二次函数培优专题训练

1 二次函数培优专题训练二次函数培优专题训练 一 实际应用专题一 实际应用专题 例题例题 1 某商品现在的售价为每件 60 元 每星期可卖出 300 件 市场调查反映 每涨价 1 元 每星 期少卖出 10 件 每降价 1 元 每星期可多卖出 20 件 已知商品的进价为每件 40 元 如何定价才 能使利润最大 例题例题 2 小华的爸爸在国际商贸城开专卖店专销某种品牌的计算器 进价 12 元 只 售价 20 元 只 为了促销 专卖店决定凡是买 10 只以上的 每多买一只 售价就降低 0 10 元 例如 某人买 20 只计算器 于是每只降价 0 10 20 10 1 元 就可以按 19 元 只的价格购买 但是最低价为 16 元 只 1 顾客一次至少买多少只 才能以最低价购买 2 写出当一次购买 x 只时 x 10 利润 y 元 与购买量 x 只 之间的函数关系式 3 星期天 小华来到专卖店勤工俭学 上午做成了两笔生意 一是向顾客甲卖了 46 只 二是向 顾客乙卖了 50 只 记账时小华发现卖 50 只反而比卖 46 只赚的钱少 为了使每次卖得越多赚钱越 多 在其他促销条件不变的情况下 最低价 16 元 只至少要提高到多少 为什么 例题例题 3 2010 恩施州 恩施州绿色 富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力 其中香菇 远销日本和韩国等地 上市时 外商李经理按市场价格 10 元 千克在我州收购了 2000 千克香菇存 放入冷库中 据预测 香菇的市场价格每天每千克将上涨 0 5 元 但冷库存放这批香菇时每天需要 支出各种费用合计 340 元 而且香菇在冷库中最多保存 110 天 同时 平均每天有 6 千克的香菇损 坏不能出售 1 若存放 x 天后 将这批香菇一次性出售 设这批香菇的销售总金额为 y 元 试写出 y 与 x 之 间的函数关系式 2 李经理想获得利润 22500 元 需将这批香菇存放多少天后出售 利润 销售总金额 收购成 本 各种费用 3 李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润 最大利润是多少 2 400 300 60 70 y 件 x 元 训练一训练一 1 某服装公司试销一种成本为每件 50 元的 T 恤衫 规定试销时的销售单价不低于成本价 又不高 于每件 70 元 试销中销售量 件 与销售单价 元 的关系可以近似的看作一次函数 如图 yx 1 求与之间的函数关系式 yx 2 设公司获得的总利润 总利润 总销售额总成本 为 P 元 求 P 与 x 之间的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范围 根据题意判断 当 x 取何值时 P 的值最大 最大值是多少 2 为了扩大内需 让惠于农民 丰富农民的业余生活 鼓励送彩电下乡 国家决定对购买彩电的 农户实行政府补贴 规定每购买一台彩电 政府补贴若干元 经调查某商场销售彩电台数 台 y 与补贴款额 元 之间大致满足如图 所示的一次函数关系 随着补贴款额的不断增大 销售xx 量也不断增加 但每台彩电的收益 元 会相应降低且与之间也大致满足如图 所示的一ZZx 次函数关系 1200 800 0 400 y 台 x 元 z 元 x 元 200 160 2000 图 图 1 在政府未出台补贴措施前 该商场销售彩电的总收益额为多少元 2 在政府补贴政策实施后 分别求出该商场销售彩电台数和每台家电的收益与政府补贴款yZ 额之间的函数关系式 x 3 要使该商场销售彩电的总收益 元 最大 政府应将每台补贴款额定为多少 并求出总wx 收益的最大值 w 3 3 2013 本溪 某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜 经销商一次性采购蔬菜的采购单价 y 元 千克 与采购量 x 千克 之间的函数关系图象如图中折线 AB BC CD 所示 不包括端点 A 1 当 100 x 200 时 直接写 y 与 x 之间的函数关系式 2 蔬菜的种植成本为 2 元 千克 某经销商一次性采购蔬菜 的采购量不超过 200 千克 当采购量是多少时 蔬菜种植基地获利最大 最大利润是多少元 3 在 2 的条件下 求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时 蔬菜种植基地能获得 418 元的 利润 例题例题 4 2013 湖北黄冈 23 12 分 某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎 每年可 在国内 国外市场上全部售完 该公司的年产量为 6 千件 若在国内市场销售 平均每件产品的利 润 y1 元 与国内销售数量 x 千件 的关系为 来源 Zxxk Com 1 1590 02 5130 26 xx y xx 若在国外销售 平均每件产品的利润 y2 元 与国外的销售数量 t 千件 的关系为 ww w zzs tep com www z z 2 若图中阴影部分的面积是 2 4 3 cm OA 2cm 求 OC 的长 6 2011 福建泉州 7 3 分 如图 直径 AB 为 6 的半圆 绕 A 点逆 时针旋转 60 此时点 B 到了点 B 则图中阴影部分的面积是 A 3 B 6 C 5 D 4 7 如图 半圆的直径 AB 10 P 为 AB 上一点 点 C D 为半圆的三等分点 则阴影部分的面积等于 8 如图 边长为 1 的菱形 ABCD 绕点 A 旋转 当 B C 两点恰好落在扇形 AEF 的弧 EF 上时 弧 BC 的长度等于 9 如图 6 中 RtABC 90ACB 30CAB 2BC 分别为边的中点 将绕点顺时针旋转到OH ABAC ABC B120 图 6 A H BO C 1 O 1 H 1 A 1 C 18 的位置 则整个旋转过程中线段所扫过部分的面积 即阴影部分面积 为 11 ABC OH A B C D 77 3 38 47 3 38 4 3 3 10 2011 贵阳 在 ABCD 中 AB 10 ABC 60 以 AB 为直径作 O 边 CD 切 O 于点 E 1 圆心 O 到 CD 的距离是 5 2 求由弧 AE 线段 AD DE 所围成的阴影部分的面 积 结果保留 和根号 11 图中的三块阴影部分由两个半径为 1 的圆及其外公切线分割而成 如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和 则这两圆的公共弦 长是 12 如图 在 Rt ABC 中 AC 4 BC 2 分别以 AC BC 为直径画半圆 则图中阴影部分的面积为 三 圆中角度计算专题三 圆中角度计算专题 1 2012 山东日照山东日照 4 分 分 如图 过 A C D 三点的圆的圆心为 E 过 B F E 三点的圆的圆心为 D 如果 A 63 那么 来 源 2 2013 贵州毕节 15 3 分 在等腰直角三角形 ABC 中 AB AC 4 点 O 为 BC 的中点 以 O 为圆心作 O 交 BC 于点 M N O 与 AB AC 相切 切点分别为 D E 则 O 的半径和 MND 的度数分别为 A 2 22 5 B 3 30 C 3 22 5 D 2 30 19 3 2013 广东珠海 17 7 分 如图 O 经过菱形 ABCD 的三个顶点 A C D 且与 AB 相切 于点 A 1 求证 BC 为 O 的切线 2 求 B 的度数 四 圆与直线相切专题四 圆与直线相切专题 1 20122012 江苏泰州江苏泰州 1212 分 分 如图 已知直线 l 与 O 相离 OA l 于点 A OA 5 OA 与 O 相交于 点 P AB 与 O 相切于点 B BP 的延长线交直线 l 于点 C 1 试判断线段 AB 与 AC 的 数量关系 并说明理由 2 若 PC 求 O 的半 径和线段 PB 的长 3 若在 O上存在点Q 使 QAC是以AC为底边的等 腰 三角形 求 O的半径r 的取值范围 2 20122012 广西来宾广西来宾 1010 分 分 如图 AB 是 O 的直径 点 C 是 O 上一 点 BAC 的平分线 AD 交 O 于点 D 过点 D 垂直于 AC 的直线交 AC 的 延长线于点 E 1 求证 DE 是 O 的切线 2 如图 AD 5 AE 4 求 O 的直径 3 20122012 广西北海广西北海 1010 分 分 如图 AB 是 O 的直径 AE 交 O 于点 E 且与 O 的切线 CD 互相垂直 垂足为 D 1 求证 EAC CAB 2 若 CD 4 AD 8 求 O 的半径 52 20 4 20122012 湖北恩施湖北恩施 1212 分 分 如图 AB 是 O 的弦 D 为 OA 半径的中点 过 D 作 CD OA 交弦 AB 于点 E 交 O 于点 F 且 CE CB 1 求证 BC 是 O 的切线 2 连接 AF BF 求 ABF 的度数 5 20122012 湖北十堰湖北十堰 1010 分 分 如图 1 O 是 ABC 的外接圆 AB 是直径 OD AC 且 CBD BAC OD 交 O 于点 E 1 求证 BD 是 O 的切线 2 若点 E 为线段 OD 的中点 证明 以 O A C E 为顶点的四边形是菱形 6 6 20122012 湖北孝感湖北孝感 1010 分 分 如图 AB 是 O 的直径 AM BN 分别与 O 相切于点 A B CD 交 AM BN 于点 D C DO 平分 ADC 1 求证 CD 是 O 的切线 2 若 AD 4 BC 9 求 O 的半径 R 7 7 20122012 广西玉林 防城港广西玉林 防城港 3 3 分 分 如图 Rt ABC 的内切圆 O 与两直角边 AB BC 分别相切与点 D E 过劣弧 DE 不包括端点 D E 上任一点 P 作 O 的切线 MN 与 AB BC 分别交于点 M N 若 O 的半径为 r 则 Rt MBN 的周长为 A r B 2 3 r C 2r D 2 5 r 8 2013 泰安 13 3 分 如图 已知 AB 是 O 的直径 AD 切 O 于点 A 点 C 是的中点 则下列结论不成立的是 A OC AE B EC BC C DAE ABE D AC OE 21 10 2013 聊城 24 分 如图 AB 是 O 的直径 AF 是 O 切线 CD 是垂直于 AB 的弦 垂足为 E 过点 C 作 DA 的平行线与 AF 相交于点 F CD BE 2 求证 1 四边形 FADC 是菱形 2 FC 是 O 的切线 11 2011 山东日照 11 4 分 已知 AC BC 于 C BC a CA b AB c 下列选项中 O 的半 径为 ba ab 的是 12 2011 山东东营 12 3 分 如图 直线 3 3 3 yx 与 x 轴 y 分别相交与 A B 两点 圆心 P 的坐标为 1 0 圆 P 与 y 轴相切 与点 O 若将圆 P 沿 x 轴向左移动 当圆 P 与该直线相交时 横坐标为整数的点 P 的个数是 A 2 B 3 C 4 D 5 五 方程在圆中运用专题五 方程在圆中运用专题 1 镇江市 如图 正方形ABCD内接于 O E为DC的中点 直线BE交 O于点F 若 O的半径为 则BF的长为 2 22 A B C D 2 2 5 56 5 54 2 2011 浙江衢州 16 4 分 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半 径r 用角尺的较短边紧靠OA 并使较长边与OA相切于点C 假设角尺 的较长边足够长 角尺的顶点B 较短边8cmAB 若读得BC长为 cma 则用含a的代数式表示r为 3 2009 河南 如图 在半径为 5 圆心角等于 45 的扇形 OAB 内部作一个正方形 CDEF 使点 C 在 OA 上 点 D E 在 OB 上 点 F 在上 则阴影部分的面积为 结果保留 4 如图 两个正方形彼此相邻且内接与圆 若小正方形的面积为 16 则该圆的半径为 cm 2 cm 5 2011 安徽芜湖 23 12 分 如图 已知直线PA交 O 于 A B 两点 AE 是 O 的直径 点 C 为 O 上一点 且 AC 平分 PAE 过 C 作CD PA 垂足为 D 1 求证 CD 为 O 的切线 2 若 DC DA 6 O 的直径为 10 求 AB 的长度 6 如图 在直角坐标系中 四边形 OABC 为正方形 顶点 A C 在在坐标轴上 以边 AB 为弦的 M 与 x 轴相切 若点 A 的坐标为 0 8 则圆心 M 的坐标为 7 如图 1 多边形 ABDEC 是由边长为 2 的等边 ABC 和矩形 BDEC 组成 O 过 A D E 三点 则 O 的半径为 第 16 题 A B O C 2 3 23 2 若多边形 ABDEC 是由等腰 ABC 和矩形 BDEC 组成 AB AC BD 2 O 过 A D E 三点 则 O 的半径为 六 圆中长度计算专题六 圆中长度计算专题 1 如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯 纸杯开口圆的直径 EF 长为 10cm 母 线 OE OF 长为 10cm 在母线 OF 上的点 A 处有一块爆米花残渣 且 FA 2cm 一只 蚂蚁从杯口的点 E 处沿圆锥表面爬行到 A 点 则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm 2 2011 山东威海 17 3 分 如图 将一个量角器与一张等腰直角三角形 ABC 纸片放置 成轴对称图形 ACB 90 CD AB 垂足为 D 半圆 量角器 的圆心与点 D 重合 没得 CE 5cm 将量角器沿 DC 方向平移 2cm 半圆 量角器 恰与 ABC 的边 AC BC 相切 如图 则 AB 的长为 cm 精确到 0 1cm 3 2010 湖北孝感 18 3 分 如图 直径分别为 CD CE 的两个半圆相切于点 C 大半圆 M 的弦 AB 与小半圆 N 相切于点 F 且 AB CD AB 4 设ACD ACE的长分 别为 x y 线段 ED 的长为 z 则 z x y 4 2011 四川广安 6 3 分 如图 l 圆柱的底面周长为 6cm AC是底面圆的 直径 高BC 6cm 点P是母线BC上一点且PC 2 3 BC 一只蚂蚁从 A 点 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P 的最短距离是 A 6 4 cm B 5cm C 3 5cm D 7cm A B C P 图 1 24 5 2011 福建福州 15 4 分 以数轴上的原点O为圆心 3为半径的扇形中 圆心角90AOB 另一个扇形是以点P为圆心 5为半径 圆心角60CPD 点P在 数轴上表示实数a 如图 5 如果两个扇形的圆弧部分 A AB和ACD 相 交 那么实数a的取值范围是 6 2011 福建泉州 17 4 分 如图 有一直径为 4 的圆形铁皮 要从 中剪出一个最大圆心角为 60 的扇形 ABC 那么剪下的扇形 ABC 阴影 部分 的面积为 用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥 该圆锥 的底面圆的半径 r 7 2011 甘肃兰州 18 4 分 已知一个半圆形工件 未搬动前如图所 示 直径平行于地面放置 搬动时为了保护圆弧部分不受损伤 先将半 圆作如图所示的无滑动翻转 使它的直径紧贴地面 再将它沿地面平移 50m 半圆的直径为 4m 则圆心 O 所经过的路线长是 m 结果用 表示 8 2011 安徽芜湖 16 5 分 如图 在正方形 ABCD 内有一折线段 其中 AE EF EF FC 并且 AE 6 EF 8 FC 10 则正方形与其外接圆之间 形成的阴影部分的面积为 9 2011 四川凉山州 26 5 分 如图 圆柱底面半径为2cm 高为9 cm 点AB 分别是圆柱两底面圆周上的点 且A B在 同一母线上 用一棉线从A顺着圆柱侧面绕 3 圈到B 求棉线最 短为 cm 10 2011 湖北荆州 14 4 分 如图 长方体的底面边长分别为 2cm 和 4cm 高为 5cm 若一只蚂蚁从 P 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点 则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm AO B PD C 图 5 60 第 17 题 O O OO l 25 11 如图 从一个直径为 4dm 的圆形铁皮中剪出一个圆心角为 60 的扇形 ABC 并将剪下来的扇形围成一个圆锥 则圆锥的底面半径为 dm 12 如图 圆内接 ABC 的外角 ACH 的平分线与圆交于D 点 DP AC 垂足是 P DH BH 垂足是 H 下列结论 CH CP AD DB AP BH DH 为圆的 切线 其中一定成 立的是 A B C D 13 2013 许昌一模 已知 如图 在 ABC 中 AB AC 以 AB 为直径的半圆 O 交 BC 于 D AC 于 E 连接 AD BE 交于点 M 过点 D 作 DF AC 于 F DH AB 于 H 交 BE 于 G 下列结论 BD CD DF 是 O 的切线 DAC BDH DG BM 成立的个数 2 1 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 七 圆中动态问题专题七 圆中动态问题专题 1 2012 聊城 如图 O 是 ABC 的外接圆 AB AC 10 BC 12 P 是上的一个动点 过点 P 作 BC 的平行线交 AB 的延长线于点 D 1 当点 P 在什么位置时 DP 是 O 的切线 请说明理由 2 当 DP 为 O 的切线时 求线段 DP 的长 2 2012 兰州 如图 AB 是 O 的直径 弦 BC 2cm F 是弦 BC 的中点 ABC 60 若动点 E 以 2cm s 的速度从 A 点出发沿着 A B A 方向运动 设运动时间为 t s 0 t 3 连接 EF 当 BEF 是直角三角形时 t s 的值为 26 A B 1 C 或 1 D 或 4 7 4 7 4 7 4 9 3 2012 兰州 如图 已知 O 是以坐标原点 O 为圆心 1 为半径的圆 AOB 45 点 P 在 x 轴上运动 若过点 P 且与 OA 平行的直线与 O 有公共点 设 P x 0 则 x 的取值范围是 4 如图 MN 是半径为 1 的 O 的直径 点 A 在 O 上 AMN 30 B 为 AN 弧的中点 点 P 是直径 MN 上一个动点 则 PA PB 的最小值为 5 2012 湖北天门 仙桃 潜江 江汉油田湖北天门 仙桃 潜江 江汉油田 3 分 分 平面直角坐 标系中 M 的圆心坐标为 0 2 半径为 1 点 N 在 x 轴的 正半轴上 如果以点 N 为圆心 半径为 4 的 N 与 M 相切 则 圆心 N 的坐标为 6 8 分 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AC 6 BC 8 P 为 BC 的中点 动点 Q 从点 P 出发 沿射线 PC 方向以 2 s 的速度运动 以 P 为圆心 PQ 长为半径作圆 设点 Q 运动的时间为 t s 已知 O 为 ABC 的外接圆 若 P 与 O 相切 求 t 的值 7 如图 P 为正比例函数图像上的一个动点 P 的半径为 3 xy 2 3 设点 P 的坐标为 x y 1 求 P 与直线 x 2 相切时点 P 的坐标 2 请直接写出 P 与直线 x 2 相交 相离时 x 的取值范围 8 如图所示 圆 O 的直径 AB 4 点 P 是 AB 延长线上的一点 过 点 P 作圆 O 的切线 切点为 C 连接 AC A BCPQ O 第 26 题 27 1 若角 CPA 30 求 PC 的长 2 若点 P 在 AB 的延长线上运动 角 CPA 的平分线交 AC 于点 M 你认为角 CMP 的大小是否 发生变化 若变化 请说明理由 若不变化 求出角 CMP 的大小 9 如图所示 点 A B 在直线 MN 上 AB 11cm A B 的半径均为 1cm A 以 2cm s 的速度自左向右运动 与此同时 B 的半径也不断增大 其半径 r cm 与 时间 t 秒 之间的关系式为 r 1 t t 0 1 试写出点 A B 之间的距离 d cm 与时间 t s 之间的函数表达式 2 问点 A 出发后多少秒两圆相切 10 等腰直角 ABC 和 O 如图放置 已知 AB BC 1 ABC 90 O 的半径为 1 圆心 O 与 直线 AB 的距离为 5 现两个图形同时向右移动 ABC 的速度为每秒 2 个单位 O 的速度为每 秒 1 个单位 同时 ABC 的边长 AB BC 又以每秒 0 5 个单位沿 BA BC 方向增大 1 ABC 的边与圆第一次相切时 点 B 运动了多少距离 2 从 ABC 的边与圆第一次相切到最后一次相切 共经过多少时间 3 是否存在某一时刻 ABC 与 O 的公共部分等于 O 的面积 若存在 求出恰好符合条件 时两个图形各运动了多少时间 若不存在 请说明理由 11 如图 4 所示 直线与线段为直径的圆相切CDAB 于点 并交的延长线于点 且 DBAC2AB 点在切线上移动 当的度数最大时 1AD PCDAPB 则的度数为 ABP A B C D 15306090 12 如图 7 所示 已知A点从点 出发 以每 秒 个单位长的速度沿着x轴的正方向运动 经过t秒后 以O A为顶点作菱形OABC 使B C点都在第一象 限内 且 0 60AOC 又以P 为圆心 PC为半 径的圆恰好与OA所在直线相切 则t 13 如图 形如量角器的半圆 O 的直径 DE 12cm 形如三角板 的 ABC 中 ACB 90 ABC 30 BC 12cm 半圆 O 1A B C P y x 图 7 P 图 4 O A C D B 28 O 以 1cm s 的速度从左向右运动 在运动过程中 点 D E 始终在直线 BC 上 设运动时间为 t s 当 t