB 由对称性可知 AB CD 所以 BC BD AB 1 AB AD BD AB 1 AB 所以 将 l 的方程分别与 C1 C2的方程联立 可求得 xA xB 根据对称性可知 xC xB xD xA 所以 3 从而由 可得 令 t 则由 m n 可得 t 1 所以由 解得 k2 因为 k 0 所以 k2 0 所以 式关于 k 有解 当且仅当 0 等价于 t2 1 1 解得 t 1 即 1 解得 1 所以 当 11 时 存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 S2 解法二 如图 2 若存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 S2 根据对称性 不妨设直线 l y kx k 0 点 M a 0 N a 0 到直线 l 的距离分别为 d1 d2 因为 d1 d2 所以 d1 d2 又 S1 BD d1 S2 AB d2 所以 因为 所以 由点 A xA kxA B xB kxB