【全程复习方略】（陕西专用）2013版高考数学 2.3 函数的奇偶性与周期性课时提能演练 理 北师大版

1 全程复习方略全程复习方略 陕西专用 陕西专用 20132013 版高考数学版高考数学 2 32 3 函数的奇偶性与周期性课函数的奇偶性与周期性课 时提能演练时提能演练 理理 北师大版北师大版 一 选择题一 选择题 每小题每小题 5 5 分 共分 共 3030 分分 1 2012 西安模拟 下列函数中 既是偶函数又在区间 1 0 上单调递增的函数是 A y x 1 B y x2 1 C y 2 x D y cosx 2 2011 山东高考 对于函数 y f x x R y f x 的图像关于 y 轴对称 是 y f x 是奇函数 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数 其最小正周期为 3 且 x 0 时 f x log2 3x 1 3 2 则 f 2 011 A 2 B 2 C 4 D log27 4 已知偶函数 f x 在 0 上的图像如图 则下列函数中与 f x 在 0 上单调性不同的是 A y lg x B y 2x 1 C y Error Error D y Error Error 5 2012 汉中模拟 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数 且在 0 3 上是增函数 在 3 上是减 函数 若函数 g x f ax 在 6 6 上是增函数 则实数 a 的取值范围是 A 0 B 0 2 1 2 C D 2 1 2 2 6 已知函数 f x 是 R 上的偶函数 g x 是 R 上的奇函数 且 g x f x 1 若 f 1 2 则 f 2 013 的值为 A 2 B 0 C 2 D 2 二 填空题二 填空题 每小题每小题 5 5 分 共分 共 1515 分分 7 预测题 设函数 f x 为奇函数 则实数 a x 1 x a x 8 2011 广东高考 设函数 f x x3cosx 1 若 f a 11 则 f a 9 2012 宝鸡模拟 设 f x 是 上的奇函数 且 f x 2 f x 下面关于 f x 的判定 其中正确命题的序号为 f 4 0 f x 是以 4 为周期的函数 f x 的图像关于 x 1 对称 f x 的图像关于 x 2 对称 三 解答题三 解答题 第第 1010 题题 1212 分 第分 第 1111 题题 1313 分 共分 共 2525 分分 10 是否存在实数 a 使函数 f x log2 x a 为奇函数 同时使函数 g x x a 为偶 x2 2 1 ax 1 函数 证明你的结论 11 设 y f x 是定义在 R 上的偶函数 其图像关于 x 1 对称 对任意的 x1 x2 0 都有 f x1 x2 1 2 f x1 f x2 且 f 1 a 0 1 求 f 1 2 2 证明 y f x 是周期函数 选做选做 探究题探究题 设函数 f x 的定义域为 D 若存在非零实数l l使得对于任意 x M MD 有 x l l D 且 f x l f x 则称 f x 为 M 上的l l高调函数 1 如果定义域为 1 的函数 f x x2为 1 上的 m 高调函数 求实数 m 的取值范围 2 如果定义域为 R 的函数 f x 是奇函数 当 x 0 时 f x x a2 a2 且 f x 为 R 上的 4 高调函数 求实数 a的取值范围 3 答案解析答案解析 1 解析 选 C 所给函数中均为偶函数 但 y x 1 和 y x2 1 及 y cosx 在 1 0 上均为减函 数 只有 y 2 x 符合要求 2 解析 选 B y f x 是奇函数 则图像关于原点对称 所以 y f x 的图像关于 y 轴对称 反之 y f x 的图像关于 y 轴对称 y f x 不一定为奇函数 3 解析 选 A 由已知 f 2 011 f 670 3 1 f 1 f 1 log2 3 1 2 4 解题指南 先利用偶函数图像的性质 判断出 f x 在 0 上的单调性 再逐个验证其是否不同 即可 解析 选 C 由图像知 f x 在 0 上单调递减 而 A 中 y lg x 在 0 上为减函数 B 中 y 2x 1 在 0 上为减函数 C 中函数在 0 上为增函数 D 中函数在 0 上为减函 数 故选 C 5 解析 选 A 由奇函数的性质知 f x 在 3 3 上是增函数 由题意得 u ax 在 6 6 上是增函数 且Error Error a 0 且 a 1 2 即 a 0 1 2 6 解题指南 解答本题可以先用已知条件探究出函数 f x 的周期性 再用周期性求 f 2 013 的值 解析 选 A 由 g x f x 1 得 g x f x 1 又 g x 为 R 上的奇函数 g x g x f x 1 f x 1 即 f x 1 f x 1 用 x 1 替换 x 得 f x f x 2 又 f x 是 R 上的偶函数 f x f x 2 f x f x 4 即 f x 的周期为 4 f 2 013 f 4 503 1 f 1 2 7 解析 f x 为奇函数 f x f x 0 即 0 x 1 x a x x 1 x a x 得 2 a 1 x 0 x R 且 x 0 4 a 1 0 a 1 答案 1 8 解析 令 g x x3cosx 则 f x g x 1 且 g x 为奇函数 所以 g a g a 由 f a 11 得 g a 1 11 所以 g a 10 f a g a 1 g a 1 10 1 9 答案 9 9 解析 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 即 f x 的周期为 4 正确 f 4 f 0 0 f x 为奇函数 即 正确 又 f x 2 f x f x f x 的图像关于 x 1 对称 正确 又 f 1 f 3 当 f 1 0 时 显然 f x 的图像不关于 x 2 对称 错误 答案 10 解析 存在 证明如下 f x 为奇函数 所以 f 0 0 得 log2 a 0a 2 1 2 若 g x 为偶函数 则 h x a 为奇函数 1 ax 1 即 h x h x 0 a a 02a 2a 1a 1 a x 1 1 ax 1 ax ax 1 1 ax 1 1 2 存在符合题设条件的 a 1 2 11 解析 1 因为对任意的 x1 x2 0 都有 f x1 x2 f x1 f x2 1 2 所以 f 1 f f f a 1 2 1 2 1 2 1 2 又因为 f f f f 0 1 2 1 4 1 4 1 4 1 4 所以 f 1 2a 2 因为 y f x 是定义在 R 上的偶函数 其图像关于 x 1 对称 所以 f x f x f x f x 2 即 f x f x 2 5 所以 y f x 是周期为 2 的周期函数 变式备选 已知 f x 是定义在 1 1 上的奇函数 若对任意的 a b 1 1 当 a b 0 时 总有 0 f a f b a b 1 判断函数 f x 在 1 1 上的单调性 并证明你的结论 2 解不等式 f x 1 f 1 x 1 解析 1 f x 在 1 1 上是增函数 证明如下 任取 x1 x2 1 1 且 x1 x2 则 x1 x20 f x1 f x2 x1 x2 f x1 f x2 x1 x2 而 x1 x2 0 故 f x1 f x2 故 f x 在 1 1 上是增函数 2 由 f x 在 1 1 上是增函数知 Error Error 解得Error Error 即 2 x 2 故不等式的解集为 x 2 x 2 选做 探究题 解析 1 f x x2 x 1 的图像如图 1 所示 要使得 f 1 m f 1 有 m 2 x 1 时 恒有 f x 2 f x