【精品】高中数学 2.1函数（备课资料） 大纲人教版必修

1 备课资料备课资料 因为函数是现实世界对应关系的抽象或者说是对应关系的数学模型 它重要而且基本 不仅是数学研究的重要对象 也是数学中常用的一种数学思想 所以全面正确深刻理解函 数概念则是我们教学的关键 其中函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础 即 处理函数问题必须树立 定义域优先 这种数学意识 熟练准确地写出函数表达式是对函数 概念理解充分体现 下面 针对函数的定义域及函数解析式做进一步探讨 一 函数的定义域一 函数的定义域 例 1 求下列函数的定义域 1 y 2 1 x2 1 2 y 4 2 2 x x 3 y 1 xx 4 y xx 41 2 5 y 3 1 4 2 x x 6 y x 1 1 1 1 1 7 y 3 ax a为常数 分析 当函数是用解析法给出 并且没有指出定义域 则使函数解析式有意义的自变 量的全体所组成的集合就是函数的定义域 解 1 x R R 2 要使函数有意义 必须使x2 4 0 得原函数定义域为 x x R 且x 2 3 要使函数有意义 必须使x x 0 得原函数定义域为 x x 0 4 要使函数有意义 必须使 04 01 x x 得原函数的定义域为 x 1 x 4 5 要使函数有意义 必须使 03 04 2 x x 得原函数定义域为 x 2 x 2 2 6 要使函数有意义 必须使 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 x x x x 得原函数的定义域为 x x 1 或x 0 或 2 1 x 0 7 要使函数有意义 必须使ax 3 0 得 当a 0 时 原函数定义域为 x x a 3 当a 0 时 原函数定义域为 x x a 3 当a 0 时 ax 3 0 的解集为 故原函数定义域为 评述 1 求函数定义域就是求使函数解析式有意义的自变量取值的集合 一般可通过 解不等式或不等式组完成 2 对于含参数的函数定义域常常受参数变化范围的制约 受制约时应对参数进行分类 讨论 例 1 中的 8 小题含有参数a 须对它分类讨论 例 2 1 已知函数f x 的定义域为 0 1 求f x2 的定义域 2 已知函数f 2x 1 的定义域为 0 1 求f x 的定义域 3 已知函数f x 1 的定义域为 2 3 求f 2x2 2 的定义域 分析 1 求函数定义域就是求自变量x的取值范围 求f x2 的定义域就是求x的 范围 而不是求x2的范围 这里x与x2的地位相同 所满足的条件一样 2 应由 0 x 1 确定出 2x 1 的范围 即为函数f x 的定义域 3 应由 2 x 3 确定出x 1 的范围 求出函数f x 的定义域进而再求 f 2x2 2 的定义域 它是 1 与 2 的综合应用 解 1 f x 的定义域为 0 1 要使f x2 有意义 须使 0 x2 1 即 1 x 0 或 0 x 1 函数f x2 的定 义域为 x 1 x 0 或 0 x 1 2 f 2x 1 的定义域为 0 1 即其中的函数自变量x的取值范围是 0 x 1 令t 2x 1 1 t 3 f t 的定义域为 1 x 3 函数f x 的定义 域为 x 1 x 3 3 f x 1 的定义域为 2 x 3 2 x 3 令t x 1 1 t 4 f t 的定义域为 1 t 4 即f x 的定义域为 1 x 4 要使f 2x2 2 有意义 须使 1 2x2 2 4 3 x 2 2 或 2 2 x 3 3 函数f 2x2 2 的定义域为 x 3 x 2 2 或 2 2 x 3 注意 对于以上 2 3 中的f t 与f x 其实质是相同的 评述 1 对于复合函数f x 而言 如果函数f x 的定义域为A 则f x 的定义域是使得函数 x A的x取值范围 2 如果f x 的定义域为A 则函数f x 的定义域是函数 x 的值域 二 函数的解析式二 函数的解析式 例 1 1 已知f x 1 x 2x 求f x 的解析式 2 已知f x x 1 x3 x 1 求f x 的解析式 3 已知函数f x 是一次函数 且满足关系式 3f x 1 2f x 1 2x 17 求f x 的解析式 分析 此题目中的 f 这种对应法则 需要从题给条件中找出来 这就要有整体思想 的应用 即 求出f及其定义域 解 1 设t x 1 1 则x t 1 x t 1 2 f t t 1 2 2 t 1 t2 1 t 1 f x x2 1 x 1 2 x3 3 1 x x x 1 x2 2 1 x 1 x x 1 x x 1 2 3 f x x 1 x x 1 x x 1 2 3 f x x x2 3 x3 3x 当x 0 时 x x 1 2 或x x 1 2 f x x3 3x x 2 或x 2 3 设f x ax b则 3f x 1 2f x 1 3ax 3a 2b 2a 2b ax b 5a 2x 17 a 2 b 7 f x 2x 7 注意 对于 1 中f x 与f t 本质上一样 评述 换元法 配凑法 及 待定系数法 是求函数解析式常用的方法 以上 3 个 题目分别采用了这三种方法 值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域 例 2 1 甲地到乙地的高速公路长 1500 公里 现有一辆汽车以 100 公里 小时的 速度从甲地到乙地 写出汽车离开甲地的距离S 公里 表示成时间t 小时 的函数 分析 从已知可知这辆汽车是匀速运动 所以易求得函数解析式 其定义域由甲乙两 地之间的距离来决定 解 汽车在甲乙两地匀速行驶 S 100t 4 汽车行驶速度为 100 公里 小时 两地距离为 1500 公里 从甲地到乙地所用时间为t 100 1500 小时 答 所求函数为 S 100t t 0 15 2 某乡镇现在人均一年占有粮食 360 千克 如果该乡镇人口平均每年增长 1 2 粮 食总产量平均每年增长 4 那么x年后若人均一年占有y千克粮食 求出函数y关于x的 解析式 分析 此题用到平均增长率问题的分式 由于学生尚未学到 所以还应推导 解 设现在某乡镇人口为A 则 1 年后此乡镇的人口数为A 1 1 2 2 年后的此乡 镇人口数为A 1 1 2 2 经过x年后此乡镇人口数为A 1 1 2 x 再设现在某乡镇 粮食产量为B 则 1 年后此乡镇的粮食产量为B 1 4 2 年后的此乡镇粮食产量为 B 1 4 2 经过x年后此乡镇粮食产量为B 1 4 x 因某乡镇现在人均一年占 有粮食为 360 kg 即 A B 360 所以x年后的人均一年占有粮食为y 即y x x x x A B 2 11 41 360 2 11 41 x N N 评述 根据实际问题求函数解析式 是应用函数知识解决实际问题的基础 在设定或 选定自变量后去寻求等量关系 求得函数解析式后 还要注意函数定义域要受到实际问题 的限制 三 参考练习题三 参考练习题 1 函数y 12 1 1 3 xx x 的定义域是 答案 R R 2 设函数f 2x 1 2x 1 则函数f x 的定义域是 答案 1 3 已知函数f x 1 2x 1 求f x 的解析式是 答案 f x 2x 1 4 已知f x 是一次函数 且f f x 4x 1 则f x 的解析式是 答案 f x 2x 3 1 或f x 2x 1 备课资料备课资料 一 函数的值域一 函数的值域 在函数概念的三要素中 定义域和对应法则是最基本的 值域是由定义域和对应法则 所确定 因此 研究值域仍应注重函数对应法则的作用和定义域对值域的制约 以下试举 例说明常用方法 对函数值域的理解 例题 求下列函数的值域 1 y 1 2x x R R 2 y x 1 x 2 1 0 1 2 3 y x2 4x 3 3 x 1 4 y x 1 x 2 5 y 2x 3 134 x 6 y 22 24 1 5 x xx 5 7 y 52 1 x x 8 y 122 32 2 2 xx xx 9 y 3 2x x2 x 3 1 10 y 2 13 2 2 x x 分析 求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域 对于 1 2 可用 直接法 根据它们的定义域及对应法则得到 1 2 的值域 对于 3 4 可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域 即 图象法 对于 5 6 可借用整体思想 利用 换元法 求得值域 对于 7 可将其分离出一个常数 即利用 分离常数法 求得它的值域 对于 8 可通过对 的分析 即利用 判别式法 求得其值域 对于 9 10 可 通过中间函数的值域去求所求函数的值 域 这一方法 即 中间媒介法 求得其值域 解 1 y R R 2 y 1 0 1 3 画出y x2 4x 3 3 x 1 的图象 如图所示 当x 3 1 时 得y 1 8 4 对于y x 1 x 2 的理解 从几何意义入 手 即利用绝对值的几何意义可知 x 1 表示在数轴上 表示x的点到点 1 的距离 x 2 表示在数轴上表示x的点到点 2 的距离 在数轴上 任取三个点xA 1 1 xB 2 xC c 如图所示 可以看 出 xA 1 xA 2 3 3 xB 1 xB 2 3 xC 1 xC 2 3 由此可知 对于任意实 数x 都有 3 x 1 x 2 3 所以函数y x 1 x 2 的值域为 y 3 3 5 对于没有给定自变量的函数 应先考查函数的定义域 再求其值域 4x 13 0 x 4 13 令t 134 x则得 x 4 13 2 t y 2 1 t2 t 2 7 y 2 1 t 1 2 3 x 4 13 t 0 根据二次函数图象可得y 2 7 6 函数定义域为x R R 由原函数可化得 y 22 22 22 24 1 5 1 1 5 x xx x xx 1 11 1 5 1 1 5 2 2 2222 2 22 x x xx x x 6 1 1 1 1 5 222 xx 令t 1 1 2 x x R R t 0 1 y 5t2 t 1 5 t 10 1 2 20 19 根据二次函数的图象得 当t 10 1 时 ymin 20 19 当t 1 时 ymax 5 函数的值域为y 20 19 5 7 y 2 1 52 2 7 x 52 2 7 x 0 y 2 1 函数y的值域为y 2 1 2 1 8 由y 122 32 2 2 xx xx 得x R R 且可化为 2y 1 x2 2 y 1 x y 3 0 当y 2 1 时 2 y 1 2 4 2y 1 y 3 0 y2 3y 4 0 4 y 1 且y 2 1 又当y 2 1 时 2 1 2 1 x 2 1 3 0 得 x 6 7 满足条件 函数的值域为y 4 1 9 3 x 1 2 x 1 2 x 1 2 即 x 1 2 4 y 3 2x x2 x 1 2 4 0 4 函数值域为y 0 4 10 由y 2 13 2 2 x x 可知 x R R 且yx2 2y 3x2 1 即 3 y x2 2y 1 若y 3 时 则有 0 7 这是不可能的 y 3 7 得 x2 y y 3 12 x2 0 y y 3 12 0 解得 2 1 y 3 函数值域为y 2 1 3 评述 1 求函数的值域是一个相当复杂的问题 它没有现成的方法可套用 要结合 函数表达式的特征 以及与所学知识联系 灵活地选择恰当的方法 2 对于以上例题也可以采取不同的方法求解每一个值域 请读者不妨试一试 3 除以上介绍的方法求函数值域外 随着学生的继续学习 我们今后还会有 反函 数 法 单调性 法 三角换元 法 不等式 法及 导数法 等 二 参考练习题二 参考练习题 1 已知集合A a b c d B a b c d 对应法则如图示 则从 A到B为映射的是 答案 C 2 下列哪一个对应是从集合P到集合S的一个映射 A P 有理数 S 数轴上的点 对应法则f 有理数 数轴上的点 B P 数轴上的点 S 有理数 对应法则f 数轴上的点 有理数 C x P R R y S R R 对应法则f x y x D x P RR R y S R R 对应法则f x y x2 答案 A 3 在映射f A B中 下列判断正确的是 A A中的元素a的象可能不只一个 B A中的两个元素a和b的象必不相同 C B中的元素a 的原象可能不只一个 D B中的两个不同元素a 和b 的原象可能相同 答案 C 4 关于从集合A到集合B的映射 下面说法中错误的是 8 A A中每一个元素在B中都有象 B A中的两个不同元素在B中的象不同 C B中的元素在A中可以没有象 D B中的某元素在A中的原象可能不止一个 答案 B 5 从集合A a b 到集合B 1 2 的映射