【走向高考】（2013春季发行）高三数学第一轮总复习 6-4数列的综合问题与数列的应用配套训练（含解析）新人教B版

1 走向高考走向高考 20132013 春季发行 高三数学第一轮总复习春季发行 高三数学第一轮总复习 6 46 4 数列数列 的综合问题与数列的应用配套训练 含解析 新人教的综合问题与数列的应用配套训练 含解析 新人教 B B 版版 基础巩固强化 1 2011 佛山月考 若a b c成等比数列 则函数f x ax2 bx c的图象与x轴 交点的个数是 A 0 B 1 C 2 D 不确定 答案 A 解析 由题意知 b2 ac 0 b2 4ac 3ac0 a5a6 2 a5a6 a5 a6 2 1 a5 1 a6 1 2 1 a5 1 a6 1 2 1 2a5a62 等号在a5 a6 时成立 2 理 2011 哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学联考 已知 an 是等差数列 Sn为其前n项和 若S21 S4000 O为坐标原点 点P 1 an 点Q 2011 a2011 则 OP OQ A 2011 B 2011 C 0 D 1 答案 A 解析 由S21 S4000得到Sn关于n 2010 5 对称 故Sn的最大 或最小 值 21 4000 2 S2010 S2011 故a2011 0 2011 an a2011 2011 an 0 2011 故选 A OP OQ 5 数列 an 是公差d 0 的等差数列 数列 bn 是等比数列 若 a1 b1 a3 b3 a7 b5 则b11等于 A a63 B a36 C a31 D a13 答案 A 解析 设数列 bn 的首项为b1 公比为q 则 Error 得d q4 q2 a1 4 a1 q4 q2 a1q2 a1 2 q 1 q2 2 d 于是b11 a1q10 32a1 a1 2 设 32a1 a1 n 1 则n 63 b11 a63 a1 2 6 文 2011 广东促元中学期中 已知 an 为等差数列 bn 为正项等比数列 公式 q 1 若a1 b1 a11 b11 则 A a6 b6 B a6 b6 3 C a6 b6 a1 a11 2a1a11 理 2011 安徽百校论坛联考 已知a 0 b 0 A为a b的等差中项 正数G为a b 的等比中项 则ab与AG的大小关系是 A ab AG B ab AG C ab AG D 不能确定 答案 C 解析 由条件知 a b 2A ab G2 A G 0 AG G2 即 a b 2ab AG ab 故选 C 点评 在知识交汇点处命题是常见命题方式 不等式与数列交汇的题目要特别注意等 差 等比 数列的公式及性质的运用 7 小王每月除去所有日常开支 大约结余a元 小王决定采用零存整取的方式把余钱 积蓄起来 每月初存入银行a元 存期 1 年 存 12 次 到期取出本和息 假设一年期零存 整取的月利率为r 每期存款按单利计息 那么 小王存款到期利息为 元 答案 78ar 解析 依题意得 小王存款到期利息为 12ar 11ar 10ar 3ar 2ar ar ar 78ar元 12 12 1 2 8 已知双曲线an 1y2 anx2 an 1an n 2 n N N 的焦点在y轴上 一条渐近线方程 是y x 其中数列 an 是以 4 为首项的正项数列 则数列 an 的通项公式是 2 答案 an 2n 1 解析 双曲线方程为 1 焦点在y轴上 又渐近线方程为y x y2 an x2 an 12 an an 12 又a1 4 an 4 2n 1 2n 1 9 2012 哈六中三模 已知数列 an 的前n项和为Sn 且an 1 5Sn 3 且a1 1 则 an 的通项公式是 答案 an Error 解析 因为an 1 5Sn 3 所以当n 2 时 an 5Sn 1 3 两式相减得 4 an 1 an 5an 6 故数列 an 从第 2 项开始成等比数列 an 2 6n 2 n 2 当 an 1 an n 1 时a1 1 不满足 综上 an Error 10 文 2012 绥化市一模 已知等差数列 an 的公差大于 0 且a3 a5是方程 x2 14x 45 0 的两个根 数列 bn 前n项和为Sn 且Sn n N N 1 bn 2 1 求数列 an bn 的通项公式 2 若cn an bn 求数列 cn 的前n项和Tn 解析 1 a3 a5是方程x2 14x 45 0 的两根 且数列 an 的公差d 0 a3 5 a5 9 公差d 2 a5 a3 5 3 an a5 n 5 d 2n 1 又当n 1 时 有b1 S1 b1 1 b1 2 1 3 当n 2 时 有bn Sn Sn 1 bn 1 bn 1 2 n 2 bn bn 1 1 3 数列 bn 是首项b1 公比q 的等比数列 1 3 1 3 bn b1qn 1 1 3n 2 由 1 知 cn anbn 2n 1 3n Tn 1 31 3 32 5 33 2n 1 3n Tn 1 3 1 32 3 33 5 34 2n 3 3n 2n 1 3n 1 得Tn 2 3 1 3 2 32 2 33 2 3n 2n 1 3n 1 2 1 3 1 32 1 33 1 3n 2n 1 3n 1 整理得Tn 1 n 1 3n 理 2012 河南六市联考 已知数列 an 的前n项和是Sn 且 2Sn 2 an 1 求数列 an 的通项公式 2 记bn an n 求数列 bn 的前n项和Tn 解析 1 当n 1 时 2S1 2 a1 2a1 2 a1 a1 2 3 5 当n 2 时 Error 两式相减得 2an an 1 an n 2 即 3an an 1 n 2 又an 1 0 n 2 an an 1 1 3 数列 an 是以 为首项 为公比的等比数列 2 3 1 3 an n 1 2 n 2 3 1 3 1 3 2 由 1 知bn 2 n n 1 3 Tn 2 2 3 n 1 2 3 n 1 3 1 3 1 3 1 3 1 n 2 1 3 1 1 3 n 1 1 3 n 1 n 2 1 3 n2 n 2 能力拓展提升 11 文 如图 是一个算法的程序框图 该算法输出的结果是 A B 1 2 2 3 C D 3 4 4 5 答案 C 6 解析 循环过程为i 1 4 i 2 m 1 S 1 1 2 i 2 4 i 3 m 2 S 1 1 2 1 2 3 i 3 4 i 4 m 3 S 1 1 2 1 2 3 1 3 4 i 40 a1 1 an 2n 1 12 文 2012 成都双流中学月考 已知数列 an bn 满足 a1 an bn 1 bn 1 则b2012 1 2 bn 1 a2n A B 2011 2012 2012 2011 C D 2012 2013 2013 2012 答案 C 解析 an bn 1 a1 b1 1 2 1 2 bn 1 b2 bn 1 a2n b1 1 a2 1 2 3 a2 b3 a3 b4 a4 观察可见an bn 1 3 b2 1 a2 2 3 4 1 4 b3 1 a2 3 4 5 1 5 1 n 1 b2012 故选 C n n 1 2012 2013 理 2012 宿州市质检 等比数列 an 中 a3 6 前三项和S3 4xdx 则公比q的值 3 0 为 A 1 B 1 2 C 1 或 D 1 或 1 2 1 2 答案 C 解析 S3 4xdx 2x2 18 又a3 6 3 03 0 a1 a2 12 Error q 1 或 1 2 13 文 2011 福州市期末 河北冀州期末 已知实数a b c d成等比数列 且函 数y ln x 2 x当x b时取到极大值c 则ad等于 答案 1 分析 利用导数可求b c 由a b c d成等比数列可得ad bc 解析 y 1 令y 0 得x 1 当 2 x0 当x 1 时 1 x 2 8 y 0 b1 a1 1 b2 a2 2 b3 a3 3 若数列 an 唯一 则a 答案 1 3 解析 设等比数列 an 的公比为q 则有b1 a 1 b2 aq 2 b3 aq2 3 aq 2 2 a 1 aq2 3 即aq2 4aq 3a 1 0 因为数列 an 是唯一的 因此由方程 aq2 4aq 3a 1 0 解得的a q的值是唯一的 若 0 则a2 a 0 又a 0 因此这样 的a不存在 故方程aq2 4aq 3a 1 0 必有两个不同的实根 且其中一根为零 于是有 3a 1 0 a 1 3 15 2012 天津十二区县联考一 已知数列 an 的前n项和Sn满足 Sn a Sn an 1 a为常数 且a 0 a 1 1 求 an 的通项公式 9 2 设bn a Sn an 若数列 bn 为等比数列 求a的值 2n 3 在满足条件 2 的情形下 设cn 数列 cn 的前n项和为Tn 求 1 bn 1 1 bn 1 1 证 Tn 2n 1 2 解析 1 S1 a S1 a1 1 a1 a 当n 2 时 Sn a Sn an 1 Sn 1 a Sn 1 an 1 1 两式相减得an a an 1 a an an 1 即 an 是等比数列 an a an 1 an 2 由 1 知an an Sn a an 1 a 1 bn an 2 an a an 1 a 1 2a 1 a2n aan a 1 若 bn 为等比数列 则有b b1b3 2 2 而b1 2a2 b2 a3 2a 1 b3 a4 2a2 a 1 故 a3 2a 1 2 2a2 a4 2a2 a 1 解得a 1 2 再将a 代入 得bn n成立 1 2 1 2 所以a 1 2 3 证明 由 2 知bn n 1 2 所以cn 1 1 2 n 1 1 1 2 n 1 1 2 2n 2n 1 2n 1 2n 1 1 1 2n 1 1 2n 1 1 所以cn 2 1 2n 1 2n 1 Tn c1 c2 cn 2 2 2 2n 2n 1 2 1 22 1 22 1 23 1 2n 1 2n 1 1 2 1 2n 1 1 2 16 文 已知数列 an 是公差d 0 的等差数列 记Sn为其前n项和 1 若a2 a3 a6依次成等比数列 求其公比q 10 2 若a1 1 证明点P1 P2 Pn n N N 在同一条直线上 并 1 S1 1 2 S2 2 n Sn n 写出此直线方程 解析 1 a2 a3 a6依次成等比数列 q 3 即公比q 3 a3 a2 a6 a3 a6 a3 a3 a2 3d d 2 证明 Sn na1 d n n 1 2 a1 d 1 d Sn n n 1 2 n 1 2 点Pn在直线y 1 d上 n Sn n x 1 2 点P1 P2 Pn n N N 都在过点 1 1 且斜率为 的直线上 d 2 此直线方程为y 1 x 1 即dx 2y 2 d 0 d 2 理 在等差数列 an 中 设Sn为它的前n项和 若S15 0 S16 0 且点A 3 a3 与 B 5 a5 都在斜率为 2 的直线l上 1 求a1的取值范围 2 指出 中哪个值最大 并说明理由 S1 a1 S2 a2 S15 a15 解析 1 由已知可得 2 则公差d 2 a5 a3 5 3 Error 14 a10 S16 8 a8 a9 0 a90 当 9 i 15 时 0 是S9 S3的 11 A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 S9 S3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 0 3 a6 a7 0 a6 a7 0 a6 a7 0 a6 a7 0 但a6 a7 0 a6 a7 0 故选 A 2 2012 吉林省实验中学模拟 已知正数组成的等差数列 an 的前 20 项的和是 100 那么a6 a15的最大值是 A 25 B 50 C 100 D 不存在 答案 A 解析 由条件知 a6 a15 a1 a20 S20 100 10 a6 0 a15 0 a6 a15 2 25 等号在 1 10 1 10 a6 a15 2 a6 a15 5 时成立 即当an 5 n N N 时 a6 a15取最大值 25 3 2011 揭阳一模 数列 an 是公差不为 0 的等差数列 且a1 a3 a7为等比数列 bn 中 连续的三项 则数列 bn 的公比为 A B 4 2 C 2 D 1 2 答案 C 解析 设数列 an 的公差为d d 0 由a a1a7得 a1 2d 2 a1 a1 6d 解得 2 3 a1 2d 故数列 bn 的公比q 2 选 C a3 a1 a1 2d a1 2a1 a1 4 2011 北京西城期末 已知各项均不为零的数列 an 定义向量c cn an an 1 b bn n n 1 n N N 则下列命题中为真命题的是 A 若对于任意n N N 总有c cn b bn成立 则数列 an 是等差数列 B 若对于任意n N N 总有c cn b bn成立 则数列 an 是等比数列 C 若对于任意n N N 总有c cn b bn成立 则数列 an 是等差数列 D 若对于任意n N N 总有c cn b bn成立 则数列 an 是等比数列 答案 A 解析 若对任意n N N 有c cn b bn 则 所以 an n an 1 n 1 an 2 n 2 an 1 an an 2 an 1 即 2an 1 an an 2 所以数列 an 为等差数列 12 5 小正方形按照下图中的规律排列 每小图中的小正方形的个数就构成一个数列 an 有以下结论 a5 15 数列 an 是一个等差数列 数列 an 是一个等比数列 数列的递推公 式为 an an 1 n n N N 其中正确的为 A B C D 答案 D 解析 观察图形可知an 1 2 3 n 选 D n n 1 2 6 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差 那么称这个正整数为 神秘数 介于 1 到 200 之间的所有 神秘数 之和为 答案 2500 解析 设正整数x 2n 2 2 2n 2 8n 4 由 1 x 200 及n Z Z 知 0 n 24 所有这样的神秘数之和为 2500 25 4 196 2 7 2011 洛阳市高三模拟 已知函数y f x 的图象经过坐标原点 其导函数为f x 6x 2 数列 an 的前n项和为Sn 点 n Sn n N N 在函数y f x 的图象上 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 an 和数列 bn 满足等式 an n N N 求数列 bn 的 b1 2 b2 22 b3 23 bn 2n 前n项和Tn 解析 1 由题意可设f x ax2 bx c 则f x 2ax b 6x 2 a 3 b 2 f x 过原点 c 0 f x 3x2 2x 依题意得Sn 3n2 2n n 2 时 an Sn Sn 1 3n2 2n 3 n 1 2 2 n 1 6n 5 n 1 时 a1 S1 1 适合上式 an 6n 5 n N N 2 an b1 2 b2 22 b3 23 bn 2n 13 an 1 n 2 b1 2 b2 22 b3 23 bn 1 2n 1 相减得 6 bn 6 2n n 2 bn 2n b1 2a1 2 bn Error Tn 2 6 22 23 2n 3 2n 2 22 8 已知f x a1x a2x2 anxn n为正偶数 且 an 为等差数列 f 1 n2 f 1 n 试比较f与 3 的大小 并证明你的结论 1 2 解析 由f 1 n2 f 1 n得 a1 1 d 2 f 3 2 53 2n 1 n 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 两边同乘以 得 f 2 33 2n 3 n 2n 1 n 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 两式相减得 f 2 2 23 2n 2n 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n 1 2n 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2n 1 1 1 2 1 2n 1 f 3 3 1 2 2n 3 2n 9 2012 安徽理 21 数列 xn 满足x1 0 xn 1 x xn c n N N 2n 1 证明 xn 是递减数列的充分必要条件是c 0 2 求c的取值范围 使 xn 是递增数列 分析 1 证明充要条件要从充分性与必要性两方面