【精品】高三数学 2.3函数的极限(第二课时)大纲人教版选修

1 精品精品 高三数学高三数学 2 32 3 函数的极限函数的极限 第二课时第二课时 大纲人教版选修大纲人教版选修 课 题 2 3 2 函数的极限 二 教学目标 一 教学知识点一 教学知识点 1 当 x x0时 函数 f x 的极限的概念 2 函数的左极限 3 函数的右极限 二 能力训练要求二 能力训练要求 1 理解函数在一点处的极限 并会求函数在一点处的极限 2 已知函数的左 右极限 会求函数在一点处的左 右极限 3 理解函数在一点处的极限与左 右极限的关系 三 德育渗透目标三 德育渗透目标 1 认识事物之间的相互联系与区别 培养学生的归纳能力 2 要用运动的 联系的观点看问题 教学重点 函数在一点处的极限与左 右极限 教学难点 函数在一点处的极限的概念的理解 以及与函数的左 右极限之间的关系 要与函数的第 一类极限即自变量趋向于无穷大区别开 教学方法 建构主义方法 让学生在做中学 教具准备 幻灯片三张 第一张 两类极限的区别 记作 2 3 2 A 第二张 函数在一点处的极限与函数在该点的值的关系 记作 2 3 2 B 第三张 函数在一点处的极限与左 右极限的关系 记作 2 3 2 C 教学过程 课题导入课题导入 师 上节课我们学习了当 x 趋向于 即 x 时 函数 f x 的极限 当 x 趋向于 时 函数 f x 的值就无限趋近于某个常数 a 我们可以把 看成数轴上的一个特殊的点 那么如果对于数 轴上的一般的点 x0 当 x 趋向于 x0时 函数 f x 的值是否会趋近于某个常数 a 呢 先看几个具 体的例子 讲授新课讲授新课 一 举例 师 我们要考虑当 x 无限趋近于 2 时 函数 y x2的变化趋势 可以有哪些方法呢 生 画图和列表 板书 1 y x2 当 x 2 时 如图 2 21 2 图 2 21 列表如下 x1 51 91 991 9991 99991 99999 y x22 253 613 963 9963 99963 99996 y 4 1 750 390 040 0040 00040 00004 x2 52 12 012 0012 00012 00001 y x26 254 414 044 0044 00044 00004 y 4 2 250 410 040 0040 00040 00004 x2 11 92 011 9992 00011 99999 y x24 413 614 043 9964 00043 99996 y 4 0 410 390 040 0040 00040 00004 结论 1 x 从表示 2 的点的左边无限趋近于 2 y 4 的值无限趋近于 0 即 y x2的值无 限趋近于 4 2 x 从表示 2 的点的右边无限趋近于 2 则 y 4 的值无限趋近于 0 即 y x2的值无限趋近 于 4 3 x 从表示 2 的点的两侧交错地无限趋近于 2 则 y 4 的值无限趋近于 0 即 y x2的值无 限趋近于 4 2 x R x 1 1 1 2 x x y 师 考虑 x 无限趋近于 1 但不等于 1 时 函数的变化趋势 只用图象 写出结论 图 2 22 学生板演 图 2 22 结论 1 x 从 1 的左边无限趋近于 1 则的值无限趋近于 2 1 1 2 x x 2 x 从 1 的右边无限趋近于 1 则的值无限趋近于 2 1 1 2 x x 3 x 从 1 的两侧交错地无限趋近于 1 则的值无限趋近于 2 1 1 2 x x 3 分段函数 0 1 0 0 0 1 xx x xx y 3 当 x 0 时的变化趋势 图 2 23 学生板演 图 2 23 结论 1 x 从 0 的左边无限趋近于 0 则 y 的值无限趋近于 1 2 x 从 0 的右边无限趋近于 0 则 y 的值无限趋近于 1 二 函数在一点处的极限与左 右极限 1 当自变量 x 无限趋近于常数 x0 但 x 不等于 x0 时 如果函数 f x 无限趋近于一个常数 a 就说当 x 趋近于 x0时 函数 f x 的极限是 a 记作x0f x a 或当 x x0时 f x a f x lim 0 xx lim 0 xx 叫做函数 f x 在点 x x0处的极限 2 如果当 x 从点 x x0左侧 即 x x0 无限趋近于 x0时 函数 f x 无限趋近于常数 a 就说 a 是函数 f x 在点 x0处的左极限 记作f x a lim 0 xx 3 如果当 x 从点 x x0右侧 即 x x0 无限趋近于 x0时 函数 f x 无限趋近于常数 a 就说 a 是函数 f x 在点 x0处的右极限 记作f x a lim 0 xx 4 常数函数 f x C 在点 x x0处的极限有f x C 分别给出幻灯片 A B C lim 0 xx 注意 1 第一类函数极限f x 中的自变量 x 是无限趋近于 第二类函数极限 lim x f x 中的自变量 x 是无限地趋近于一个点 x0 lim 0 xx 2 f x 中 x 无限趋近于 x0 但不包含 x x0 即 x x0 所以函数 f x 的极限 a 仅与函数 lim 0 xx f x 在点 x0附近的函数值的变化有关 而与函数 f x 在点 x0的值无关 点 x0可以不属于函数 f x 的定义域 如 1 1 1 2 x x x y 点 x0可以属于函数 f x 的定义域 但函数 f x 的极限与函数值 f x0 无关 如 1 0 1 1 1 2 x x x x xf 1 2 1 1 2 11 limlim f x x xf xx 3 是 x 从 x0的两侧无限趋近于 x0 是双侧极限 lim 0 xf xx 4 都是 x 从 x0的单侧无限趋近于 x0 是单侧极限 lim 0 xf xx lim 0 xf xx 同样 是双侧极限 lim xf x 是单侧极限 lim xf x lim xf x axfxfaxf xxxx xx limlimlim 00 0 axfxfaxf xxx limlimlim 函数 f x 的左 右极限存在 但它的极限不一定存在 只有当左 右极限都存在并且相等 时 函数 f x 的极限才存在并且等于它的左极限 或右极限 图 2 24 三 课本例题 当时 写出下列函数的极限 学生板演 2 x 1 y x2 解 4 2 2 2 lim x x 图 2 25 图 2 26 2 y sinx 解 1sin lim 2 x x 3 y x 解 2 lim 2 x x 4 y 5 解 y 5 是常数函数 55 lim 2 x 5 四 精选例题 写出下列函数当 x 0 时的左 右极限 哪些有极限 1 0 00 0 2 xx x xx xf 解 0 2 00 limlim xxf xx 0 limlim 00 xxf xx f x 在 x 0 处有极限 即 0 lim 0 xf x 2 01 0sin xx xx xf 解 1 1 limlim 00 xxf xx 0sin limlim 00 xxf xx f x 在 x 0 处无极限 即不存在 lim 0 xf x 3 f x x 3 3 2 x 解 3 2 3 2 limlim 00 x xf xx 3 2 3 2 limlim 00 x xf xx f x 在 x 0 处有极限 即 3 2 lim 0 xf x 4 0 0 1 2 xx x xxf 解 0 2 00 limlim xxf xx 不存在 f x 在 x 0 处无极限 即不存在 x xf xx 1 limlim 00 lim 0 xf x 课堂练习课堂练习 1 讨论 f x 在 x 0 和 x 1 时的极限 0 x x x xf 6 解 1 limlimlim 000 x x x x xf xxx f x 在 x 0 时的极限不存在 1 limlim 00 x x xf xx limlim 00 xfxf xx 又 且 f 1 1 1 limlim 11 x x xf xx 1 limlim 11 x x xf xx 1 lim 1 xf x 2 下列函数在 x 0 处的左 右极限各是什么 哪些有极限 学生口答 1 0 1 0 2 xx xx xf 生 在 x 0 处左极限为 1 右极限为 0 无极限 2 0 0 xx xx xg 生 在 x 0 处左极限为 0 右极限为 0 极限为 0 3 0 12 0 12 xx xx xh 生 在 x 0 处左极限为 1 右极限为 1 无极限 3 已知函数其中 x 表示不超过 x 的最大整数 给出下列判断 5 2 5 x xx xf x 其中正确的命0 lim 1 xf x 2 lim 2 xf x 3 lim 3 xf x 5 lim 5 xf x 题的个数有 A 1 个B 2 个 C 3 个 D 4 个 解析 0 limlim 11 xxf xx 1 limlim 22 xxf xx 3 limlim 33 xxf xx 5 lim 5 xf x 4 lim 5 xf x 不存在 lim 5 xf x 综上所述 只有 正确 故选 B 答案答案 B 课时小结课时小结 本节课主要学习了第二类函数极限 函数 f x 在点 x x0处的极限 左 右极限 要弄清极 限与左 右极限的关系 第一类函数极限实质上是第二类函数极限的特例 要学会求一些简单 函数的左 右极限和极限 课后作业课后作业 一 课本 P83习题 2 4 2 5 8 3 二 1 预习内容 课本 84 85 7 2 预习提纲 1 预习函数极限的四则运算法则 理解极限运算与 可交换顺序 lim 0 xx 2 预习