【四维备课】高中数学 1.2.1 函数的概念备课资料素材库 新人教A版必修1

1 1 2 11 2 1 函数的概念函数的概念 其他版本的例题与习题其他版本的例题与习题 1 苏教版 苏教版 判断下列对应是否为函数 1 x x x R R 1 2 2 x 1 x R R 3 x y 其中y x x R R y R R 4 t s 其中 t R R s R R 2 5 x y 其中 x x 0 y R R 2 6 x y 其中y为不大于x的最大整数 x R R y Z Z 解 根据函数定义可以判断 1 2 3 4 6 是函数 5 不是函数 2 北师大版 北师大版 某山海拔 7 500 m 海平面温度为 25 气温是海拔高度的函数 而且高度每升高 100 m 气温下降 0 6 请你用解析表达式表示出气温T随海拔高度x变化的函 数关系 并指出函数的定义域和值域 解 函数解析式为T x 25 25 x 0 6 100 3 500 函数的定义域为 0 7 500 值域为 20 25 3 如图 某灌溉渠的横断面是等腰梯形 底宽 2 m 渠深 1 8 m 边坡 的倾角是 45 1 试用解析表达式将横断面中水面积A 单位 表示成水 2 深h 单位 m 的函数 2 确定函数的定义域和值域 3 画出函数的图象 解 1 A h 2 h 2 定义域是 0 1 8 值域是 0 6 84 3 图象如图 1 2 1 3 备选例题与练习备选例题与练习 1 求下列函数的定义域 1 f x 1 0 2 f x 2 3 1 3 7 思路分析 函数定义域是使解析式各部分有意义的x值的集合 所以应取各部分的交集 解 1 要使式子有意义 则有 x 0 且x 1 1 0 0 函数的定义域为 x x 0 且x 1 2 要使式子有意义 则有 3x 7 0 即x 7 3 函数的定义域为 且 7 3 2 已知f x 的定义域为 1 3 求f x 1 定义域 2 的 解 f x 的定义域为 1 3 1 x 1 3 2 2 x 2 即f x 1 的定义域为 2 2 又 3 1 2 x 3 3 的定义域为 2 3 3 3 已知函数 1 x R R 2 1 分别计算f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 f 3 的值 2 由 1 你发现了什么结论 并加以证明 解 1 2 2 0 1 5 5 0 1 1 1 12 1 1 2 2 2 22 1 2 2 1 10 10 0 3 3 32 1 3 2 2 由 1 可发现结论 对任意x R R 有f x f x 证明如下 由题意得 1 f x 2 1 2 对任意x R R 总有f x f x 课外拓展课外拓展 求函数的值域求函数的值域 函数值域就是所有函数值的集合 函数y f x x A的值域是集合 值域是由函数 的定义域和对应关系决定的 因而解题中要明确函数的定义域和对应关系 求函数的值域是一个比较复杂的问题 虽然在给定了函数的定义域及其对应关系后 值域就确定了 但 求值域要注意方法 常用的方法有 1 观察法 通过对函数解析式的简单变形 利用熟知的基本函数的值域 或者利用函数图象的 最高点 和 最低点 观察求得函数的值域 这就是观察法 例 1求下列函数的值域 1 y 2 y 2 5 1 1 解 1 0 5 5 2 2 y 函数的值域为 5 5 2 由 0 得y 0 y 的值域为 1 1 1 1 0 2 配方法 对二次函数型的解析式可先进行配方 在充分注意到自变量取值范围的情况下 利用求二次函数型 值域的方法求函数的值域 这就是配方法 例 2 求 x 1 的值域 2 解 x 1 2 1 2 2 3 4 3 4 x 1 的值域为 2 3 4 点评 形如 x bf x c的函数的值域问题 均可使用配方法 需注意定义域 2 3 判别式法 将函数视为关于自变量的二次方程 利用判别式求函数值的范围 常用于一些 分式 函数 无理 函数等 使用此法要特别注意自变量的取值范围 形如y a m中至少有一个不为零 的函 2 2 3 数求值域 可用判别式法 但要注意以下三个问题 一是检验二次项系数为零时 方程是否有解 若无解 或使函数无意义 都应从值域中去掉该值 二是闭区间的边界值也要考查达到该值的x是否存在 三是 分子 分母必须为既约分式 例 3 求函数y 的值域 2 2 3 2 2 3 解 原函数可变形为 2 y 1 x 3 y 1 0 1 2 当y 1 时 关于x的方程有解的条件是 0 4 1 2 12 1 2 解得 2 y 2 y 1 3 3 当y 1 时 解得x 0 方程有解 原函数的值域为 2 2 3 3 点评 使用判别式法求函数值域 关键是 关于x的二次方程有解 本题将函数变形为 2 y 1 1 2 x 3 y 1 0 的形式 问题转化为关于x的方程 2 y 1 x 3 y 1 0 有解 1 2 例 4 已知函数f x 的值域为 1 3 求a b的值 2 2 2 1 思路分析 给出函数的值域求解参数时 通常将函数化成以x为未知数的方程形式 首先考虑二次项系 数为 0 时 是否满足条件 其次 二次项系数不为 0 时 二次方程恒有解 此时利用 0 求解 解 y 2 2 2 1 x R R ax y b 0 2 2 当y 2 0 时 满足题意 当y 2 0 时 x R R 0 即 4 y 2 y b 0 2 整理得 0 4 2 4 2 8 2 1 y 3 1 3 是方程 0 的两根 4 2 4 2 8 2 由此可解得a 2 b 2 4 换元法 通过对函数解析式进行适当换元 可将复杂的函数化归为几个简单的函数 从而利用基本函数的取 值范围求函数的值域 形如y ax b 的形式 可用换元法 即设t 转化成二次函数再 求值域 注意 t 0 例 5 求函数y 2x 的值域 1 思路分析 将整体换元 问题转化为熟知的求二次函数值域问题 注意判断换元后 新元 的取值 1 范围 解 令 t t 0 1 则 t 2 2 2 2 1 4 2 17 8 17 8 所以函数的值域为 17 8 点评 换元的目的是将含有较复杂成分的函数表达式化简为常见 简单的表达式 换元多用于处理可化简 为二次函数的问题 需要注意的是 在换元后 新变量的定义范围 例 6 已知函数f x 的值域是 求g x f x 2的值域 1 4 4 解 因为f x 所以 设 t 1 4 4 1 2 2 1 2 2 4 所以 1 1 0 2 2 1 2 所以函数g x 的值域为 1 0 点评 1 换元法是一种常用的数学变换方法 换元后一定要先求出新变元的取值范围 2 求二次函 数在给定区间上的值域时 宜采用数形结合的方法 即画出二次函数在给定区间上的图象 结合图象观 察值域 5 分离常数法 形如y ac 0 ad bc 的函数 一般先分离常数 再利用反比例函数求值域 变形过程为 再结合x的取值范围确定的取值范围 从而确定函数值域 例 7 求y 的值域 2 2 1 解 y 1 2 1 1 2 1 1 2 1 而 x 1 2 1 2 2 3 4 3 4 即 0 y 1 1 2 1 4 3 1 3 即y 的值域为 2 2 1 1 3 1 点评 分离常数仅仅是一个步骤 有时分离常数后结论就很明显 而有时分离常数后 还需要用其他方 法才能求出 反馈练习 求下列函数的值域 1 y 2 y 5 1 4 2 2 4 3 2 2 1 3 y 4 y 2x 2 2 4 7 2 2 3 1 思路分析 根据各个式子不同的结构特点 选择不同的方法 解 1 分离常数 借助反比例函数的特征求解 y 5 1 4 2 5 4 4 2 1 10 4 4 2 5 4 4 2 14 4 4 2 5 4 7 2 4 2 0 y 7 2 4 2 5 4 函数的值域为 5 4 5 2 y x 1 2 4 3 2 2 1 1 3 1 2 1 3 2 1 又 3 2 1 1 2 2 1 7 2 2 1 1 2 7 2 2 1 当x 1 时 3 2 1 1 3 2 1 1 2 3 函数的值域为y R Ry 且y 1 2 2 3 3 该函数的分子 分母分别是关于x的二次式 因而可考虑转化为关于x的二次方程 然后利用判别 式求值域 已知函数式可变形为 4x 7 2 2 3 2 2 即 2 y 2 x 3y 7 0 2 2 当y 2 时 将上式视为关于