二次根式的运算知识点及经典试题讲义

知识点与讲义知识点与讲义 1 1 二次根式的运算知识点及经典试题 知识点一 二次根式的乘法法则 法则 即两个二次根式相乘 根指数不变 即两个二次根式相乘 根指数不变 abba 0 a0 b 只把被开方数相乘只把被开方数相乘 要点诠释 1 1 在运用二次根式的乘法法则进行运算时 一定要注意 公式中 在运用二次根式的乘法法则进行运算时 一定要注意 公式中 a a b b 都必须是非负数 都必须是非负数 2 2 该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算 该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算 3 3 若二次根式相乘的结果能化简必须化简 如 若二次根式相乘的结果能化简必须化简 如 416 知识点二 积的算术平方根的性质 即积的算术平方根等于积中各因式 即积的算术平方根等于积中各因式baab 0 a0 b 的算术平方根的积的算术平方根的积 要点诠释 1 1 在这个性质中 在这个性质中 a a b b 可以是数 也可以是代数式 无论是数 还是代数式 都必须满足可以是数 也可以是代数式 无论是数 还是代数式 都必须满足 0 a 才能用此式进行计算或化简 如果不满足这个条件 等式右边就没有意义 等式也就不能成立了 才能用此式进行计算或化简 如果不满足这个条件 等式右边就没有意义 等式也就不能成立了 0 b 2 2 二次根式的化简关键是将被开方数分解因数 把含有二次根式的化简关键是将被开方数分解因数 把含有形式的形式的移到根号外面移到根号外面 2 aa 3 3 作用 作用 积的算术平方根的性质对二次根式化简二次根式化简 4 步骤 对被开方数分解因数或分解因式 结果写成平方因式乘以非平方因式即 被开方数分解因数或分解因式 结果写成平方因式乘以非平方因式即 2 利用利用积的算术平方根的性质 baab 0 a0 b 利用利用 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 即 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 即 0 0 2 aa aa aa 被开方数中的一些因式移到根号外 被开方数中的一些因式移到根号外 5 5 被开方数是整数或整式可用 被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简二次根式化简 知识点三 二次根式的除法法则 法则 即两个二次根式相除 根指数不变 把被开 即两个二次根式相除 根指数不变 把被开 b a b a 0 a0 b 方数相除方数相除 要点诠释 1 在进行二次根式的除法运算时 对于公式中被开方数在进行二次根式的除法运算时 对于公式中被开方数 a a b b 的取值范围应特别注意 其中的取值范围应特别注意 其中 0 a 因为 因为 b b 在分母上 故在分母上 故 b b 不能为不能为 0 0 0 b 2 2 运用二次根式的除法法则 可将分母中的根号去掉 二次根式的运算结果要尽量化简 最后结果运用二次根式的除法法则 可将分母中的根号去掉 二次根式的运算结果要尽量化简 最后结果 中分母不能带根号中分母不能带根号 知识点四 知识点与讲义知识点与讲义 2 2 商的算术平方根的性质 即商的算术平方根等于被除式的算术平方 即商的算术平方根等于被除式的算术平方 b a b a 0 a0 b 根除以除式的算术平方根根除以除式的算术平方根 要点诠释 1 利用 运用次性质也可以进行二次根式的化简 运用时仍要注意符号问题利用 运用次性质也可以进行二次根式的化简 运用时仍要注意符号问题 对对 于公式中被开方数于公式中被开方数 a a b b 的取值范围应特别注意 其中的取值范围应特别注意 其中 因为 因为 b b 在分母上 故在分母上 故 b b 不能为不能为 0 0 0 a0 b 2 2 步骤 利用利用商的算术平方根的性质 b a b a 0 a0 b 分别对分别对 利用利用积的算术平方根的性质化简化简 a b 分母不能有根号 如果分母有根号要分母不能有根号 如果分母有根号要分母有理化 即 aa 2 0 a 3 被开方数是分数或分式可用被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简二次根式化简 知识点五 最简二次根式 1 1 定义 当二次根式满足以下两条 定义 当二次根式满足以下两条 1 1 被开方数不含分母 被开方数不含分母 2 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 把符合这两个条件的二次根式 叫做最简二次根式把符合这两个条件的二次根式 叫做最简二次根式 在二次根式的运算中 最后的结果必须化为最在二次根式的运算中 最后的结果必须化为最 简二次根式或有理式简二次根式或有理式 要点诠释 1 1 最简二次根式中被开方数不含分母 最简二次根式中被开方数不含分母 2 2 最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数 2 2 即每个因数或因式从次数只 即每个因数或因式从次数只 能为能为 1 1 次次 2 2 把二次根式化成最简二次根式的一般步骤 把二次根式化成最简二次根式的一般步骤 1 1 把根号下的带分数或绝对值大于把根号下的带分数或绝对值大于 1 1 的数化成假分数 把绝对值小于的数化成假分数 把绝对值小于 1 1 的小数化成分数 的小数化成分数 2 2 被开方数是多项式的要进行因式分解 被开方数是多项式的要进行因式分解 3 3 使被开方数不含分母 使被开方数不含分母 4 4 将被开方数中能开得尽方的因数或因式 用它们的算术平方根代替后移到根号外 将被开方数中能开得尽方的因数或因式 用它们的算术平方根代替后移到根号外 5 5 化去分母中的根号 化去分母中的根号 6 6 约分约分 3 3 把一个二次根式化简 应根据被开方数的不同形式 采取不同的变形方法把一个二次根式化简 应根据被开方数的不同形式 采取不同的变形方法 实际上只是做两件事 实际上只是做两件事 一是化去被开方数中的分母或小数 二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式一是化去被开方数中的分母或小数 二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 知识点六 同类二次根式 1 1 定义 几个二次根式化成最简二次根式后 如果被开方数相同 那么这几个二次根式就叫做同类定义 几个二次根式化成最简二次根式后 如果被开方数相同 那么这几个二次根式就叫做同类 二次根式二次根式 要点诠释 1 1 判断几个二次根式是否是同类二次根式 必须先将二次根式化成最简二次根式 再看被开方数是判断几个二次根式是否是同类二次根式 必须先将二次根式化成最简二次根式 再看被开方数是 否相同 否相同 2 2 几个二次根式是否是同类二次根式 只与被开方数及根指数有关 而与根号外的因式无关几个二次根式是否是同类二次根式 只与被开方数及根指数有关 而与根号外的因式无关 2 2 合并同类二次根式合并同类二次根式 合并同类二次根式 只把系数相加减 根指数和被开方数不变合并同类二次根式 只把系数相加减 根指数和被开方数不变 合并同类二次根式的方法与整式加减运合并同类二次根式的方法与整式加减运 算中的合并同类项类似算中的合并同类项类似 要点诠释 1 1 根号外面的因式就是这个根式的系数 根号外面的因式就是这个根式的系数 2 2 二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式 二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式 3 3 不是同类二次根式 不能合并不是同类二次根式 不能合并 知识点与讲义知识点与讲义 3 3 知识点七 二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式 即先把各个二次根式化成最简二次根式 再把其中的二次根式的加减实质就是合并同类二次根式 即先把各个二次根式化成最简二次根式 再把其中的 同类二次根式进行合并同类二次根式进行合并 对于没有合并的二次根式 仍要写到结果中对于没有合并的二次根式 仍要写到结果中 在进行二次根式的加减运算时 整式加减运算中的交换律 结合律及去括号 添括号法则仍然适用在进行二次根式的加减运算时 整式加减运算中的交换律 结合律及去括号 添括号法则仍然适用 二次根式加减运算的步骤 二次根式加减运算的步骤 1 1 将每个二次根式都化简成为最简二次根式 将每个二次根式都化简成为最简二次根式 2 2 判断哪些二次根式是同类二次根式 把同类的二判断哪些二次根式是同类二次根式 把同类的二 次根式结合为一组 次根式结合为一组 3 3 合并同类二次根式合并同类二次根式 知识点八 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用 要点诠释 1 1 二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样 先乘方 后乘除 最后算加减 有括号要二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样 先乘方 后乘除 最后算加减 有括号要 先算括号里面的 先算括号里面的 2 2 在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用 在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用 3 3 二次根式混合运算的结果应写成最简形式 这个形式应是最简二次根式 或几个非同类最简二二次根式混合运算的结果应写成最简形式 这个形式应是最简二次根式 或几个非同类最简二 次次 式之和或差 或是有理式之和或差 或是有理 式式 规律方法指导 二次根式的运算 主要研究二次根式的乘除和加减二次根式的运算 主要研究二次根式的乘除和加减 1 1 二次根式的乘除 只需将被开方数进行乘除 其依据是 二次根式的乘除 只需将被开方数进行乘除 其依据是 2 2 二次根式的加减类似于整式的加减 关键是合并同类二次根式二次根式的加减类似于整式的加减 关键是合并同类二次根式 通常应先将二次根式化简 再把通常应先将二次根式化简 再把 同类二次根式合并同类二次根式合并 二次根式运算的结果应尽可能化简二次根式运算的结果应尽可能化简 经典例题透析 类型一 二次根式的乘除运算 1 1 计算 计算 1 1 2 2 3 3 4 4 解 1 1 2 2 3 3 9 9 4 4 2 2 计算 计算 1 1 2 2 3 3 4 4 知识点与讲义知识点与讲义 4 4 思路点拨 直接利用 直接利用便可直接得出答案 便可直接得出答案 解 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 4 4 2 2 3 3 化简 化简 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 思路点拨 利用利用直接化简即可 直接化简即可 解 1 1 3 4 12 3 4 12 2 2 4 9 36 4 9 36 3 3 9 10 90 9 10 90 4 4 3xy 3xy 5 5 3 3 举一反三 变式变式 1 1 判断下列各式是否正确 不正确的请予以改正 判断下列各式是否正确 不正确的请予以改正 1 1 2 2 4 4 4 4 4 4 8 8 解 1 1 不正确 不正确 改正 改正 2 3 6 2 3 6 2 2 不正确改正 不正确改正 4 4 4 4 化简 化简 1 1 2 2 3 3 4 4 知识点与讲义知识点与讲义 5 5 思路点拨 直接利用直接利用就可以达到化简之目的 就可以达到化简之目的 解 1 1 2 2 3 3 4 4 举一反三 变式变式 1 1 已知已知 且 且 x x 为偶数 求为偶数 求 1 x 1 x 的值 的值 思路点拨 式子式子 只有 只有 a 0a 0 b b 0 0 时才能成立 时才能成立 因此得到因此得到 9 x 09 x 0 且且 x 6x 6 0 0 即 即 6 6 x 9x 9 又因为 又因为 x x 为偶数 所以为偶数 所以 x 8x 8 解 由题意得由题意得 即 即 6 6 x 9x 9 x x 为偶数 为偶数 x 8 x 8 原式原式 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 当当 x 8x 8 时 原式的值时 原式的值 6 6 5 5 计算 计算 1 1 m m 0 0 n n 0 0 2 3 2 3 a a 0 0 解 1 1 原式原式 2 2 原式原式 2 2 2 2 a a 类型二 最简二次根式的判别 6 6 下列各式中 哪些是最简二次根式 哪些不是 请说明理由 下列各式中 哪些是最简二次根式 哪些不是 请说明理由 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 思路点拨 判断一个二次根式是不是最简二次根式 就看它是否满足最简二次根式的两个条件 判断一个二次根式是不是最简二次根式 就看它是否满足最简二次根式的两个条件 1 1 知识点与讲义知识点与讲义 6 6 被开方数不含分母 被开方数不含分母 2 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 不满足其中任何一条的二次根式都不被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 不满足其中任何一条的二次根式都不 是最简二次根式是最简二次根式 解 和和都是最简二次根式 其余的都不是 理由如下 都是最简二次根式 其余的都不是 理由如下 的被开方数是小数 能写成分数 含有分母 的被开方数是小数 能写成分数 含有分母 和和的被开方数中都含有分母 的被开方数中都含有分母 和和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式 总结升华 对于最简二次根式的判断 一定要把握其实质 既要注意其中的对于最简二次根式的判断 一定要把握其实质 既要注意其中的 似是而非似是而非 还要注 还要注 意其中的意其中的 似非而是似非而是 特别象 特别象这样的式子 带有很大的隐蔽性 更应格外小心这样的式子 带有很大的隐蔽性 更应格外小心 7 7 把下列各式化成最简二次根式 把下列各式化成最简二次根式 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 思路点拨 把被开方数分解因数或分解因式 再利用积的算术平方根的性质及把被开方数分解因数或分解因式 再利用积的算术平方根的性质及进行进行 化简化简 解 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 类型三 同类二次根式 8 8 如果两个最简二次根式 如果两个最简二次根式和和是同类二次根式 那么是同类二次根式 那么 a a b b 的值是的值是 A a 2A a 2 b 1b 1 B a 1B a 1 b 2b 2 C a 1C a 1 b 1b 1 D a 1D a 1 b 1b 1 思路点拨 根据同类二次根式的识别方法 在最简二次根式的前提下 被开方数相同根据同类二次根式的识别方法 在最简二次根式的前提下 被开方数相同 解 根据题意 得根据题意 得 知识点与讲义知识点与讲义 7 7 解之 得解之 得 故选 故选 D D 总结升华 同类二次根式必须满足两个条件 同类二次根式必须满足两个条件 1 1 根指数是根指数是 2 2 2 2 被开方数相同 由此可以得到关于被开方数相同 由此可以得到关于 a a b b 的二元一次方程组 此类问题都可如此的二元一次方程组 此类问题都可如此 举一反三 变式变式 1 1 下列根式中 能够与下列根式中 能够与合并的是合并的是 A A B B C C D D 思路点拨 首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式 然后比较它们的被开方数是否相同 首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式 然后比较它们的被开方数是否相同 如果相同 就能进行合并 反之 则不能合并如果相同 就能进行合并 反之 则不能合并 解 合并 故选合并 故选 B B 总结升华 同类二次根式的判断 关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式同类二次根式的判断 关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式 变式变式 2 2 若最简根式若最简根式与根式与根式是同类二次根式 求是同类二次根式 求 a a b b 的值 的值 思路点拨 同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后 被开方数相同 同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后 被开方数相同 事实上 根式事实上 根式不是最简二次根式 因此把不是最简二次根式 因此把化简成化简成 b b 才由同类二次根式的定义得 才由同类二次根式的定义得 3a b 23a b 2 2a b 6 4a 3b2a b 6 4a 3b 解 首先把根式首先把根式化为最简二次根式 化为最简二次根式 b b 由题意得由题意得 a 1 a 1 b 1 b 1 类型四 二次根式的加减运算 9 9 计算 计算 1 1 2 2 思路点拨 第一步 将不是最简二次根式的项化为最简二次根式 第二步 将相同的最简二次根式 第一步 将不是最简二次根式的项化为最简二次根式 第二步 将相同的最简二次根式 进行合并 进行合并 解 1 1 2 2 3 3 2 3 2 3 5 5 2 2 4 4 8 8 4 8 4 8 4 4 总结升华 一定要注意二次根式的加减要做到先化简 再合并一定要注意二次根式的加减要做到先化简 再合并 举一反三 变式变式 1 1 计算计算 1 3 1 3 9 9 3 3 2 2 知识点与讲义知识点与讲义 8 8 3 3 4 4 解 1 3 1 3 9 9 3 3 12 12 3 3 6 6 12 3 6 12 3 6 15 15 2 2 4 4 2 2 2 2 6 6 3 3 4 4 变式变式 2 2 已知已知 2 236 2 236 求 求 的值 的值 结果精确到结果精确到 0 01 0 01 解 原式原式 4 4 2 236 0 45 2 236 0 45 类型五 二次根式的混合运算 1010 计算 计算 1 1 2 4 2 4 3 3 2 2 思路点拨 二次根式仍然满足整式的运算规律 二次根式仍然满足整式的运算规律 所以直接可用整式的运算规律 所以直接可用整式的运算规律 解 1 1 3 3 2 2 2 4 2 4 3 3 2 2 4 4 2 2 3 3 2 2 2 2 1111 计算 计算 1 1 6 3 6 3 2 2 3 3 20002001 3232 A 思路点拨 二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立 二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立 解 1 1 6 3 6 3 3 3 2 2 18 6 18 6 13 3 13 3 知识点与讲义知识点与讲义 9 9 2 2 2 2 2 2 10 7 3 10 7 3 3 3 略 略 类型六 化简求值 1212 已知 已知 4x4x2 2 y y2 2 4x 6y 10 0 4x 6y 10 0 求 求 y y2 2 x x2 2 5x 5x 的值 的值 思路点拨 本题首先将已知等式进行变形 把它配成完全平方式 得本题首先将已知等式进行变形 把它配成完全平方式 得 2x 1 2x 1 2 2 y 3 y 3 2 2 0 0 即 即 x x y 3y 3 其次 根据二次根式的加减运算 先把各项化成最简二次根式 其次 根据二次根式的加减运算 先把各项化成最简二次根式 再合并同类二次根式 最再合并同类二次根式 最 后代入求值 后代入求值 解 4x4x2 2 y y2 2 4x 6y 10 0 4x 6y 10 0 4x4x2 2 4x 1 y 4x 1 y2 2 6y 9 0 6y 9 0 2x 1 2x 1 2 2 y 3 y 3 2 2 0 0 x x y 3y 3 原式原式 y y2 2 x x2 2 5x 5x 2x 2x x x 5 5 x x 6 6 当当 x x y 3y 3 时 原式时 原式 6 6 3 3 举一反三 变式变式 1 1 先化简 再求值 先化简 再求值 6x 6x 4y 4y 其中 其中 x x y 27y 27 解 原式原式 6 6 3 3 4 4 6 6 6 3 4 6 6 3 4 6 当当 x x y 27y 27 时 原式时 原式 变式变式 2 2 已知已知 x x 2 1 1 求 求 22 1 21 xx xxxx 1 x 的值 的值 类型七 二次根式的应用与探究 1313 一个底面为 一个底面为 30cm 30cm30cm 30cm 长方体玻璃容器中装满水 长方体玻璃容器中装满水 现将一部分水倒入一个底面为正方形 高现将一部分水倒入一个底面为正方形 高 为为 10cm10cm 铁桶中 当铁桶装满水时 容器中的水面下降了铁桶中 当铁桶装满水时 容器中的水面下降了 20cm20cm 铁桶的底面边长是多少厘米 铁桶的底面边长是多少厘米 知识点与讲义知识点与讲义 1010 解 设底面正方形铁桶的底面边长为设底面正方形铁桶的底面边长为 x x 则则 x x2 2 10 30 30 20 10 30 30 20 x x2 2 30 30 2 30 30 2 x x 30 30 答 铁桶的底面边长是答 铁桶的底面边长是 3030厘米厘米 1414 如图所示的 如图所示的 Rt ABCRt ABC 中 中 B 90 B 90 点 点 P P 从点从点 B B 开始沿开始沿 BABA 边以边以 1 1 厘米厘米 秒的速度秒的速度 向点向点 A A 移动 同时 点移动 同时 点 Q Q 也从点也从点 B B 开始沿开始沿 BCBC 边以边以 2 2 厘米厘米 秒的速度向点秒的速度向点 C C 移动 问 移动 问 几秒后几秒后 PBQ PBQ 的面积为的面积为 3535 平方厘米 平方厘米 PQPQ 的距离是多少厘米 的距离是多少厘米 结果用最简二次根式表结果用最简二次根式表 示示 1515 探究过程 观察下列各式及其验证过程 探究过程 观察下列各式及其验证过程 1 2 1 2 验证 验证 2 2 2 3 2 3 验证 验证 3 3 同理可得 同理可得 4 4 5 5 通过上述探究你能猜测出 通过上述探究你能猜测出 a a a a 0 0 并验证你的结论 并验证你的结论 知识点与讲义知识点与讲义 1111 解 a a 验证 验证 a a 总结升华 解答此类问题的特点是根据题目给出的条件 寻找内在联系和一般规律 然后猜想所求解答此类问题的特点是根据题目给出的条件 寻找内在联系和一般规律 然后猜想所求 问题的结果 有利于提高综合分析能力问题的结果 有利于提高综合分析能力 变式变式 1 1 对于题目对于题目 化简求值 化简求值 1 a 2 2 1 2a a 其中 其中 a a 1 5 甲 乙两个学生的解答不同 甲 乙两个学生的解答不同 甲的解答是 甲的解答是 1 a 2 2 1 2a a 1 a 2 1 a a 1 a 1 a a a 249 5 a a 乙的解答是 乙的解答是 1 a 2 2 1 2a a 1 a 2 1 a a 1 a a a 1 a a a 1 5 谁的解答是错误的 为什么 谁的解答是错误的 为什么 跟踪练习跟踪练习 21 1 二次根式 1 1 使式子使式子有意义的条件是有意义的条件是 2 2 当当时 时 4x 有意义 有意义 21 2xx 3 3 若若有意义 则有意义 则的取值范围是的取值范围是 4 4 当当时 时 是二是二 1 1 m m m x 2 1x 次根式 次根式 5 5 在实数范围内分解因式 在实数范围内分解因式 42 9 2 22 xxx 6 6 若若 则 则的取值范围是的取值范围是 7 7 已知已知 则 则的取值范的取值范 2 42xx x 2 22xx x 围是围是 8 8 化简 化简 的结果是的结果是 9 9 当当时 时 2 211xxx 15x 2 15 xx 10 10 把把的根号外的因式移到根号内等于的根号外的因式移到根号内等于 11 11 使等式使等式成成 1 a a 1111xxxx A 立的条件是立的条件是 12 12 若若与与互为相反数 则互为相反数 则 1ab 24ab 2005 ab 知识点与讲义知识点与讲义 1212 13 13 在式子在式子中 二次根式有 中 二次根式有 23 0 2 12 20 3 1 2 x xyyx xxxy A A 2 2 个个 B B 3 3 个个 C C 4 4 个个 D D 5 5 个个 14 14 下列各式一定是二次根式的是 下列各式一定是二次根式的是 A A B B C C D D 7 3 2m 2 1a a b 15 15 若若 则 则等于 等于 A A B B C C 23a 22 23aa 52a 1 2a 25a D D 21a 16 16 若若 则 则 A A B B C C 4 2 4Aa A 2 4a 2 2a 2 2 2a D D 2 2 4a 17 17 若若 则 则化简后为 化简后为 1a 3 1 a A A B B C C D D 11aa 11aa 11aa 11aa 18 18 能使等式能使等式成立的成立的的取值范围是 的取值范围是 A A B B C C 22 xx xx x2x 0 x 2x D D 2x 19 19 计算 计算 的值是 的值是 A A 0 0 B B C C D D 22 211 2aa 42a 24a 或或24a 42a 20 20 下面的推导中开始出错的步骤是 下面的推导中开始出错的步骤是 2 2 2 323121 2 323122 2 32 33 224 A A B B C C D D 1 2 3 4 21 21 若若 求 求的值 的值 2 440 xyyy xy 知识点与讲义知识点与讲义 1313 22 22 当当取什么值时 代数式取什么值时 代数式取值最小 并求出这个最小值 取值最小 并求出这个最小值 a21 1a 23 23 化简 化简 1 1 2 2 3 3 4 4 2 27 70 00 02 20 02 2 1 16 62 2 1 16 6 8 81 1 8 8a a2 2b b c c2 2 5 5 6 6 7 7 8 8 2 20 0 5 5 1 1 4 4 3 32 2a a3 3b b4 4 a a4 4 a a2 2b b2 2 z z2 2 5 54 4x x2 2y y 21 2 二次根式的乘除 1 1 当当 时 时 2 2 若若和和都是最简二次根式 则都是最简二次根式 则0a 0b 3 ab 2 2m n 322 3 mn mn 3 3 计算 计算 4 4 计算 计算 23 36 9 483 273 5 5 长方形的宽为长方形的宽为 面积为 面积为 则长方形的长约为 则长方形的长约为 精确到 精确到 0 010 01 6 6 下列各式不是最下列各式不是最32 6 简二次根式的是 简二次根式的是 A A B B C C D D 2 1a 21x 2 4 b 0 1y 7 7 已知已知 化简二次根式 化简二次根式的正确结果为 的正确结果为 A A B B C C 0 xy 2 y x x yy y D D y 知识点与讲义知识点与讲义 1414 8 8 对于所有实数对于所有实数 下列等式总能成立的是 下列等式总能成立的是 a b A A B B C C D D 2 abab 22 abab 2 2222 abab 2 abab 9 9 和和的大小关系是 的大小关系是 2 3 3 2 A A B B C C D D 不能确定不能确定2 33 2 2 33 2 2 33 2 10 10 对于二次根式对于二次根式 以下说法中不正确的是 以下说法中不正确的是 2 9x A A 它是一个非负数它是一个非负数 B B 它是一个无理数它是一个无理数 C C 它是最简二次根式它是最简二次根式 D D 它的最小它的最小 值为值为 3 3 11 11 计算 计算 1 23 2 3 2 53xx 3 3 540 0aba bab 36 4 0 0a bab ab 212 5 121 335 53 23 6 3 2 b aba b ba 12 12 化简 化简 35 1 0 0a bab 2 xy xy 32 1 3 aa a 知识点与讲义知识点与讲义 1515 13 13 把根号外的因式移到根号内 把根号外的因式移到根号内 1 1 5 5 1 2 1 1 x x 21 3 二次根