2013届高考数学一轮复习 第4讲 基本初等函数精品学案

1 20132013 年普通高考数学科一轮复习精品学案年普通高考数学科一轮复习精品学案 第第 4 4 讲讲 基本初等函数基本初等函数 一 课标要求一 课标要求 1 指数函数 1 通过具体实例 如细胞的分裂 考古中所用的 14C的衰减 药物在人体内残留量 的变化等 了解指数函数模型的实际背景 2 理解有理指数幂的含义 通过具体实例了解实数指数幂的意义 掌握幂的运算 3 理解指数函数的概念和意义 能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象 探索并理解指数函数的单调性与特殊点 4 在解决简单实际问题的过程中 体会指数函数是一类重要的函数模型 2 对数函数 1 理解对数的概念及其运算性质 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或 常用对数 通过阅读材料 了解对数的发现历史以及对简化运算的作用 2 通过具体实例 直观了解对数函数模型所刻画的数量关系 初步理解对数函数的 概念 体会对数函数是一类重要的函数模型 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的 图象 探索并了解对数函数的单调性与特殊点 3 知道指数函数与对数函数互为反函数 a 0 a 1 x ay xy a log 二 命题走向二 命题走向 指数函数 对数函数 幂函数是三类常见的重要函数 在历年的高考题中都占据着重 要的地位 从近几年的高考形势来看 对指数函数 对数函数 幂函数的考查 大多以基 本函数的性质为依托 结合运算推理 能运用它们的性质解决具体问题 为此 我们要熟 练掌握指数 对数运算法则 明确算理 能对常见的指数型函数 对数型函数进行变形处 理 预测 2013 年对本节的考察是 1 题型有两个选择题和一个解答题 2 题目形式多以指数函数 对数函数 幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质 同时它们与其它知识点交汇命题 则难度会加大 三 要点精讲三 要点精讲 1 指数与对数运算 1 根式的概念 定义 若一个数的次方等于 则这个数称的次方根 即若n 1 Nnna且an 则称的次方根 axn xan 1 Nnn且 1 当为奇数时 次方根记作 nna的 n a 2 当为偶数时 负数没有次方根 而正数有两个次方根且互为相反数 记nanan 作 0 aa n 性质 1 2 当为奇数时 aa nn naa nn 2 3 当为偶数时 n 0 0 aa aa aa n 2 幂的有关概念 规定 1 N N 2 naaaa n 0 1 0 aa n 个 3 Q Q 4 N N 且 p a a p p 1 maaa nm n m 0 n 1 n 性质 1 Q Q raaaa srsr 0 s 2 Q Q raaa srsr 0 s 3 Q Q rbababa rrr 0 0 注 上述性质对 r R R 均适用 s 3 对数的概念 定义 如果的b次幂等于 N 就是 那么数称以为底 1 0 aaa且Nab ba N 的对数 记作其中称对数的底 N 称真数 logbN a a 1 以 10 为底的对数称常用对数 记作 N 10 logNlg 2 以无理数为底的对数称自然对数 记作 71828 2 eeN e logNln 基本性质 1 真数 N 为正数 负数和零无对数 2 01log a 3 4 对数恒等式 1log a a Na N a log 运算性质 如果则 0 0 0 0 NMaa 1 NMMN aaa loglog log 2 NM N M aaa logloglog 3 R R nMnM a n a loglog 换底公式 0 1 0 0 0 log log log Nmmaa a N N m m a 1 2 1loglog ab ba b m n b a n am loglog 3 2 指数函数与对数函数 1 指数函数 定义 函数称指数函数 1 0 aaay x 且 1 函数的定义域为 R R 2 函数的值域为 0 3 当时函数为减函数 当时函数为增函数 10 a1 a 函数图像 1 指数函数的图象都经过点 0 1 且图象都在第一 二象限 2 指数函数都以轴为渐近线 当时 图象向左无限接近轴 当时 x10 ax1 a 图象向右无限接近轴 x 3 对于相同的 函数的图象关于轴对称 1 0 aaa且 xx ayay 与y 函数值的变化特征 2 对数函数 定义 函数称对数函数 1 0 log aaxy a 且 1 函数的定义域为 2 函数的值域为 R R 0 3 当时函数为减函数 当时函数为增函数 10 a1 a 4 对数函数与指数函数互为反函数 xy a log 1 0 aaay x 且 函数图像 1 对数函数的图象都经过点 0 1 且图象都在第一 四象限 10 a1 a 100 yx时 10 yx时 10 yx时 10 yx时 10 yx时 100 yx时 4 2 对数函数都以轴为渐近线 当时 图象向上无限接近轴 当时 y10 ay1 a 图象向下无限接近轴 y 4 对于相同的 函数的图象关于轴对称 1 0 aaa且xyxy a a1 loglog 与x 函数值的变化特征 四 典例解析四 典例解析 题型 1 指数运算 例 1 1 计算 25 0 2 1 2 1 3 2 5 0 3 2 0625 0 32 0 02 0 008 0 9 4 5 8 3 3 2 化简 53 323 3 2 3 2 3 3 2 3 1 3 4 2 24 8 aa aa a b a aabb baa 解 1 原式 4 1 3 2 2 1 3 2 10000 625 10 24 50 8 1000 9 49 27 8 9 2 2 2 9 17 2 1 10 24 25 1 25 3 7 9 4 2 原式 5 1 3 1 2 1 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 3 1 2 3 1 3 3 1 3 3 1 3 1 2 2 2 2 aa aa a ba bbaa baa 2 3 2 3 1 6 1 6 5 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2 aaaa a a ba a baa 点评 根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式 然后利用分数指数幂 的运算性质求解 对化简求值的结果 一般用分数指数幂的形式保留 一般的进行指数幂 运算时 化负指数为正指数 化根式为分数指数幂 化小数为分数运算 同时兼顾运算的 顺序 10 a1 a 01 yx时 01 yx时 010 yx时 01 yx时 01 yx时 100 yx时 5 例 2 已知 求的值 11 22 3xx 22 33 22 2 3 xx xx 解 11 22 3xx 11 2 22 9xx 1 29xx 1 7xx 1 2 49xx 22 47xx 又 3311 1 2222 1 3 7 1 18xxxxxx 22 33 22 2472 3 183 3 xx xx 点评 本题直接代入条件求解繁琐 故应先化简变形 创造条件简化运算 题型 2 对数运算 例 3 计算 1 2 2 lg2 lg2 lg50lg25 3948 log 2log 2 log 3log 3 3 1 0lg 2 1 036 0 lg 2 1 600lg 2 lg8000lg5lg 23 解 1 原式 22 lg2 1 lg5 lg2lg5 lg2lg5 1 lg22lg5 1 1 lg22lg52 lg2lg5 2 2 原式 lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3 lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg2 3lg2 5lg35 2lg3 6lg24 3 分子 3 2lg5 lg2lg35lg3 2 lg3 2lg33 5lg 2 分母 4 100 6 lg26lg 10 1 1000 36 lg 26 lg 6 原式 4 3 点评 这是一组很基本的对数运算的练习题 虽然在考试中这些运算要求并不高 但 是数式运算是学习数学的基本功 通过这样的运算练习熟练掌握运算公式 法则 以及学 习数式变换的各种技巧 例 4 设 为正数 且满足 abc 222 abc 1 求证 22 log 1 log 1 1 bcac ab 2 若 求 的值 4 log 1 1 bc a 8 2 log 3 abc abc 证明 1 左边 222 logloglog abcabcabc abc abab 2222222 2222 22 loglogloglog 21 abcaabbcabcc ababab 解 2 由得 4 log 1 1 bc a 14 bc a 30abc 由得 8 2 log 3 abc 2 3 84abc 由 得 2ba 由 得 代入得 3cab 222 abc 2 43 0aab 0a 430ab 由 解得 从而 6a 8b 10c 点评 对于含对数因式的证明和求值问题 还是以对数运算法则为主 将代数式化简 到最见形式再来处理即可 题型 3 指数 对数方程 例 5 设关于的方程R R x bb xx 024 1 1 若方程有实数解 求实数b的取值范围 2 当方程有实数解时 讨论方程实根的个数 并求出方程的解 解 1 原方程为 1 24 xx b 11 12 22 2 24 221 xxxxx 时方程有实数解 1 b当 2 当时 方程有唯一解 1 b12 x 0 x 当时 1 bbb xx 1121 12 2 7 的解为 bb xx 112 011 02 11 log2bx 令 0111011 bbb 的解为 bb x 112 01时当 11 log2bx 综合 得 1 当时原方程有两解 01 b 11 log2bx 2 当时 原方程有唯一解 10 bb或 11 log2bx 3 当时 原方程无解 1 b 点评 具有一些综合性的指数 对数问题 问题的解答涉及指数 对数函数 二次函 数 参数讨论 方程讨论等各种基本能力 这也是指数 对数问题的特点 题型非常广泛 应通过解题学习不断积累经验 例 6 2006 辽宁 文 13 方程的解为 22 log 1 2log 1 xx 解 考察对数运算 原方程变形为 即2 1 log 1 log 1 log 2 222 xxx 得 且有 从而结果为 41 2 x5 x 01 01 x x 1 x5 点评 上面两例是关于含指数式 对数式等式的形式 解题思路是转化为不含指数 对数因式的普通等式或方程的形式 再来求解 题型 4 指数函数的概念与性质 例 7 设 1 2 3 2 2 2 log 1 2 x ex f xf f xx 则的值为 A 0 B 1 C 2 D 3 解 C 1 12 log 2 2 3 f e eff 2 2 2 10 点评 利用指数函数 对数函数的概念 求解函数的值 例 8 已知 1 0 log 1 aaxxxf a 且 试求函数f x 的单调区间 解 令 tx a log 则x t R t a 所以 t aatf 即 xx aaxf x R 因为f x f x 所以f x 为偶函数 故只需讨论f x 在 0 上的单调性 任取1 x 2 x 且使21 0 xx 则 12 xfxf 1122 xxxx aaaa 21 2121 1 xx xxxx a aaa 1 当a 1 时 由21 0 xx 有 21 0 xx aa 1 21 xx a 所以 8 0 12 xfxf 即f x 在 0 上单调递增 2 当 0 a 1 时 由21 0 xx 有 21 0 xx aa 1 21 xx a 所以 0 12 xfxf 即f x 在 0 上单调递增 综合所述 0 是f x 的单调增区间 0 是f x 的单调区间 点评 求解含指数式的函数的定义域 值域 甚至是证明函数的性质都需要借助指数 函数的性质来处理 特别是分两种情况来处理 10 1 aa 题型 5 指数函数的图像与应用 例 9 若函数的图象与x轴有公共点 则 m 的取值范围是 my x 1 2 1 A m 1 B 1 m 0 C m 1 D 0 m 1 解 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 x x y x x x 画图象可知 1 m1 时 函数y logax和y 1 a x的图象只可能是 A 1o y x B 1o y x C 1o y x D 1o y x 解 当a 1 时 函数y logax的图象只能在A和C中选 又a 1 时 y 1 a x为减函数 答案 B 点评 要正确识别函数图像 一是熟悉各种基本函数的图像 二是把握图像的性质 根据图像的性质去判断 如过定点 定义域 值域 单调性 奇偶性 例 14 设A B是函数y log2x图象上两点 其横坐标分别为a和a 4 直线l x a 2 与函数y log2x图象交于点C 与直线AB交于点D 1 求点D的坐标 2 当 ABC的面积大于 1 时 求实数a的取值范围 解 1 易知D为线段AB的中点 因A a log2a B a 4 log2 a 4 所以由中点公式得D a 2 log2 4 aa 2 S ABC S梯形AA CC S梯形CC B B S梯形AA B B log2 4 2 2 aa a 其中A B C 为A B C在x轴上的射影 由 S ABC log2 1 得 0 a 2 2 4 2 2 aa a 2 点评 解题过程中用到了对数函数性质 注意底数分类来处理 根据函数的性质来处 理复杂问题 题型 8 指数函数 对数函数综合问题 例 15 在xOy平面上有一点列P1 a1 b1 P2 a2 b2 Pn an bn 对每个自然数n 点Pn位于函数y 2000 x 0 a 1 的图象上 且点Pn 点 n 0 与点 n 1 0 构成一个以 10 a 11 Pn为顶点的等腰三角形 1 求点Pn的纵坐标bn的表达式 2 若对于每个自然数n 以bn bn 1 bn 2为边长能构成一个三角形 求a的取值范围 3 设Cn lg bn n N N 若a取 2 中确定的范围内的最小整数 问数列 Cn 前多少项 的和最大 试说明理由 解 1 由题意知 an n bn 2000 2 1 10 a 2 1 n 2 函数y 2000 x 0 abn 1 bn 2 则以bn bn 1 bn 2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn 2 bn 1 bn 即 2 1 0 10 a 10 a 解得a5 1 25 5 1 a 10 5 3 5 1 a 10 a 75 bn 2000 数列 bn 是一个递减的正数数列 10 7 2 1 n 对每个自然数n 2 Bn bnBn 1 于是当bn 1 时 Bn Bn 1 当bn 1 时 Bn Bn 1 因此数列 Bn 的最大项的项数n满足不等式bn 1 且bn 1 1 由bn 2000 1 得 n 20 10 7 2 1 n n 20 点评 本题题设从函数图像入手 体现数形结合的优越性 最终还是根据函数性质结 合数列知识 以及三角形的面积解决了实际问题 例 16 已知函数为常数 1 0 log aaxaxxf a 1 求函数f x 的定义域 2 若a 2 试根据单调性定义确定函数f x 的单调性 3 若函数y f x 是增函数 求a的取值范围 解 1 由axxxax 得0 a 0 x 0 12 222 1 0 a x xax x f x 的定义域是 1 2 a x 2 若a 2 则 2 log 2 xxxf 设 则 4 1 21 xx 0 1 2 2 2 2 212121212211 xxxxxxxxxxxx 21 xfxf 故f x 为增函数 3 设1 1 21 2 21 xaxa a xx则 0 1 212121212211 xxaxxxxxxaxaxxax 2211 xaxxax f x 是增函数 f x1 f x2 即 log log 2211 xaxxax aa 联立 知a 1 a 1 点评 该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题 我们抓住对数函数的特点 结合 一般函数求定义域 单调性的解题思路 对 路 处理即可 题型 9 课标创新题 例 17 对于在区间上有意义的两个函数f x 与g x 如果对任意的 nm x nm 均有 则称f x 与g x 在上是接近的 否则称f x 与g x 在1 xgxf nm 上是非接近的 现有两个函数与 nm 3 log 1 axxf a 给定区间 1 0 1 log 2 aa ax xf a 3 2 aa 1 若与在给定区间上都有意义 求a的取值范围 1 xf 2 xf 3 2 aa 2 讨论与在给定区间上是否是接近的 1 xf 2 xf 3 2 aa 13 解 1 两个函数与在给 3 log 1 axxf a 1 0 1 log 2 aa ax xf a 定区间有意义 因为函数给定区间上单调递增 函 3 2 aaaxy3 3 2 aa 数在给定区间上恒为正数 ax y 1 3 2 aa 故有意义当且仅当 10 03 2 1 0 a aa a a 2 构造函数 3 log 21 axaxxfxfxF a 对于函数来讲 3 axaxt 显然其在上单调递减 在上单调递增 2 a 2 a 且在其定义域内一定是减函数 ty a log 由于 得10 a2220 aa 所以原函数在区间内单调递减 只需保证 3 2 aa 1 23 3log 3 1 1 4log 2 aaF aaF a a a a a aa 1 23 3 1 1 4 当时 与在区间上是接近的 12 579 0 a 1 xf 2 xf 3 2 aa 当时 与在区间上是非接近的 12 579 a 1 xf 2 xf 3 2 aa 点评 该题属于信息给予的题目 考生首先理解 接近 与 非接近 的含义 再对 含有对数式的函数的是否 接近 进行研究