任意角的三角函数的定义

基础模块 上册 121 5 2 1 任意角三角函数的定义 教学目标 1 理解并掌握任意角三角函数的定义 熟记其在各象限的符号 掌握三角函数线的定义及画法 2 通过教学 使学生进一步体会数形结合的思想 教学重点 任意角三角函数的定义 教学难点 单位圆及三角函数线 教学方法 本节课主要采用启发引导与讲练结合的教学方法 在复习锐角三角函数定义的基础上 定义了任意 角的三角函数 讲练结合 使学生牢固掌握 然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导 出三角函数在各象限的符号 接着把正弦值 余弦值 正切值转化为单位圆中的有向线段表示 使数与 形密切结合起来 以加强学生对三角函数定义的理解 教学过程 环节教学内容师生互动设计意图 导 入 复习锐角三角函数定义 师 初中时我们学过锐角 三角函数 当时是怎样定义的 以旧引新 新 课 1 任意角的三角函数定义 已知 是任意角 P x y P x y 是角 的终边与两个半径不 同的同心圆的交点 r r x2 y2x 2 y 2 如图所示 当角 不变时 对于角 的终边 上任意一点 P x y 不论点 P 在角 问题 1 当我们把锐角的 概念推广为转角后 我们如何 定义任意角的三角函数呢 如左图所示 由相似三角 形对应边成比例得 x r x r y r y r y x y x 由于点 P P 在同一象限 内 所以它们的坐标符号相同 因此 x r x r y r y r y x y x 所以三个比值 只依赖于 x r y r y x 的大小 与点 P 在 终边 上的位置无关 说明三角函数定 义的理论根据 y P r r y y O x x x P 第五章 三角函数 122 新 课 的终边上的位置如何 三个比值 x r 始终等于定值 因此定义 y r y x 角 的余弦余弦 cos x r 角 的正弦正弦 sin y r 角 的正切正切 tan y x 依照上述定义 对于每一个确定 的角 都分别有唯一确定的余弦值 正弦值 正切值与之对应 所以这三 个对应关系都是以角 为自变量的函 数 分别叫做角 的余弦函数 正弦余弦函数 正弦 函数和正切函数 函数和正切函数 2 三角函数求值 根据三角函数定义 可得计算三 角函数值的步骤 S1 画角 在直角坐标系中 作转 角等于 S2 找点 在角 的终边上任找一 点 P 使 OP 1 并量出该点的纵坐 标和横坐标 S3 求值 根据相应三角函数的定 义 求该角的三角函数值 例 1 已知角 终边上一点 P 2 3 求角 的三个三角函数 值 解 已知点 P 2 3 则 r OP 22 3 213 由三角函数的定义 得 sin y r cos x r 13 132 tan y x 3 2 练习 1 教材 P138 练习 A 组第 教师引领学生识记三角函 数定义 依据函数定义说明角 与三角函数值的对应关系 练习 在直角坐标系中 画出 半径为 的圆 求出 30 38 128 等角的正弦 余弦 和正切的值 在例 1 中强调 P 为角 的终边上任意 一点 求三角函数值时用到的 通过学生自己动 手测量 加深学生对三 角函数定义的理解 并 为学习单位圆做铺垫 强调这几点为练 习 B 组第 1 2 3 做 铺垫 基础模块 上册 123 新 课 1 4 5 题 例 2 试确定三角函数在各象限的符 号 解 由三角函数的定义可知 sin 角 终边上点的纵坐 y r 标 y 的正 负与角 的正弦值同号 cos 角 终边上点的横坐 x r 标 x 的正 负与角 的余弦值同号 由 tan 则当 x 与 y 同号 y x 时 正切值为正 当 x 与 y 异号时 正切值为负 三角函数在各象限的符号如下图 所示 练习 2 确定下列各三角函数值的符号 1 sin 2 cos 130 3 tan 4 4 3 例 3 使用函数型计算器 计算下列三 角函数值 1 sin67 5 cos372 tan 86 2 sin1 2 cos tan 3 4 5 6 解 略 3 单位圆与三角函数线 如图 以原点为圆心 半径为 1 的圆称作单位圆单位圆 三个量 x y r 以及三者的关 系 教师可通过教材 P138 练 习 A 组第 1 题中的练习让学生 自己总结出三角函数在各象限 的符号 根据三角函数的定义 及 各象限内点的坐标的符号得出 三角函数在各象限的符号 教 师总结口诀 帮助学生记忆 全正 全正 正弦 正弦 正切 正切 余弦余弦 练习 2 也可以用计算器直 接求出三角函数值 然后确定 符号 师 在任意角三角函数的 定义中 当角 的终边上一 点 P x y 的坐标满足 r 1 时 三角函数的正 x2 y2 弦 余弦会变成什么样呢 看着图示 结合三角函数 定义讲解正弦线 余弦线 正 通过练习 1 熟练已 知角的终边上一点求 三角函数值的步骤 由练习中的具体 题目到例 2 的理论分 析 由特殊到一般加 深学生对三角函数符 号的理解 O M x A 1 0 1 P cos sin y Ox y sin Ox y cos Ox y tan 第五章 三角函数 124 新 课 设角 的终边与单位圆的交点 为 P x y 过点 P 作 PM 垂直于 x 轴 则 sin y cos x 即 P cos sin cos x OM sin y MP 于是我们把规定了方向的线段 OM MP 分别称作角 的余弦线 正弦余弦线 正弦 线线 练习 3 1 在直角坐标系的单位 圆中 分别画出 和 的正弦线 3 2 3 余弦线 设单位圆在点 A 的切线与角 的终 边或其反向延长线相交于点 T T 则 tan AT AT y x AT OA 所以 AT AT 称作角 的正切线 正切线 练习 3 2 在直角坐标系的单 位圆中 分别画出 和 的正切 3 2 3 线 切线的由来 学生自己动手 熟悉正弦 线 余弦线的画法 学生自己动手 熟悉当角 在不同象限时正切线的画 法 学生理解正切线 难度较大 教师要详 细讲解各个象限内的 角的正切线的做法 小小 结结 回忆本节课所学知识点 1 任意角三角函数的定义 代数表示 2 任意角三角函数值的求法 两种方 法 3 任意角三角