【创新设计】2011高中数学二轮复习 考点突破 第一部分 专题四 专题检测（四） 理

用心 爱心 专心 1 专题检测卷专题检测卷 四四 数列 不等式 推理与证明数列 不等式 推理与证明 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共计 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 1 已知正数组成的等差数列 an 的前 20 项的和为 100 那么a7 a14的最大值为 A 25 B 50 C 100 D 不存在 解析 由S20 100 得a1 a20 10 a7 a14 10 又a7 0 a14 0 a7 a14 2 25 a7 a14 2 答案 A 2 2010 九江二模 已知函数f x log2x 等比数列 an 的首项a1 0 公比q 2 若f a2a4a6a8a10 25 则 2f a1 f a2 f a2 009 A 21 004 2 008 B 21 004 2 009 C 21 005 2 008 D 21 005 2 009 解析 等比数列 an 的首项a1 0 公比q 2 an a12n 1 又f x log2x log2 a2a4a6a8a10 25 可得a 225 a125 5 225 5 6 a1 1 2f a1 f a2 f a2 009 a1a2 a2 009 22 009 1 004 答案 B 3 设x y R R a 1 b 1 若ax by 3 a b 2 则 的最大值为 3 1 x 1 y A 2 B 3 2 C 1 D 1 2 解析 ax by 3 x loga3 y logb3 log3a log3b log3 ab log3 log33 1 1 x 1 y a b 2 4 答案 C 4 2010 湖北八校第二次联考 等差数列 an 中 Sn是其前n项和 a1 2 008 2 S2 007 2 007 S2 005 2 005 则S2 008的值为 A 2 006 B 2 006 C 2 008 D 2 008 用心 爱心 专心 2 解析 由已知 2 的结构 可联想到等差数列 an 的前n项和Sn的变式 S2 007 2 007 S2 005 2 005 a1 n 1 故由 2 得 1 2 008 2 008 1 1 1 S2 008 2 Sn n d 2 S2 007 2 007 S2 005 2 005 d 2 S2 008 2 008 008 答案 C 5 已知f x 1 f 1 1 x N N 猜想f x 的表达式为 2f x f x 2 A f x B f x 4 2x 2 2 x 1 C f x D f x 1 x 1 2 2x 2 解析 解法一 由f x 1 2f x f x 2 得 1 f x 1 1 f x 1 2 是以 1 为首项 为公差的等差数列 1 f x 1 f 1 1 2 1 x 1 1 f x 1 2 x 1 2 则f x 2 x 1 解法二 由f x 1 且f 1 1 2f x f x 2 f 2 f 3 2 1 2 2 2 3 2 3 2 2 1 3 又f 1 2 1 1 由此猜想f n 即f x x N N 2 n 1 2 x 1 答案 B 6 2010 北京 设不等式组Error 表示的平面区域为D 若指数函数y ax的图象上存在区域D上的点 则 a的取值范围是 A 1 3 B 2 3 C 1 2 D 3 解析 平面区域D如图所示 用心 爱心 专心 3 要使指数函数y ax的图象上存在区域D上的点 1 a 3 答案 A 7 2010 黄岗质检 已知等比数列 an 中 a2 1 则其前 3 项的和S3的取值范围是 A 1 B 1 1 C 3 D 1 3 解析 等比数列 an 中 a2 1 S3 a1 a2 a3 a2 1 q 1 q 1 q 1 q 当公比q 0 时 S3 1 q 1 2 3 当公比q 0 时 S3 1 1 2 1 q q 1 q q 1 q 1 S3 1 3 q 1 q 答案 D 8 2010 福建 设不等式组Error 所表示的平面区域是 1 平面区域 2与 1关于直线 3x 4y 9 0 对称 对于 1中的任意点A与 2中的任意点B AB 的最小值等于 A B 4 28 5 C D 2 12 5 解析 画出不等式组所表示的平面区域如下图所示 观察图形可知 D 1 1 到直线 3x 4y 9 0 的 距离最小 故D关于直线 3x 4y 9 0 对称的点D D 在 2内 的距离 DD 最小 D到直线 3x 4y 9 0 的距离为 2 故 DD 4 3 4 9 5 用心 爱心 专心 4 答案 B 9 2010 贵阳模拟 给出如下三个命题 四个非零实数a b c d依次成等比数列的充要条件是ad bc 设a b R R 且ab 0 若 1 则 1 a b b a 若f x log2x 则f x 是偶函数 其中不正确命题的序号是 A B C D 解析 中 a b c d满足ad bc时 其中可以有 0 错 中 若 1 则 的取值范围是 0 1 所以 错误 a b b a 中 f x log2 x 的定义域是 x x R R 且x 0 且f x f x 成立 故f x 是偶函数 正确 答案 A 10 2009 湖北 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如 用心 爱心 专心 5 他们研究过图 1 中的 1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似地 称图 2 中 的 1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A 289 B 1 024 C 1 225 D 1 378 解析 由图 1 可知 满足三角形数的通项an n n 1 2 由图 2 知 满足正方形数的通项bm m2 由 289 172 1 024 322 1 225 352知 有三个正方形数 而点 289 172不可能是三角形数 且 1 225 知 1 225 是三角形数 选 C 49 50 2 答案 C 11 2010 山东潍坊二模 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用A原料 3 吨 B原料 2 吨 生产每吨乙产品要用A原料 1 吨 B原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 1 万元 每吨乙产品可获得利 润 3 万元 该企业在某个生产周期内甲产品至少生产 1 吨 乙产品至少生产 2 吨 消耗A原料不超过 13 吨 消耗B原料不超过 18 吨 那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是 A 1 吨 B 2 吨 C 3 吨 D 吨 11 3 解析 设该企业在这个生产周期内生产x吨甲产品 生产y吨乙产品 x y满足的条件为Error 所获得的利润z x 3y 作出如图所示的可行域 用心 爱心 专心 6 作直线l0 x 3y 0 平移直线l0 显然 当直线经过点A时所获利润最大 此时甲产品的产量为 1 16 3 1 吨 答案 A 12 2010 上海名校联考 设a b是正实数 以下不等式 a a b b a2 b2 4ab 3b2 ab 2 恒成立的序号为 ab 2ab a b 2 ab A B C D 解析 a b 2 不恒成立 abab 2ab a b a b是正实数 a b a b 即a a b b 恒成立 a2 4b2 4ab a2 b2 4ab 3b2 不恒成立 ab 2 2 2 恒成立 2 ab ab 2 ab2 答案 D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共计 16 分 把答案填在题中的横线上 13 2010 山东烟台模拟 若数列 an 满足 d n N N d为常数 则称数列 an 为调和数 1 an 1 1 an 列 已知数列为调和数列 且x1 x2 x20 200 则x5 x16 1 xn 解析 由题易知 xn 为等差数列 从而可得x5 x16 20 答案 20 14 2010 广东东莞二模 已知点P x y 满足条件Error k为常数 若z x 3y的最大值为 8 则 k 用心 爱心 专心 7 解析 由题意知k 0 且当z x 3y经过A点时取最大值 由Error 得x y k 3 代入z x 3y得 8 k 得k 6 4 3 答案 6 15 2010 山东经典考题 函数y loga x 3 1 a 0 且a 1 的 图象恒过定点A 若点A在直线mx ny 1 0 上 其中mn 0 则 的 1 m 2 n 最小值为 解析 函数y loga x 3 1 a 0 a 1 的图象恒过定点A 2 1 点A在直线mx ny 1 0 上 2 m 1 n 1 0 即 2m n 1 m n 0 2m n 4 4 2 8 1 m 2 n 1 m 2 n n m 4m n n m 4m n 当且仅当 即n 2m时等号成立 n m 4m n 由 2m n 1 也就是说m n 时等号成立 1 4 1 2 答案 8 16 2010 常州模拟 如图将全体正整数排成一个三角形数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据以上排列规律 数阵中第n n 3 行的从左至右的第 3 个数是 解析 该数阵的第 1 行有 1 个数 第 2 行有 2 个数 第n行有n个数 则前n 1 行共有 1 2 n 1 个数 n n 1 2 前n 1 行的最后一个数是 n2 n 2 故第n行的第 3 个数为 3 n 3 n2 2 n 2 用心 爱心 专心 8 答案 3 n 3 n2 2 n 2 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 已知函数f x x a a为非零常数 x2 3 x a 1 解不等式f x x 2 设x a时 f x 的最小值为 6 求a的值 解析 1 f x x 0 ax 3 x a 当a 0 时 解集为Error 当a 0 时 解集为Error 2 x a时 x a 0 令x a t 则 f x t 2a 2 2a 6 解之得a 1 x2 3 x a t a 2 3 t a2 3 ta2 3 答案 1 当a 0 时 解集为Error 当a 0 时 解集为Error 2 a 1 18 12 分 2010 宁夏银川评估 已知各项均为正数的数列 an 满足a an 1an 2a 0 n N N 且 2n 12n a3 2 是a2 a4的等差中项 1 求数列 an 的通项公式an 2 若bn anlogan Sn b1 b2 bn 1 2 求使Sn n 2n 1 50 成立的正整数n的最小值 解析 1 a an 1an 2a 0 2n 12n an 1 an an 1 2an 0 数列 an 的各项均为正数 an 1 an 0 an 1 2an 0 即an 1 2an n N N 所以数列 an 是以 2 为公比的等比数列 a3 2 是a2 a4的等差中项 a2 a4 2a3 4 2a1 8a1 8a1 4 a1 2 数列 an 的通项公式为an 2n n N N 2 由 1 及bn anlogan 得bn n 2n 1 2 Sn b1 b2 bn Sn 2 2 22 3 23 4 24 n 2n 2Sn 22 2 23 3 24 4 25 n 1 2n n 2n 1 用心 爱心 专心 9 得 Sn 2 22 23 24 25 2n n 2n 1 n 2n 1 1 n 2n 1 2 2 1 2n 1 2 由Sn n 2n 1 50 得 2n 1 2 50 即 2n 1 52 n 5 使Sn n 2n 1 50 成立的正整数n的最小值为 5 答案 1 an 2n n N N 2 5 19 12 分 2010 广东揭阳模拟 甲 乙两公司 2003 年的销售量都为p 设 2003 年为第 1 年 根据市 场分析和预测 甲公司前n年的总销售量为 n2 n 2 乙公司第n年的销售量比前一年的销售量多 p 2 p 2n 1 1 分别求出甲 乙两公司第n年的销售量的表达式 2 根据甲 乙两公司所在地的市场规律 如果某企业的年销售量不足另一公司年销售量的 20 则该公司 将被另一公司兼并 经计算 2012 年之前 不会出现兼并局面 试问 2013 年是否会出现兼并局面 并写出判断 过程 解析 1 设甲公司前n年的总销售量为Sn 第n年的销售量为an 乙公司第n年销售量为bn 则 Sn n2 n 2 p 2 a1 S1 p 当n 2 时 an Sn Sn 1 p n 1 an Error b1 p bn bn 1 n 2 且n N N p 2n 1 bn b1 b2 b1 b3 b2 bn bn 1 及bn bn 1 p 2n 1 bn p p p p p 1 2 1 22 1 2n 1 2 1 2n 1 2 2013 年是第 11 年 则a11 10p b11 p 2 1 210 a11 20 p 2p b11 10 5 故 2013 年会出现乙公司被甲公司兼并 答案 1 an Error bn p 2 1 2n 1 2 会 判断过程略 20 12 分 2010 北京石景山区模拟 已知等差数列 an 中 公差d 0 其前n项和为Sn 且满足 a2a3 45 a1 a4 14 1 求数列 an 的通项公式 用心 爱心 专心 10 2 通过公式bn 构造一个新的数列 bn 若 bn 也是等差数列 求非零常数c Sn n c 3 求f n n N N 的最大值 bn n 25 bn 1 解析 1 数列 an 是等差数列 a2 a3 a1 a4 14 又a2a3 45 Error 或Error 公差d 0 a2 5 a3 9 d a3 a2 4 a1 a2 d 1 an a1 n 1 d 4n 3 2 Sn na1 n n 1 d n 2n n 1 2n2 n 1 2 bn Sn n c 2n2 n n c 数列 bn 是等差数列 2b2 b1 b3 2 解得c c 0 舍去 6 c 2 1 c 1 15 c 3 1 2 bn 2n 2n2 n n 1 2 3 f n 2n n 25 2 n 1 n n2 26n 25 1 n 25 n 26 1 36 即f n 的最大值为 1 36 答案 1 an 4n 3 2 c 3 1 2 1 36 21 12 分 2010 江苏四校联考 数列 an 的通项是关于x的不等式x2 x nx n N N 的解集中整数的个 数 f n 1 an 1 1 an 2 1 an n 1 求数列 an 的通项公式 2 是否存在实数a使不等式f n loga a 1 对一切大于 1 的自然数n都成立 若存在 试确定a 1 12 2 3 的取值范围 否则 说明理由 解析 1 原不等式的解集为 x 0 x n 1 n N N 因此an n 2 假设存在实数a使f n loga a 1 对于一切n 1 的自然数恒成立 1 12 2 3 用心 爱心 专心 11 由于f n 1 an 1 1 an 2 1 an n n 2 1 n 1 1 n 2 1 2n 则f n 1 1 n 2 1 n 3 1 2n 1 2n 1 1 2n 2 两式相减得 f n 1 f n 1 2n 1 1 2n 2 1 n 1 0 1 2n 2 1 2n 2 1 n 1 f n 1 f n f n 当n 2 且n N N 时是增函数 f n 的最小值是f 2 1 2 1 1 2 2 7 12 若假设成立 则有 loga a 1 7 12 1 12 2 3 即 loga a 1 1 Error 解得 1 a 1 5 2 故存在实数a且取值范围是 1 1 5 2 答案 1 an n 2 存在 1 1 5 2 22 14 分 2010 山东青岛模拟 已知等比数列 an 的前n项和为Sn 2 3n k k R R n N N 1 求数列 an 的通项公式和k的值 2 设数列 bn 满足an 4 5 k anbn Tn为数列 bn 的前n项和 试比较 3 16Tn与 4 n 1 bn 1的大小 并证明你的结论 解析 1 由Sn 2 3n k k R R n