八年级数学培优资料

目目 录录 第 1 讲 全等三角形的性质与判定 2 第 2 讲 角平分线的性质与判定 12 第 3 讲 轴对称及轴对称变换 17 第 4 讲 等腰三角形 25 第 5 讲 等边三角形 37 第 06 讲 实 数 43 第 7 讲 变量与函数 50 第 8 讲 一次函数的图象与性质 55 第 9 讲 一次函数与方程 不等式 64 第 10 讲 一次函数的应用 69 第 11 讲 幂的运算 81 第 12 讲 整式的乘除 87 第 13 讲 因式分解及其应用 94 第 14 讲 分式的概念 性质与运算 101 第 15 讲 分式的化简 求值 与证明 109 第 16 讲 分式方程及其应用 118 第 17 讲 反比例函数的图象与性质 126 第 18 讲 反比例函数的应用 139 第 19 讲 勾股定理 146 第 20 讲 平行四边形 158 第 21 讲 菱形与矩形 167 第 22 讲 正方形 179 第 23 讲 梯 形 189 第 24 讲 数据的分析 198 模拟测试卷 一 208 模拟测试卷 二 211 模拟测试卷 三 214 B A C D E F 第第 1 讲讲 全等三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定 考点 方法 破译 1 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形 全等三角形的形状和大小完全相同 2 全等三角形性质 全等三角形对应边相等 对应角相等 全等三角形对应高 角平分线 中线相等 全等三角形对应周长相等 面积相等 3 全等三角形判定方法有 SAS ASA AAS SSS 对于两个直角三角形全等的判定方法 除上述方法外 还有 HL 法 4 证明两个三角形全等的关键 就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件 具 体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角 再根据选定的判定方法 确定还需要证 明哪些相等的边或角 再设法对它们进行证明 5 证明两个三角形全等 根据条件 有时能直接进行证明 有时要证的两个三角形 并不全等 这时需要添加辅助线构造全等三角形 构造全等三角形常用的方法有 平移 翻折 旋转 等倍延长线中线 截取等等 经典 考题 赏析 例 如图 AB EF DC ABC 90 AB CD 那么图中有全等三角形 A 5 对B 4 对C 3 对D 2 对 解法指导 从题设题设条件出发 首先找到比较明显的 一对全等三角形 并由此推出结论作为下面有用的条件 从而 推出第二对 第三对全等三角形 这种逐步推进的方法常用到 解 AB EF DC ABC 90 DCB 90 在 ABC 和 DCB 中 ABC DCB SAS A D ABDC ABCDCB BCCB 在 ABE 和 DCE 中 ABE DCE BE CE AD AEDDEC ABDC 在 Rt EFB 和 Rt EFC 中 BECE EFEF Rt EFB Rt EFC HL 故选 C 变式题组 01 天津 下列判断中错误的是 A 有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 A F C E DB C 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D 有一边对应相等的两个等边三角形全等 02 丽水 已知命题 如图 点 A D B E 在同一条直线上 且 AD BE A FDE 则 ABC DEF 判断这个命题是真命题还是假命题 如果是 真命题 请给出证明 如果是假命题 请添加一个适当条件使它成为真命题 并加以 证明 03 上海 已知线段 AC 与 BD 相交于点 O 连接 AB DC E 为 OB 的中点 F 为 OC 的中点 连接 EF 如图所示 添加条件 A D OEF OFE 求证 AB DC 分别将 A D 记为 OEF OFE 记为 AB DC 记为 添加 以 为结论构成命题 1 添加条件 以 为结论构成命题 2 命题 1 是 命题 命题 2 是 命题 选择 真 或 假 填入空格 例 已知 AB DC AE DF CF FB 求证 AF DE 解法指导 想证 AF DE 首先要找出 AF 和 DE 所在的三角形 AF 在 AFB 和 AEF 中 而 DE 在 CDE 和 DEF 中 因而只需证明 ABF DCE 或 AEF DFE 即可 然后再 根据已知条件找出证明它们全等的条件 证明 FB CE FB EF CE EF 即 BE CF 在 ABE 和 DCF 中 ABDC AEDF BECF ABE DCF SSS B C 在 ABF 和 DCE 中 ABF DCE AF DE ABDC BC BFCE 变式题组 01 如图 AD BE 是锐角 ABC 的高 相交于点 O 若 BO AC BC 7 CD 2 则 AO 的长为 A 2B 3C 4D 5 A B C D O FE A C E F B D A E 第 1 题图 A B C D E B C D O 第 2 题图 02 如图 在 ABC 中 AB AC BAC 90 AE 是过 A 点的一条直线 AE CE 于 E BD AE 于 D DE 4cm CE 2cm 则 BD 03 北京 已知 如图 在 ABC 中 ACB 90 CD AB 于点 D 点 E 在 AC 上 CE BC 过点 E 作 AC 的垂线 交 CD 的延长线于点 F 求证 AB FC A F EC B D 例 如图 ABC DEF 将 ABC 和 DEF 的顶点 B 和顶点 E 重合 把 DEF 绕点 B 顺时针方向旋转 这时 AC 与 DF 相交于点 O 当 DEF 旋转至如图 位置 点 B E C D 在同一直线上时 AFD 与 DCA 的 数量关系是 当 DEF 继续旋转至如图 位置时 中的结论成立吗 请说明理由 B E O C F 图 F A B C D E F A B E C D D A 图 图 解法指导 AFD DCA AFD DCA 理由如下 由 ABC DEF AB DE BC EF ABC DEF BAC EDF ABC FBC DEF CBF ABF DEC 在 ABF 和 DEC 中 ABDE ABFDEC BFEC ABF DEC BAF DEC BAC BAF EDF EDC FAC CDF AOD FAC AFD CDF DCA AFD DCA 变式题组 01 绍兴 如图 D E 分别为 ABC 的 AC BC 边的中点 将此三角形沿 DE 折叠 使点 C 落在 AB 边上的点 P 处 若 CDE 48 则 APD 等于 A 42 B 48 C 52 D 58 02 如图 Rt ABC 沿直角边 BC 所在的直线向右平移得到 DEF 下列结论中错误的是 A ABC DEFB DEF 90 C AC DF D EC CF EFB A B P DE C 第 1 题图 A C D G 第 2 题图 03 一张长方形纸片沿对角线剪开 得到两种三角形纸片 再将这两张三角形纸片摆成如 下图形式 使点 B F C D 在同一条直线上 求证 AB ED 若 PB BC 找出图中与此条件有关的一对全等三角形 并证明 BF A C E N M P D D A C B F E 例 第 21 届江苏竞赛试题 已知 如图 BD CE 分别是 ABC 的边 A C 和 AB 边上的高 点 P 在 BD 的延长线 BP AC 点 Q 在 CE 上 CQ AB 求证 AP AQ AP AQ 解法指导 证明线段或角相等 也就是证线段或角所在的两三角形全等 经观察 证 AP AQ 也就是证 APD 和 AQE 或 APB 和 QAC 全等 由已知条件 BP AC CQ AB 应该证 APB QAC 已具备两组边对应相等 于是再证夹角 1 2 即可 证 AP AQ 即证 PAQ 90 PAD QAC 90 就可以 证明 BD CE 分别是 ABC 的两边上的高 BDA CEA 90 1 BAD 90 2 BAD 90 1 2 在 APB 和 QAC 中 APB QAC 2 ABQC BPCA 1 2 1 A B C P Q E F D A B C D F E AP AQ APB QAC P CAQ P PAD 90 CAQ PAD 90 AP AQ 变式题组 01 如图 已知 AB AE B E BA ED 点 F 是 CD 的中点 求证 AF CD 02 湖州市竞赛试题 如图 在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上 梯子顶端距地面的垂 直距离 MA 为 am 此时梯子的倾斜角为 75 如果梯子底端不动 顶端靠在对面的墙 上 此时梯子顶端距地面的垂直距离 NB 为 bm 梯子倾斜角为 45 这间房子的宽度 是 A B C bmD am 2 ab m 2 ab m A E C B A 75 C 45 B N M 第 2 题图 第 3 题图 D 03 如图 已知五边形 ABCDE 中 ABC AED 90 AB CD AE BC DE 2 则五 边形 ABCDE 的面积为 演练巩固 反馈提高 01 海南 已知图中的两个三角形全等 则 度数是 A 72 B 60 C 58 D 50 第 3 题图 第 1 题图 C A ODB P 第 2 题图 A C A B B a c c a 50 b 72 58 02 如图 ACB A C B BCB 30 则 ACA 的度数是 A 20 B 30 C 35 D 40 03 牡丹江 尺规作图作 AOB 的平分线方法如下 以 O 为圆心 任意长为半径画弧交 OA OB 于 C D 再分别以点 C D 为圆心 以大于长为半径画弧 两弧交于 1 2 CD 点 P 作射线 OP 由作法得 OCP ODP 的根据是 A SASB ASAC AASD SSS 04 江西 如图 已知 AB AD 那么添加下列一个条件后 仍无法判定 ABC ADC 的是 A CB CD B BAC DAC C BCA DCA D B D 90 E 2 1 NA B D C 第 5 题图 A B C D E A B C D 第 4 题图 第 6 题图 M 05 有两块不同大小的等腰直角三角板 ABC 和 BDE 将它们的一个锐角顶点放在一起 将它们的一个锐角顶点放在一起 如图 当 A B D 不在一条直线上时 下面的结论 不正确的是 A ABE CBD B ABE CBD C ABC EBD 45 D AC BE 06 如图 ABC 和共顶点 A AB AE 1 2 B E BC 交 AD 于 M DE 交 AC 于 N 小华说 一定有 ABC AED 小明说 ABM AEN 那么 A 小华 小明都对 B 小华 小明都不对 C 小华对 小明不对 D 小华不对 小明对 07 如图 已知 AC EC BC CD AB ED 如果 BCA 119 ACD 98 那么 ECA 的 度数是 08 如图 ABC ADE BC 延长线交 DE 于 F B 25 ACB 105 DAC 10 则 DFB 的度数为 09 如图 在 Rt ABC 中 C 90 DE AB 于 D BC BD AC 3 那么 AE DE 第 10 题图 A B C D E 第 9 题图 EA B C D AB C D E F O C A E B D 第 7 题图 第 8 题图 10 如图 BA AC CD AB BC DE 且 BC DE 若 AB 2 CD 6 则 AE 11 如图 AB CD AB CD BC 12cm 同时有 P Q 两只蚂蚁从点 C 出发 沿 CB 方向爬 行 P 的速度是 0 1cm s Q 的速度是 0 2cm s 求爬行时间 t 为多少时 APB QDC D A C Q P B A EFB DC 12 如图 ABC 中 BCA 90 AC BC AE 是 BC 边上的中线 过 C 作 CF AE 垂 足为 F 过 B 作 BD BC 交 CF 的延长线于 D 求证 AE CD 若 AC 12cm 求 BD 的长 13 吉林 如图 AB AC AD BC 于点 D AD 等于 AE AB 平分 DAE 交 DE 于点 F 请 你写出图中三对全等三角形 并选取其中一对加以证明 14 如图 将等腰直角三角板 ABC 的直角顶点 C 放在直线 l 上 从另两个顶点 A B 分别作 l 的垂线 垂足分别为 D E 找出图中的全等三角形 并加以证明 若 DE a 求梯形 DABE 的面积 温馨提示 补形法 15 如图 AC BC AD BD AD BC CE AB DF AB 垂足分别是 E F 求证 CE DF 16 我们知道 两边及其中一边的对角分别对应相等的两 个三角形不一定全等 那么在什么情况下 它们会全等 阅读与证明 对于这两个三角形均为直角三角形 显然它们全等 对于这两个三角形均为钝角三角形 可证明它们全等 证明略 对于这两个三角形均为锐角三角形 它们也全等 可证明如下 已知 ABC A1B1C1均为锐角三角形 AB A1B1 BC B1C1 C C1 求证 ABC A1B1C1 请你将下列证明过程补充完整 A B C D A1 B1 C1 D1 归纳与叙述 由 可得一个正确结论 请你写出这个结论 D B A C E F A E B F DC B D EC l A A E F C DB 培优升级 奥赛检测 01 如图 在 ABC 中 AB AC E F 分别是 AB AC 上的点 且 AE AF BF CE 相交 于点 O 连接 AO 并延长交 BC 于点 D 则图中全等三角形有 A 4 对B 5 对C 6 对D 7 对 F 第 6 题图 2 1 A B C E N M 3 2 1 A D E BC F A D E CO A E O B F C D 第 1 题图 B 第 2 题图 第 3 题图 02 如图 在 ABC 中 AB AC OC OD 下列结论中 A B DE CE 连接 DE 则 OE 平分 AOB 正确的是 A B C D 03 如图 A 在 DE 上 F 在 AB 上 且 AC CE 1 2 3 则 DE 的长等于 A DC B BC C AB D AE AC 04 下面有四个命题 其中真命题是 A 两个三角形有两边及一角对应相等 这两个三角形全等 B 两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 C 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 05 在 ABC 中 高 AD 和 BE 所在直线相交于 H 点 且 BH AC 则 ABC 06 如图 EB 交 AC 于点 M 交 FC 于点 D AB 交 FC 于点 N E F 90 B C AE AF 给出下列结论 1 2 BE CF ACN ABM CD DB 其中 正确的结论有 填序号 07 如图 AD 为在 ABC 的高 E 为 AC 上一点 BE 交 AD 于点 F 且有 BF AC FD CD 求证 BE AC 若把条件 BF AC 和结论 BE AC 互换 这个命题成立吗 证明你的判定 08 如图 D 为在 ABC 的边 BC 上一点 且 CD AB BDA BAD AE 是 ABD 的中 线 求证 AC 2AE A B EDC A BC D E A E B D C 09 如图 在凸四边形 ABCD 中 E 为 ACD 内一点 满足 AC AD AB AE BAE BCE 90 BAC EAD 求证 CED 90 10 沈阳 将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图 方式摆放 其中 ACB DEB 90 A D 30 点 E 落在 AB 上 DE 所在直线交 AC 所在直线 于点 F 求证 AF EF DE 若将图 中 DBE 绕点 B 顺时针方向旋转角 且 0 60 其他条件不变 请在图 中画出变换后的图形 并直接写出 1 中结论是否仍然成立 若将图 中 DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 且 60 180 其他条件 不变 如图 你认为 1 中结论还成立吗 若成立 写出证明过程 若不成立 请写 出此时 AF EF 与 DE 之间的关系 并说明理由 11 嵊州市高中提前招生考试 阅读理解 课外兴趣小组活动时 老师提出了如下问题 在 ABC 中 AB 5 AC 13 求 BC 边上的中线 AD 的取值范 围 小明在组内经过合作交流 得到了如下的解决方法 延长 AD 到 E 使得 DE AD 再连接 BE 把 AB AC 2AD 集中在 ABE 中 利用三角形的三边关系可得 2 AE 8 则 1 AD 4 感悟 解题时 条件中若出现 中点 中线 等条件 可以考虑中线加倍 构造全等三角形 把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一 个三角形中 问题解决 受到 的启发 请你证明下面命题 如图 在 ABC 中 D 是 BC 边 上的中点 DE DF DE 交 AB 于点 E DF 交 AC 于点 F 连接 EF 求证 BE CF EF A F D FC B E D A C B E A C B 图 图 图 A B E F C D A D E G C H B 问题拓展 如图 在四边形 ABDC 中 B C 180 DB DC BDC 120 以 D 为顶点作一个 60 角 角的两边分别交 AB AC 于 E F 两点 连接 EF 探索线段 BE CF EF 之间的数量关系 并加以证明 12 北京 如图 已知 ABC 请你在 BC 边上分别取两点 D E BC 的中点除外 连接 AD AE 写出使此图 中只存在两对面积相等的三角形的相应条件 并表示出面积相等的三角形 请你根据使 成立的相应条件 证明 AB AC AD AE 13 如图 AB AD AC AE BAD CAE 180 AH AH 于 H HA 的延长线交 DE 于 G 求证 GD GE 14 已知 四边形 ABCD 中 AB AD BC CD BA BC ABC 120 MBN 60 MBN 绕 B 点旋转 它的两边分别交 AD DC 或它们的延长线 于 E F 当 MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时 如图 1 易证 AE CF EF 不需证明 当 MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时 如图 2 和图 3 中这两种情况下 上述结论是 否成立 若成立 请给予证明 若不成立 线段 AE CF EF 又有怎样的数量关系 请 写出你的猜想 不需证明 D A B C F N E M D 图 1 A B C F N E M D A B C F N E M图 2 图 3 A E B F C D C B A 4 3 2 1 N M A B O D P P C AB M N M N A B D C P 第第 2 讲讲 角平分线的性质与判定角平分线的性质与判定 考点 方法 破译 1 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 2 角平分线的判定定理 角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 3 有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形 经典 考题 赏析 例 如图 已知 OD 平分 AOB 在 OA OB 边上截取 OA OB PM BD PN AD 求证 PM PN 解法指导 由于 PM BD PN AD 欲证 PM PN 只需 3 4 证 3 4 只 需 3 和 4 所在的 OBD 与 OAD 全等即可 证明 OD 平分 AOB 1 2 在 OBD 与 OAD 中 OBD OAD12 OBOA ODOD 3 4 PM BD PN AD 所以 PM PN 变式题组 01 如图 CP BP 分别平分 ABC 的外角 BCM CBN 求证 点 P 在 BAC 的平分线上 02 如图 BD 平分 ABC AB BC 点 P 是 BD 延长线上的一点 PM AD PN CD 求证 PM PN E D A B C 2 1 F E D A B C D C AB 3 2 1 F E D C A B 例 天津竞赛题 如图 已知四边形 ABCD 中 AC 平分 BAD CE AB 于点 E 且 AE AB AD 如果 D 120 求 B 的度数 1 2 解法指导 由已知 1 2 CE AB 联想到可作 CF AD 于 F 得 CE CF AF AE 又由 AE AB AD 得 DF EB 于是可证 CFD CEB 则 1 2 B CDF 60 或者在 AE 上截取 AM AD 从而构造全等三角形 解 过点 C 作 CF AD 于点 F AC 平分 BAD CE AB 点 C 是 AC 上一点 CE CF 在 Rt CFA 和 Rt CEA 中 Rt ACF Rt ACE AF AE CFCE ACAC 又 AE AE BE AF DF 2AE AE AF BE DF BE DF 1 2 CF AD CE AB F CEB 90 在 CEB 和 CFD 中 CEB CFD CECF FCEB DFBE B CDF 又 ADC 120 CDF 60 即 B 60 变式题组 01 如图 在 ABC 中 CD 平分 ACB AC 5 BC 3 求 ACD CBD S S 02 河北竞赛 在四边形 ABCD 中 已知 AB a AD b 且 BC DC 对角线 AC 平分 BAD 问 a 与 b 的大小符合什么条件时 有 B D 180 请画图并证明你的结 论 例 如图 在 ABC 中 BAC 90 AB AC BE 平分 ABC CE BE 求证 CE BD 1 2 解法指导 由于 BE 平分 ABC 因而可以考虑过点 D 作 BC 的垂线或延长 CE 从而构 造全等三角形 证明 延长 CE 交 BA 的延长线于 F 1 2 BE BE BEF BEC BEF BEC ASA CE EF CE CF 1 F 3 F 90 1 2 1 3 在 ABD 和 ACF 中 ABD ACF 13 ABAC BADCAF D E C AB D F E B AC 图 1图 图 D CB A 图 2图 图 D BC A E P 图 3图 图 QS R P B AC 图 4图 图 EF BD A C 图 5图 图 E B C A BD CF CE BD 1 2 变式题组 01 如图 已知 AC BD EA EB 分别平分 CAB DBA CD 过点 E 求证 AB AC BD 02 如图 在 ABC 中 B 60 AD CE 分别是 BAC BCA 的平分线 AD CE 相 交于点 F 请你判断 FE 和 FD 之间的数量关系 并说明理由 求证 AE CD AC 演练巩固 反馈提高 01 如图 在 Rt ABC 中 C 90 BD 平分 ABC 交 AC 于 D 若 CD n AB m 则 ABD 的面积是 A mnB mnC mnD 2 mn 1 3 1 2 02 如图 已知 AB AC BE CE 下面四个结论 BP CP AD BC AE 平分 BAC PBC PCB 其中正确的结论个数有 个 A 1B 2C 3D 4 03 如图 在 ABC 中 P Q 分别是 BC AC 上的点 作 PR AB PS AC 垂足分别是 R S 若 AQ PQ PR PS 下列结论 AS AR PQ AR BRP CSP 其中 正确的是 A B C D 04 如图 ABC 中 AB AC AD 平分 BAC DE AB DF AC 垂足分别是 E F 则 下列四个结论中 AD 上任意一点到 B C 的距离相等 AD 上任意一点到 AB AC 的距离相等 AD BC 且 BD CD BDE CDF 其中正确的是 A B C D 图 6图 图 F E D P A BC 图 7图 图 P A BC E F 图 8图 图 D A B C E 图 9图 图 E DC A B 图 10图 图 K N M Q CB A F B D E CA O F E D A BC 05 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 CAB 30 ACB 的平分线与 ABC 的外角 平分线交于 E 点 则 AEB 的度数为 A 50 B 45 C 40 D 35 06 如图 P 是 ABC 内一点 PD AB 于 D PE BC 于 E PF AC 于 F 且 PD PE PF 给出下列结论 AD AF AB EC AC BE BC CF AB AF 点 P 是 ABC 三条角平分线的交点 其中正确的序号是 A B C D 07 如图 点 P 是 ABC 两个外角平分线的交点 则下列说法中不正确的是 A 点 P 到 ABC 三边的距离相等B 点 P 在 ABC 的平分线上 C P 与 B 的关系是 P B 90 D P 与 B 的关系是 B P 1 2 1 2 08 如图 BD 平分 ABC CD 平分 ACE BD 与 CD 相交于 D 给出下列结论 点 D 到 AB AC 的距离 相等 BAC 2 BDC DA DC DB 平分 ADC 其中正确的个数是 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 09 如图 ABC 中 C 90 AD 是 ABC 的角平分线 DE AB 于 E 下列结论中 AD 平分 CDE BAC BDE DE 平分 ADB AB AC BE 其中正确的 个数有 A 3 个B 2 个C 1 个D 4 个 10 如图 已知 BQ 是 ABC 的内角平分线 CQ 是 ACB 的外角平分线 由 Q 出发 作点 Q 到 BC AC 和 AB 的垂线 QM QN 和 QK 垂足分别为 M N K 则 QM QN QK 的关系是 11 如图 AD 是 BAC 的平分线 DE AB 于 E DF AC 于 F 且 DB DC 求证 BE CF 12 如图 在 ABC 中 AD 是 BAC 的平分线 DE AB 于点 E DF AC 于点 F 求证 AD EF l1 l2 l3 图 1图 图 图 3图 图 D C ABP 图 4图 图 F G E P A B C D 图 5图 图 E O D B A C G P F E DCB A P D A BC Q P CB A 培优升级 奥赛检测 01 如图 直线 l1 l2 l3表示三条相互交叉的公路 现要建一个货物中转站 要求它到三 条公路的距离相等 则可选择的地址有 A 一处B 二处C 三处D 四处 02 已知 Rt ABC 中 C 90 AD 平分 BAC 交 BC 于 D 若 BC 32 且 BD CD 9 7 则 D 到 AB 边的距离为 A 18B 16C 14D 12 03 如图 ABC 中 C 90 AD 是 ABC 的平分线 有一个动点 P 从 A 向 B 运动 已 知 DC 3cm DB 4cm AD 8cm DP 的长为 x cm 那么 x 的范围是 04 如图 已知 AB CD PE AB PF BD PG CD 垂足分别为 E F G 且 PF PG PE 则 BPD 05 如图 已知 AB CD O 为 CAB ACD 的平分线的交点 OE AC 且 OE 2 则两 平行线 AB CD 间的距离等于 06 如图 AD 平分 BAC EF AD 垂足为 P EF 的延长线于 BC 的延长线相交于点 G 求 证 G ACB B 1 2 07 如图 在 ABC 中 AB AC AD 是 BAC 的平分线 P 为 AC 上任意一点 求证 AB AC DB DC 08 如图 在 ABC 中 BAC 60 ACB 40 P Q 分别在 BC AC 上 并且 AP BQ 分别为 BAC ABC 的角平分线上 求证 BQ AQ AB BP 第第 3 讲讲 轴对称及轴对称变换轴对称及轴对称变换 考点 方法 破译 1 轴对称及其性质 把一个图形沿着某一条直线折叠 如果它能够与另一个图形重合 那么就说这两个图 形关于这条直线成轴对称 这条直线叫对称轴 轴对称的两个图形有如下性质 关于某直线对称的两个图形是全等形 对称轴是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线 两个图形关于某条直线对称 如果它们的对应 线段或延长线相交 那么交点在对称轴上 2 线段垂直平分线 线段垂直平分线也叫线段中垂线 它反映了与线段的两种关系 位置关系 垂直 数量关系 平分 性质定理 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 判定定理 与一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 3 当已知条件中出现了等腰三角形 角平分线 高 或垂线 或求几条折线段的最 小值等情况时 通常考虑作轴对称变换 以 补齐 图形 集中条件 经典 考题 赏析 例 兰州 如图所示 将一张正方形纸片对折两次 然后在上面打 3 个洞 则纸 片展开后是 解法指导 对折问题即是轴对称问题 折痕就是对称轴 故选 D 变式题组 01 将正方形纸片两次对折 并剪出一个菱形小洞后铺平 得到的图形是 02 荆州 如图 将矩形纸片 ABCD 沿虚线 EF 折叠 使点 A 落在点 G 上 点 D 落在点 H 上 然后再沿虚线 GH 折叠 使 B 落在点 E 上 点 C 落在点 F 上 叠完后 剪一个直 径在 BC 上的半圆 再展开 则展开后的图形为 例 2 襄樊 如图 在边长为 1 的正方形网格中 将 ABC 向右平移两个单位长度 得到 A B C 则与点 B 关于 x 轴对称的点的坐标是 A 0 1 B 1 1 C 2 1 D 1 1 解法指导 在 ABC 中 点 B 的坐标为 1 1 将 ABC 向右平移两个单位长度得到 A B C 由点的坐标平移规律可 得 B 1 2 1 即 B 1 1 由关于 x 轴对称的点的坐标 的规律可得点 B 关于 x 轴对称的点的坐标是 1 1 故应选 D 变式题组 01 若点 P 2 3 与点 Q a b 关于 x 轴对称 则 a b 的值分别是 A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2 3 02 在直角坐标系中 已知点 P 3 2 点 Q 是点 P 关于 x 轴的对称点 将点 Q 向右平 移 4 个单位得到点 R 则点 R 的坐标是 03 荆州 已知点 P a 1 2a 1 关于 x 轴的对称点在第一象 限 则 a 的取值范围为 例 3 如图 将一个直角三角形纸片 ABC ACB 90 沿线段 CD 折叠 使点 B 落在 B1处 若 ACB1 70 则 ACD A 30 B 20 C 15 D 10 解法指导 由折叠知 BCD B1CD 设 ACD x 则 BCD B1CD ACB1 ACD 70 x 又 ACD BCD ACB 即 x 70 x 90 故 x 10 故选 D 变式题组 01 东营 如图 把一个长方形纸片沿 EF 折叠后 点 D C 分别落在点 D C 的位置 若 EFB 65 则 AED 等于 A 70 B 65 C 50 D 25 02 如图 ABC 中 A 30 以 BE 为边 将此三角形对折 其次 又以 BA 为边 再一次对折 C 点落在 BE 上 此时 CDB 82 则原三角形中 B 03 江苏 观察与发现 小明将三角形纸片 ABC AB AC 沿过点 A 的直线折叠 使 得 AC 落在 AB 边上 折痕为 AD 展平纸片 如图 再次折叠该三角形纸片 使点 A 和点 D 重合 折痕为 EF 展平纸片后得到 AEF 如图 小明认为 AEF 是等腰 三角形 你同意吗 请说明理由 实践与运用 将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠 使点 A 落在 BC 边上的点 F 处 折痕为 BE 如图 再沿过点 E 的直线折叠 使点 D 落在 BE 上的点 D 处 折痕为 EG 如 图 再展平纸片 如图 求图 中 的大小 例 4 如图 在 ABC 中 AD 为 BAC 的平分线 EF 是 AD 的垂直平分线 E 为垂 足 EF 交 BC 的延长线于点 F 求证 B CAF 解法指导 EF 是 AD 的中垂线 则可得 AEF DEF EAF EDF 从而利用角平分线的 定义与三角形的外角转化即可 证明 EF 是 AD 的中垂线 AE DE AEF DEF EF EF AEF DEF 2 4 3 3 B 1 2 4 B 1 1 2 B 4 变式题组 01 如图 点 D 在 ABC 的 BC 边上 且 BC BD AD 则点 D 在 的垂直平分线 上 02 如图 ABC 中 ABC 90 C 15 DE AC 于 E 且 AE EC 若 AB 3cm 则 DC cm 03 如图 ABC 中 BAC 126 DE FG 分别为 AB AC 的垂直平分线 则 EAG 04 ABC 中 AB AC AB 边的垂直平分线交 AC 于 F 若 AB 12cm BCF 的周长为 20cm 则 ABC 的周长是 cm 例 5 眉山 如图 在 3 3 的正方形格点图中 有格点 ABC 和 DEF 且 ABC 和 DEF 关于某直线成轴对称 请在下面的备用图中画出所有这样的 DEF 解法指导 在正方形格点图中 如果已知条件中没有给对称轴 在找对称轴时 通 常找图案居中的水平直线 居中的竖直直线或者斜线作为对称轴 若以图案居中的水平直 线为对称轴 所作的 DEF 如图 所示 若以图案居中的竖直直线为对称轴 所作的 DEF 如图 所示 若以图案居中的斜线为对称轴 所作的 DEF 如图 所示 变式题组 01 泰州 如图 在 2 2 的正方形格点图中 有一个以格点为顶点的 ABC 请你 找出格点图中所有与 ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形 这样的三角形共有 个 02 绍兴 如图甲 正方形被划分成 16 个 全等的三角形 将其中若干个三角形涂黑 且满足下列条件 涂黑部分的面积是原正方形面积的一半 涂黑部分成轴对称图形 如图乙是一种涂法 请在图 1 3 中分别设计另外三种涂法 在 所设计的图案中 若涂黑部分全等 则认为是同一种不同涂法 如图乙与图丙 例 6 如图 牧童在 A 处放牛 其家在 B 处 若牧童从 A 处出发牵牛到河岸 CD 处 饮水后回家 试问在何处饮水 所求路程最短 解法指导 所求问题可转化为 CD 上取一点 M 使其 AM BM 为最小 本题利用轴对称知识进行解答 解 先作点 A 关于直线 CD 的对称点 A 连接 A B 交 CD 于点 M 则点 M 为所求 下面证明此时的 AM BM 最小 证明 在 CD 上任取与 M 不重合的点 M AA 关于 CD 对称 CD 为线段 AA 的中垂线 AM A M M A M 在 A M B 中 有 A B A M BM A M BM A M BM AM BM AM BM 即 AM BM 最小 变式题组 01 山西 设直线 l 是一条河 P Q 两地相距 8 千米 P Q 两地到 l 地距离分别为 2 千 米 5 千米 欲在 l 上的某点 M 处修建一个水泵站向 P Q 两地供水 现在如下四种铺 设管道方案 图中的实线表示辅设的管道 则铺设的管道最短的是 02 若点 A B 是锐角 MON 内两点 请在 OM ON 上确定点 C 点 D 使四边形 ABCD 周长最小 写出你作图的主要步骤并标明你确定的点 演练巩固 反馈提高 01 黄冈 如图 ABC 与 A B C 关于直线 l 对称 且 A 78 C 48 则 B 的度数是 A 48 B 54 C 74 D 78 02 泰州 如图 把一张长方形纸片对折 折痕为 AB 再以 AB 的中点 O 为顶点把平角 AOB 三等分 沿平角的三等分线折叠 将折叠后的图形剪出一个以 O 为顶点的等腰 三角形 那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是 A 正三角形 B 正方形 C 正五边形 D 正六边形 03 图 1 是四边形纸片 ABCD 其中 B 120 D 50 若将其右下角向内折出 PCR 恰使 CP AB RC AD 如图 2 所示 则 C A 80 B 85 C 95 D 110 04 如图 阴影部分组成的图案既是关于 x 轴成轴对称的图形又是关于 y 轴成轴对称的图 形 若点 A 的坐标是 1 3 则点 M 和点 N 的坐标分别是 A M 1 3 N 1 3 B M 1 3 N 1 3 C M 1 3 N 1 3 D M 1 3 N 1 3 05 点 P 关于 x 轴对称的对称点 P 的坐标是 3 5 则点 P 关于 y 轴对称的对称点的 坐标是 A 3 5 B 5 3 C 3 5 D 5 3 06 已知 M 1 a 2a 2 关于 y 轴对称的点在第二象限 则 a 的取值范围是 A 1 a 1 B 1 a 1 C a 1 D a 1 07 杭州 如图 镜子中号码的实际号码是 08 贵阳 如图 正方形 ABCD 的边长为 4cm 则图中阴影部分的面积为 cm2 09 已知点 A 2a 3b 2 和 B 8 3a 2b 关于 x 轴对称 则 a b 10 如图 在 ABC 中 OE OF 分别是 AB AC 中垂线 且 ABO 20 ABC 45 求 BAC 和 ACB 的度数 11 如图 C D E F 是一个长方形台球桌的 4 个顶点 A B 是桌面上的两个球 怎样 击打 A 球 才能使 A 球撞击桌面边缘 CF 后反弹能够撞击 B 球 请画出 A 球经过的路 线 并写出作法 12 如图 P 为 ABC 的平分线与 AC 的垂直平分线的交点 PM BC 于 M PN BA 的延 长线于 N 求证 AN MC 13 荆州 有如图 的 8 张纸条 用每 4 张拼成一个正方形图案 拼成的正方 形的每一行和每一列中 同色的小正方形仅为 2 个 且使每个正方形图案都是轴对称 图形 在网格中画出你拼成的图 画出的两个图案不能全等 培优升级 奥赛检测 01 浙江竞赛试题 如图 直线 l1与直线 l2相交 60 点 P 在 内 不在 l1l2上 小明用下面的方法作 P 的对称 点 先以 l1为对称轴作点 P 关于 l1的对称点 P1 再以 l2为对称 轴作 P1关于 l2的对称点 P2 然后再以 l1为对称轴作 P2关于 l1 的对称点 P3 以 l2为对称轴作 P3关于 l2的对称点 P4 如 此继续 得到一系列 P1 P2 P3 Pn与 P 重合 则 n 的最 小值是 A 5 B 6 C 7 D 8 02 在平面直角坐标系中 直线 l 过点 M 3 0 且平行于 y 轴 如果 ABC 三个顶点的坐标分别是 A 2 0 B 1 0 C 1 2 ABC 关于 y 轴的对称图形 A1B1C1 A1B1C1关于直线 l 的对称图形是 A2B2C2 写出 A2B2C2的三个顶点的坐标 如果点 P 的坐标是 a 0 其中 a 0 点 P 关于 y 轴的对称点是点 P1 点 P1关 于直线 l 的对称点是 P2 求 PP2的长 03 荆州 某住宅小区拟栽种 12 棵风景树 若想栽成 6 行 每行 4 棵 且 6 行树所处位 置连成线后能组成精美的对称图案 请你仿照举例在下面方框中再设计两种不同的栽 树方案 04 宜昌 已知 如图 AF 平分 BAC BC AF 垂足为 E 点 D 与点 A 关于点 E 对称 PB 分别与线段 CF AF 相交于 P M 求证 AB CD 若 BAC 2 MPC 请你判断 F 与 MCD 的数量 关系 并说明理由 05 在 ABC 中 BAC 90 点 A 关于 BC 边的对称点为 A 点 B 关于 AC 边的对称点 为 B 点 C 关于 AB 边的对称点为 C 若 S ABC 1 求 S A B C 06 湖州市竞赛试题 小王同学在小组数学活动中 给本小组出了这样一道 对称跳棋 题 如图 在作业本上画一条直线 l 在直线 l 两边各放一粒围棋子 A B 使线段 AB 长 a 厘米 并关于直线 l 对称 在图中 P1处有一粒跳棋子 P1距 A 点 b 厘米 与直线 l 的距离 C 厘米 按以下程序起跳 第 1 次 从 P1点以 A 为对称中心跳至 P2点 第 2 次 从 P2点以 l 为对称轴跳至 P3点 第 3 次 从 P3点以 B 为对称中心跳至 P4点 第 4 次 从 P4以 l 为对称轴跳至 P1点 画出跳棋子这 4 次跳过的路径并标注出各点字母 画图工具不限 棋子按上述程序跳跃 2011 次后停下 假设 a 8 b 6 c 3 计算这时它与 A 的 距离是多少 07 湖州 如图 已知平面直角坐标系 A B 两点的坐标分别为 A 2 3 B 4 1 若 P p 0 是 x 轴上的一个动点 则当 p 时 PAB 的周长最短 若 C a 0 D a 3 0 是 x 轴上的两个动点 则当 a 时 四边 形 ABCD 的周长最短 设 M N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点 请问 是否存在这样的点 M m 0 N 0 n 使四边形 ABMN 的周长最短 若存在 请求出 m n 不必写解答过程 若不存在 请说明理由 第第 4 讲讲 等腰三角形等腰三角形 考点 方法 破译 1 等腰三角形及其性质 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 等腰三角形是轴对称图形 因此它的性质有 等腰三角形的两个底角相等 即等边对等角 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中 线 底边上的高互相重合 即等腰三角形三线合一 2 等腰三角形的判定 证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是 从定义入手 证明一个三角形有两条 边相等 从角入手 证明一个三角形有两个角相等 依据是等腰三角形判定定理 等角 对等边 3 构造等腰三角形的常用方法 角平分线 平行线 等腰三角形 角平分线 垂线 或高 等腰三角形 线段中垂线构造等腰三角形 将 2 倍角转化为相等角构造等腰三角形 2 1 3 1 2 2 1 4 3 2 1 经典 考题 赏析 例 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 400 则这个等腰三角形的 底角为 解法指导 若问题中涉及到三角形的高 则要分别考虑三角形的高是在三角形的 外 三角形内的情况 解 如图 1 当一腰上的高在三角形内时 ACD 400 A 500 B ACB 1800 500 2 650 如图 2 当一腰上的高在三角形外时 ACD 400 DAC 500 DAC B ACB 2 B B ACB 250 故填 650或 250 C A D B A C D B 图 2 图 1 变式题组 01 呼和浩特 在等腰 ABC 中 AB AC 一边上的中线 BD 将这个三角形的周长分为 15 和 12 两个部分 则这个等腰三角形的底边长为 A 7 B 11 C 7 或 11 D 7 或 10 02 黄冈 在 ABC 中 AB AC AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得到锐角为 500 则 B 度 03 襄樊 在 ABC 中 AB AC 12cm BC 6cm D 为 BC 的中点 动点 P 从 B 点出发 以每秒 1cm 的速度沿 B A C 的方向运动 设运动时间为 t 那么当 t 秒 时 过 D P 两点的直线将 ABC 的周长分成两个部分 使其中一部分是另一部分的 2 倍 例 如图 在 ABC 中 AB AC 点 D 在 AC 上 AD BD BC 求 A 的度 数 解法指导 图中的等腰三角形多 可利用等腰三角形的性质 用方程的思想求角 的度数 解 设 A x BD AD A ABD x BDC A ABD 2x BD BC C BDC 2x AB AC C ABC 2x 在 ABC 中 A ABC ACB 180 x 2x 2x 180 x 36 A