【考前30天】2012年高考数学考前30天三轮专题提分必练绝密十一（湖南文科专用）

1 专专题题限时集训限时集训 十一十一 第第 1111 讲讲 推理与证明推理与证明 时间 10 分钟 35 分钟 2012 二轮精品提分必练 A n B 2 n n 1 C D n 1 2 2 2n 1 4 有一个奇数列 1 3 5 7 9 现进行如下分组 第 1 组含有一个数 1 第二组含 有两个数 3 5 第三组含有三个数 7 9 11 则第n组内各数之和为 A n2 B n3 C n4 D n n 1 2012 二轮精品提分必练 1 类比平面内正三角形的 三边相等 三内角相等 的性质 可推知正四面体的下列 一些性质 你认为比较恰当的是 各棱长相等 同一顶点上的任两条棱的夹角相等 各个面是全等的正三角形 相邻 两个面所成的二面角相等 各个面都是全等的正三角形 同一顶点的任何两条棱的夹角都 相等 A B C D 2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图 11 1 的规律拼成若干个图案 则第n个图 案中有白色地面砖的块数是 2012 二轮精品提分必练 图 11 1 A 4n 2 B 4n 2 C 2n 4 D 3n 3 3 把正整数按一定的规则排成了如图 11 2 所示的三角形数表 设aij i j N N 是位 于这个三角形数表中从上往下数第i行 从左往右数第j个数 如a42 8 若aij 2011 则 i与j的和为 1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 图 11 2 A 105 B 106 C 107 D 108 4 集合 1 2 3 n n 3 中 每两个相异数作乘积 所有这些乘积的和记为Tn 如 T3 1 2 1 3 2 3 62 12 22 32 11 1 2 T4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 102 12 22 32 42 35 1 2 T5 1 2 1 3 1 4 1 5 4 5 2 152 12 22 32 42 52 85 1 2 则T7 写出计算结果 5 若三角形的内切圆半径为r 三边的长分别为a b c 则三角形的面积 S r a b c 根据类比思想 若四面体的内切球半径为R 四个面的面积分别为 1 2 S1 S2 S3 S4 则此四面体的体积V 6 已知命题 若数列 an 为等差数列 且am a an b m n m n N N 则am n 现已知等比数列 bn bn 0 n N N bm a bn b m n m n N N 若类比上述 bn am n m 结论 则可得到bm n 7 在数列 an 中 a1 3 an an 1 2n 1 n 2 且n N N 1 求a2 a3的值 2 证明 数列 an n 是等比数列 并求 an 的通项公式 3 求数列 an 的前n项和Sn 8 已知函数f x x3 g x x x 1 求函数h x f x g x 的零点个数 并说明理由 2 设数列 an n N N 满足a1 a a 0 f an 1 g an 证明 存在常数M 使得对 于任意的n N N 都有an M 3 专题限时集训 十一 基础演练 1 A 解析 y ax是增函数这个大前提是错误的 从而导致结论错 2 B 解析 用反证法证明命题应先否定结论 故选 B 3 A 解析 由 n 1 an nan 1知 an 1 an n 1 n 将这n 1 个式子相乘 得到an n 故 a2 a1 2 1 a3 a2 3 2 a4 a3 4 3 an an 1 n n 1 选 A 4 B 解析 第 1 组中含有 1 个数 1 13 第 2 组中和为 3 5 8 23 第 3 组中和 为 7 9 11 27 33 由此归纳第n组内各数之和为n3 选 B 提升训练 1 C 解析 由合情推理可知 全部正确 2 A 解析 观察可知除第一个以外 每增加一个黑色地面砖 相应的白地面砖就 增加四个 因此第n个图案中有白色地面砖的块数是一个 以 6 为首项 公差是 4 的等差数 列的第n项 或由图可知 当n 1 时 a1 6 当n 2 时 a2 10 当n 3 a3 14 由此推测 第n个图案中有白色地面砖的块数是 an 4n 2 3 D 解析 由三角形数表可以看出其奇数行有奇数列 偶数行有偶数列 2011 2 1006 1 所以 2011 为第 1006 个奇数 又前 31 个奇数行内数的个数的和为 4 961 前 32 个奇数行内数的个数的和为 1024 故 2011 在第 32 个奇数行内 所以i 63 因 为第 63 行的第一个数为 2 962 1 1923 2011 1923 2 j 1 所以j 45 所以 i j 108 4 322 解析 T7 1 2 7 2 12 22 72 322 1 2 5 R S1 S2 S3 S4 解析 设四面体的内切球的球心为O 则球心O到四个面的 1 3 距离都是R 所以四面体的体积等于以O为顶点 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的 和 6 解析 等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am 等差数列 n m bn am 中的bn am可以类比等比数列中的 等差数列中的可以类比等比数列中的 bn am bn am n m n m bn am 故bm n n m bn am 7 解答 1 a1 3 an an 1 2n 1 n 2 n N N a2 a1 4 1 6 a3 a2 6 1 1 2 1 数列 an n an 1 n 1 an 1 2n 1 n an 1 n 1 an 1 n 1 an 1 n 1 an n 是首项为a1 1 4 公比为 1 的等比数列 an n 4 1 n 1 即 an 4 1 n 1 n an 的通项公式为an 4 1 n 1 n n N N 3 an 的通项公式为an 4 1 n 1 n n N N 所以Sn ak 4 1 k 1 k 4 1 k 1 k n k 1 n k 1 n k 1 n k 1 4 1 1 n 1 1 n n 1 2 2 1 1 n n2 n 1 2 2 1 n n2 n 4 2 8 解答 1 由h x x3 x 知 x 0 而h 0 0 且h 1 x 10 则x 0 为h x 的一个零点 且h x 在 1 2 内有零点 因此 2 h x 至少有两个零点 解法一 h x 3x2 1 x 记 x 3x2 1 x 则 x 6x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 3 2 当x 0 时 x 0 因此 x 在 0 上单调递增 则 x 在 0 内至多只有一个零点 又因为 1 0 0 则 x 在内有零点 3 3 3 3 1 所以 x 在 0 内有且只有一个零点 记此零点为x1 则当x 0 x1 时 x x1 0 所以 当x 0 x1 时 h x 单调递减 而h 0 0 则h x 在 0 x1 内无零点 当x x1 时 h x 单调递增 则h x 在 x1 内至多只有一个零点 从而 h x 在 0 内至多只有一个零点 5 综上所述 h x 有且只有两个零点 解法二 由h x x 记 x x2 1 x 则 x 2x x x2 1 x 1 2 1 2 1 2 3 2 当x 0 时 x 0 从而 x 在 0 上单调递增 则 x 在 0 内至多只有一个零点 1 0 所以 x 在 0 上有一个零 点 因此h x 在 0 内也有一个零点 综上所述 h x 有且只有两个零点 2 记h x 的正零点为x0 即x x0 3 0 x0 i 当a x0时 由a1 a 即a1 x0 而a a1 x0 x 因此a2 x0 由此猜测 an x0 下面用数学归纳法证明 3 2a1x03 0 当n 1 时 a1 x0显然成立 假设当n k k 1 时 ak x0成立 则当n k 1 时 由 a ak x0 x知 ak 1 x0 3k 1akx03 0 因此 当n k 1 时 ak 1 x0成立 故对任意的n N N an x0成立 ii 当a x0时 由 1 知 h x 在 x0 上单调递增 则h a h x0 0 即a3 a 从而a a1 a a3 即a2 a 由此猜测