【走向高考】2013高三数学一轮总复习 4-8正弦定理、余弦定理的应用举例同步练习 北师大版

1 4 84 8 正弦定理 余弦定理的应用举例正弦定理 余弦定理的应用举例 基 础 巩 固 一 选择题 1 两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等 灯塔A在观察站北偏东 40 灯塔 B在观察站的南偏东 60 则灯塔A在灯塔B的 A 北偏东 10 B 北偏西 10 C 南偏东 10 D 南偏西 10 答案 B 解析 由图可知 ACB 180 40 60 80 AC BC A CBA 180 80 50 1 2 CE BD CBD BCE 60 ABD CBD CBA 60 50 10 灯塔A在灯塔B的北偏西 10 2 如图所示 设A B两点在河的两岸 一测量者在A所在的河岸边选定一点C 测 出AC的距离为 50m ACB 45 CAB 105 后 就可以计算A B两点的距离为 A 50m B 50m 23 C 25m D m 2 25 2 2 答案 A 2 解析 由题意知 ABC 30 由正弦定理 AC sin ABC AB sin ACB AB 50 m AC sin ACB sin ABC 50 2 2 1 22 3 已知A B两地间的距离为 10km B C两地间的距离为 20km 现测得 ABC 120 则A C两地间的距离为 A 10km B km 3 C 10km D 10km 57 答案 D 解析 利用余弦定理AC2 AB2 BC2 2AB BCcos120 102 202 2 10 20 700 1 2 AC 10 km 7 4 一船向正北航行 看见正西方向有相距 10n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线 上 继续航行半小时后 看见一灯塔在船的南偏西 60 另一灯塔在船的南偏西 75 则 这只船的速度是每小时 A 5n mile B 5n mile 3 C 10n mile D 10n mile 3 答案 C 解析 依题意有 BAC 60 BAD 75 所以 CAD CDA 15 从而 CD CA 10 在直角三角形ABC中 可得AB 5 于是这只船的速度是 10 n 5 0 5 mile h 5 文 为测量某塔AB的高度 在一幢与塔AB相距 20m 的楼顶D处测得塔顶A的仰角 为 30 测得塔基B的俯角为 45 那么塔AB的高度是 3 A 20m B 20m 1 3 3 1 3 2 C 20 1 m D 30m 3 答案 A 解析 如图所示 四边形CBMD为正方形 而CB 20 m 所以BM 20 m 又在 Rt AMD中 DM 20m ADM 30 AM DMtan30 m 20 3 3 AB AM MB 20 20 m 20 3 3 1 3 3 理 如图所示 D C B三点在地面同一直线上 DC a 从C D两点测得A点的仰 角分别是 0 x 1 6 理 一人向东走了xkm 后转向南偏西 60 走了 3km 结果他离出发点恰好km 则x 3 的值为 A B 2 33 C 2或 D 3 33 答案 C 解析 如图所示 在 ABC中 AB x BC 3 AC ABC 30 由余弦定理 3 得 2 32 x2 2 3 x cos30 3 即x2 3x 6 0 解得x1 x2 2 经检验均合题意 333 二 填空题 7 海上有A B两个小岛相距 10n mile 从A岛望C岛和B岛成 60 的视角 从B岛 望C岛和A岛成 75 的视角 则B C的距离是 答案 5n mile 6 解析 在 ABC中由正弦定理得 10 sin45 BC sin60 BC 5 6 8 我舰在岛A南 50 西 12n mile 的B处 发现敌舰正从岛沿北 10 西的方向以每小 5 时 10n mile 的速度航行 若我舰要用 2h 追上敌舰 则速度为 答案 14n mile h 解析 设我舰在C处追上敌舰 速度为v 则在 ABC中 AC 20 AB 12 BAC 120 BC2 784 v 14n mile h 三 解答题 9 如图A B是海面上位于东西方向相距 5 3 n mile 的两个观测点 现位于A点北 3 偏东 45 B点北偏西 60 的D点有一艘轮船发出求救信号 位于B点南偏西 60 且与B 点相距 20n mile 的C点的救援船立即前往营救 其航行速度为 30n mile h 该救援船 3 到达D点需要多长时间 解析 本题考查正余弦定理在实际问题中的应用 本题要结合图形确定恰当三角形 进行边角的求解 求解过程中三角函数的变形 转化是易错点 注意运算的准确性 由题意知AB 5 3 n mile 3 DBA 90 60 30 DAB 45 ADB 105 6 在 DAB中 由正弦定理得 DB sin DAB AB sin ADB DB AB sin DAB sin ADB 5 3 3 sin45 sin105 5 3 3 sin45 sin45 cos60 sin60 cos45 10 n mile 5 3 3 1 3 1 23 又 DBC DBA ABC 30 90 60 60 BC 20 n mile 3 在 DBC中 由余弦定理得 CD2 BD2 BC2 2BD BC cos DBC 300 1200 2 10 20 900 33 1 2 CD 30 n mile 则需要的时间t 1 h 30 30 答 救援船到达D点需要 1h 点评 本题考查了利用正 余弦定理解实际应用题 难度较小 但考生做得极不理 想 其原因是平时做的这一类题太少 考生失分点是 一是对方向角的概念不清 二是BD 的长度计算出错 三是不能利用 ABD求BD 能 力 提 升 一 选择题 1 文 一船自西向东匀速航行 上午 10 时到达一座灯塔P的南偏西 75 距塔 68n mile 的M处 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的N处 则这只船的航行速度为 A n mile h B 34n mile h 17 6 26 C n mile h D 34n mile h 17 2 22 答案 A 解析 如图所示 在 PMN中 PM sin45 MN sin120 MN 34 v n mile h 68 3 26 MN 4 17 2 6 7 理 如图 在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为 15 向山顶前进 100m 到达B后 又测得C对于山坡的斜度为 45 若CD 50m 山坡对 于地平面的坡角为 则 cos A B 2 3 23 C 1 D 3 2 2 答案 C 解析 在 ABC中 BC ABsin BAC sin ACB 50 100sin15 sin 45 15 62 在 BCD中 sin BDC 1 由图知 BCsin CBD CD 50 6 2 sin45 503 cos sin ADE sin BDC 1 3 2 空中有一气球 在它的正西方A点测得它的仰角为 45 同时在它南偏东 60 的 B点 测得它的仰角为 30 若A B两点间的距离为 266m 这两个观测点均离地 1m 那 么测量时气球到地面的距离是 A m B m 266 7 7 266 7 7 1 C 266m D 266m 7 答案 B 8 解析 如图 D为气球C在过AB且与地面平行的平面上的正投影 设CD xm 依题 意知 CAD 45 CBD 30 则AD xm BD xm 在 ABD中 由余弦定理得 3 AB2 AD2 BD2 2AD BD cos ADB 即 2662 x2 x 2 2x x cos150 7x2 33 解得x 故测量时气球到地面的距离是m 故选 B 266 7 7 266 7 7 1 二 填空题 3 在直径为 30m 的圆形广场中央上空 设置一个照明光源 射向地面的光呈圆形 且 其轴截面顶角为 120 若要光源恰好照亮整个广场 则光源的高度为 m 答案 5 3 解析 轴截面如图 则光源高度h 5 m 15 tan60 3 4 海平面上的甲船位于中心O的南偏西 30 与O相距 10n mile 的C处 现甲船以 30n mile h 的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向 20n mile 的B处的乙船 甲船需 要 h 到达B处 9 答案 7 3 解析 由题意 对于CB的长度 由余弦定理 得 CB2 CO2 OB2 2CO OBcos120 100 400 200 700 CB 10 n mile 7 甲船所需时间为 h 10 7 30 7 3 三 解答题 5 如图某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东 75 距离为 12n mile 在A处看灯塔 6 C在货轮的北偏西 30 距离为 8n mile 货轮由A处向正北航行到D处时 再看灯塔 3 B在南偏东 60 求 1 A处与D处的距离 2 灯塔C与D处的距离 结果精确到 1n mile 解析 1 在 ABD中 ADB 60 B 45 由正弦定理得 10 AD 24 n mile ABsinB sin ADB 12 6 2 2 3 2 2 在 ADC中 由余弦定理得 CD2 AD2 AC2 2AD ACcos30 解得CD 8 14 n mile 3 即A处与D处的距离为 24n mile 灯塔C与D处的距离约为 14n mile 6 如图 某住宅小区的平面图呈扇形AOC 小区的两个出入口设置在点A及点C处 小 区里有两条笔直的小路AD DC 且拐弯处的转角为 120 已知某人从C沿CD走到D用了 10min 从D沿DA走到A用了 6min 若此人步行的速度为每分钟 50m 求该扇形的半径OA 的长 精确到 1m 解析 方法一 设该扇形的半径为rm 由题意得 CD 500 m DA 300 m CDO 60 在 CDO中 CD2 OD2 2CD OD cos60 OC2 即 5002 r 300 2 2 500 r 300 r2 1 2 解得r 445 m 4900 11 11 方法二 如图 连接AC 作OH AC 交AC于H 由题意得CD 500 m AD 300 m CDA 120 ACD中 AC2 CD2 AD2 2CD AD cos120 5002 3002 2 500 300 7002 1 2 AC 700 m cos CAD AC2 AD2 CD2 2 AC AD 11 14 在 Rt HAO中 AH 350 m cos HAO 11 14 OA 445 m AH cos HAO 4 900 11 7 某单位在抗雪救灾中 需要在A B两地之间架设高压电线 测量人员在相距 6000m 的C D两地 A B C D在同一平面上 测得 ACD 45 ADC 75 BCD 30 BDC 15 如图 假设考虑到电线的自然下垂的施工损耗等原因 实际 所需电线长度大约是A B距离的 1 2 倍 问 施工单位至少应该准备多长的电线 参考 数据 1 4 1 7 2 6 237 12 解析 在