【备战】2012高考数学 应考能力大提升8.3

用心 爱心 专心 1 备战备战 20122012 数学应考能力大提升数学应考能力大提升 典型例题 例 1 已知 S 是 ABC 所在平面外一点 O 是边 AC 的中点 SOA SOB SOC 点 P 是 SA 的中点 1 求证 SO 平面 ABC 2 求证 SC 平面 BOP 证明 1 在平面 SAC 中 SOA SOC 180 又 SOA SOB SOC SOA SOC 90 SOB 即 SO AC SO OB SO 平面 ABC 2 P 是 SA 的中点 O 是 AC 的中点 OP SC 而 OP平面 BOP SC平面 BOP SC 平面 BOP 例 2 已知正方形 ABCD E F 分别是边 AB CD 的中点 将 ADE 沿 DE 折起 如图所示 记二面角 ADEC 的大小为 0 1 证明 BF 平面 ADE 2 若 ACD 为正三角形 试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上 请证明你的结 论 并求角 的余弦值 1 证明 E F 分别是正方形 ABCD 的边 AB CD 的中点 EB FD 且 EB FD 四边形 EBFD 是平行四边形 BF ED ED平面 AED 而 BF平面 AED BF 平面 AED 2 解 方法一 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 过点 A 作 AG 平面 BCDE 垂足为 G 连结 GC GD ACD 为正三角形 AC AD GC GD G 在 CD 的垂直平分线上 又 EF 是 CD 的垂直平分线 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 过 G 作 GH ED 垂足为 H 连结 AH 则 AH DE 用心 爱心 专心 2 AHG 是二面角 ADEG 的平面角 即 AHG 设原正方形 ABCD 的边长为 2a 连结 AF 在折后图的 AEF 中 AF EF 2AE 2a a3 AEF 为直角三角形 AG EF AE AF AG a 2 3 在 Rt ADE 中 AH DE AD AE AH 5 2a GH cos 52 a AH GH 4 1 方法二 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 连结 AF 在平面 AEF 内过点 A 作 AG EF 垂足为 G ACD 为正三角形 F 为 CD 的中点 AF CD 又 EF CD CD 平面 AEF AG 平面 AEF CD AG 又 AG EF 且 CD EF F CD平面 BCDE EF平面 BCDE AG 平面 BCDE G 为 A 在平面 BCDE 内的射影 G 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 过 G 作 GH ED 垂足为 H 连结 AH 则 AH DE AHG 是二面角 ADEC 的平面角 即 AHG 设原正方形 ABCD 的边长为 2a 在折后图的 AEF 中 AF a EF 2AE 2a 3 AEF 为直角三角形 AG EF AE AF AG a 2 3 在 Rt ADE 中 AH DE AD AE AH 5 2a 用心 爱心 专心 3 GH cos 52 a 4 1 AH GH 创新题型 1 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 4 BC 3 CC1 2 1 求证 平面 A1BC1 平面 ACD1 2 求 1 中两个平行平面间的距离 3 求点 B1到平面 A1BC1的距离 2 已知三棱柱 A1B1C1 ABC 的底面边长及侧棱长均相等 AB CB1 且侧面 ABB1A1垂直于底面 ABC 1 求证 平面 ABC1 平面 CBB1C1 2 求侧棱 B1B 与底面 ABC 所成角的大小 3 已知四棱锥 P ABCD 底面 ABCD 是菱形 DAB 60 PD 平面 ABCD PD AD 点 E 为 AB 中点 点 F 为 PD 中点 1 证明平面 PED 平面 PAB 2 求二面角 PABF 的平面角的余弦值 参考答案 2 解 设两平行平面 A1BC1与 ACD1间的距离为 d 则 d 等于 D1到平面 A1BC1的距离 易求 A1C1 5 A1B BC1 5213 用心 爱心 专心 4 则 cos A1BC1 65 2 从而 sin A1BC1 S A1BC1 65 61 61 由于 VD1 A1BC1 VB A1C1D1 则S A1BC1 d A1D1 C1D1 BB1 3 1 3 1 2 1 代入求得 d 61 6112 即 1 中两个平行平面间的距离等于 61 6112 3 解 由于线段 B1D1被平面 A1BC1所平分 所以点 B1与点 D1到平面 A1BC1的距离相等 故由 2 知点 B1到平面 A1BC1的距离等于 61 6112 2 解析 剖析 1 利用面面垂直的判定定理 关键是在一个平面内找另一个平面的垂线 这 条直线是 CB1 2 利用面面垂直的性质定理 作出侧棱 B1B 与底面 ABC 所成的角 1 证明 四边形 BB1C1C 是菱形 CB1 C1B 又 AB CB1 AB C1B B CB1 平面 ABC1 而 CB1平面 CBB1C1 平面 ABC1 平面 CBB1C1 2 解 作 B1D AB 于 D 连结 CD 侧面 ABB1A1 底面 ABC 而平面 ABB1A1 平面 ABC AB B1D 面 ABC B1BD 就是侧棱 B1B 与底面 ABC 所成的角 又 CB1 AB 其射影 CD AB 而 ABC 是正三角形 BD AB B1B 2 1 2 1 B1BD 60 即侧棱 B1B 与底面 ABC 所成的角为 60 用心 爱心 专心 5 3 解析 1 证明 连结 BD AB AD DAB 60 ADB 为等边三角形 E 是 AB 中点 AB DE PD 平面 ABCD AB平面 ABCD AB PD DE平面 PED PD平面 PED DE PD D AB 平面 PED AB平面 PAB 平面 PED 平面 PAB 2 解 AB 平面 PED PE平面 PED AB PE 连结 EF