二次根式的知识点、典型例题、练习

1 第十六章 二次根式的知识点 典型例题及相应的练习 1 二次根式的概念 1 定义 一般地 形如 a 0 的代数式叫做二次根式 当 a 0 时 a 表示 a 的算术平方根 当 a 小于 0 时 非二次根式 在一元二次方程中 a 若根号下为负数 则无实数根 概念 式子 a 0 叫二次根式 a 0 是一个非负数 aa 题型一 判断二次根式题型一 判断二次根式 1 下列式子 哪些是二次根式 哪些不是二次根式 x 0 x 0 y 0 2 3 3 1 x x0 4 22 1 xy xy 2 在式子 中 二次根式有 23 0 2 12 20 3 1 2 x xyyx xxxy A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 3 下列各式一定是二次根式的是 A B C D 7 3 2m 2 1a a b 2 二次根式有意义的条件 题型二 判断二次根式有没有意义题型二 判断二次根式有没有意义 1 写出下列各式有意义的条件 1 2 3 4 43 xa8 3 1 4 2 m x 1 2 有意义 则 2 1 x x 3 若成立 则 x 满足 x x x x 3 2 3 2 典型练习题 典型练习题 1 当 x 是多少时 在实数范围内有意义 23x 1 1x 2 2 当 x 是多少时 x2在实数范围内有意义 23x x 3 当时 有意义 21 2xx 4 使式子有意义的未知数 x 有 个 2 5 x A 0 B 1 C 2 D 无数 5 已知 y 5 求的值 2x 2x x y 6 若 有意义 则 3x 3x 2 x 7 若有意义 则的取值范围是 1 1 m m m 8 已知 则的取值范围是 2 22xx x 9 使等式成立的条件是 1111xxxx 10 已知 x 则 23 3xx 3 x A x 0 B x 3 C x 3 D 3 x 0 11 若 x y 0 则 22 2yxyx 22 2yxyx A 2x B 2y C 2x D 2y 12 若 0 x 1 则 等 4 1 2 x x4 1 2 x x A B C 2x D 2x x 2 x 2 13 化简a 0 得 a a3 A B C D a aa a 3 最简二次根式的化简 最简二次根式是特殊的二次根式 他需要满足 1 被开方数的因数是 整数 字母因式是整式 2 被开方数中不含能开的尽方的因数或因式 小结 最简二次根式根号里不能含有开得尽方的数或因式 不能含有小数 不能含有分数或分式 那么如何将一个二次根式化为最简二次根式呢 3 题型一 判断下列是不是最简二次根式 题型一 判断下列是不是最简二次根式 1 322 2babba x8 3 1 2 9x 题型二 不同类型二次根式的化简成最简二次根式题型二 不同类型二次根式的化简成最简二次根式 一 被开方数是整数或整数的积一 被开方数是整数或整数的积 例例 1 化简 1 162 2 7532 温馨提示 温馨提示 当被开方数是整数或整数的积时 一般是先分解因数 再运用 积的算术平方根的性质进行化简 二 被开方数是数的和差二 被开方数是数的和差 例例 2 化简 22 2 1 2 3 温馨提示 温馨提示 当被开方数是数的和差时 应先求出这个和差的结果再化简 三 被开方数是含字母的整式三 被开方数是含字母的整式 例例 3 化简 1 34 18yx 2 322 2babba 温馨提示 温馨提示 当被开方数是单项式时 应先把指数大于 2 的因式化为 2 m a或aa m 2 的形式再化简 当被开方数是多项式时 应先把多项式分解 因式再化简 但需注意 被移出根号的因式是多项式的需加括号 四 被开方数是分式或分式的和差四 被开方数是分式或分式的和差 例例 4 化简 1 ba x 2 3 8 3 2 y x x y 温馨提示 温馨提示 当被开方数是分式时 应先把分母化为平方的形式 再运用商 的算术平方根的性质化简 当被开方数是分式的和差时 要先通分 再化简 典型练习题 典型练习题 1 把二次根式 y 0 化为最简二次根式结果是 x y A y 0 B y 0 C y 0 D 以上都不对 x y xy xy y 2 化简 x 0 422 xx y 4 3 a化简二次根式号后的结果是 2 1a a 4 已知0 化简二次根式的正确结果为 xy 2 y x x 5 已知 a b c 为正数 d 为负数 化简 22 22 dcab dcab 4 同类的二次根式 1 以下二次根式 中 与是同类二次12 2 2 2 3 273 根式的是 A 和 B 和 C 和 D 和 2 在 3 2中 与是8 1 75 3 a 2 9 3 a125 3 2 3a a 0 2 1 8 3a 同 类二次根式的有 3 是同类二次根式 ab 3 1 ba3 b a x 2 4 若最简根式与根式是同类二次根式 求 a b 的 3 43 a b ab 232 26abbb 值 5 若最简二次根式与是同类二次根式 求 m n 的 2 2 32 3 m 2 12 410 n m 值 5 二次根式的非负性 1 若 0 求 a2004 b2004的值 1a 1b 2 已知 0 求 xy的值 1xy 3x 5 3 若 求的值 2 440 xyyy xy 4 若 0 则 x 1 2 y 3 2 1 x3 y 5 已知为实数 且 求的值 a b 1110abb 20052006 ab 6 的应用 a a aa 2 1 a 0 时 比较它们的结果 下面四个选项中正确 2 a 2 a 2 a 的是 A B 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a C 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 先化简再求值 当 a 9 时 求 a 的值 甲乙两人的解答如下 2 1 2aa 甲的解答为 原式 a a 1 a 1 2 1 a 乙的解答为 原式 a a a 1 2a 1 17 2 1 a 两种解答中 的解答是错误的 错误的原因是 3 若 1995 a a 求 a 19952的值 2000a 提示 先由 a 2000 0 判断 1995 a 的值是正数还是负数 去掉绝对 值 4 若 3 x 2 时 试化简 x 2 2 3 x 2 1025xx 5 化简 a的结果是 1 a A B C D a aa a 6 把 a 1 中根号外的 a 1 移入根号内得 1 1a a 0a 0 a a 0 0 6 7 求值问题 1 当 x y 求 x2 xy y2的值157157 2 已知 a 3 2 b 3 2 则 a2b ab2 22 3 已知 a 1 求 a3 2a2 a 的值3 3 x y 4 已知 4x2 y2 4x 6y 10 0 求 y2 x2 5x 的值 2 9 3 xx 1 x y x 5 已知 2 236 求 的值 结果精确到580 4 1 5 1 3 5 4 45 5 0 01 6 先化简 再求值 6x 4y 其中 x y 27 y x 3 3 xy y x y 36xy 3 2 7 当 x 时 求 的值 结果用最简二次 1 21 2 2 1 1 xxx xxx 2 2 1 1 xxx xxx 根式表示 注 设分子分母分别为 a b 求出 a b 与 a b 8 已知 求的值 2 310 xx 2 2 1 2x x 7 9 已知 x y 求的值 先化简 23 23 23 23 32234 23 2yxyxyx xyx xy 再化简分式 求值 8 比较大小的问题 1 设 a b c 则 a b c 的大小关系是 23 32 25 2 3与 2比较大小 56 3 化简 7 5 2000 7 5 2001 22 4 和的大小关系是 2 3 3 2 A B C D 不能确定2 33 2 2 33 2 2 33 2 9 二次根式的整数部分 小数部分的问题 1 x y 分别为 8 的整数部分和小数部分 则 2xy y2 6 2 已知 ab 分别是6 的整数部分和小数部分 那么2a b 的值为多少 13 3