【创新设计】2011高中数学二轮复习 考点突破 第一部分 专题三 第二讲 数列求和及数列综合应用 理

用心 爱心 专心1 第二讲第二讲 数列求和及数列综合应用数列求和及数列综合应用 一 选择题 1 若等比数列 an 的前n项和Sn 且S10 18 S20 24 则S40等于 A B C D 80 3 76 3 79 3 82 3 解析 根据分析易知 S10 18 S20 S10 6 S30 S20 2 S40 S30 2 3 S40 故选 A 80 3 答案 A 2 数列 an 的通项公式an 若 an 的前n项和为 24 则n为 1 n n 1 A 25 B 576 C 624 D 625 解析 an 前n项和Sn 1 1 n n 1nn 1223 1 24 故n 624 选 C nn 1n 1 答案 C 3 2010 大连模拟 设Sn为数列 an 的前n项之和 若不等式a a对任何等差数 2n S2n n22 1 列 an 及任何正整数n恒成立 则 的最大值为 A 0 B C D 1 1 5 1 2 解析 a1 0 时 不等式恒成立 当a1 0 时 将an a1 n 1 d a2n a2 1 S2n n2a2 1 Sn na1 代入上式 并化简得 n n 1 d 2 2 5 4 n 1 d a1 6 5 1 5 max 1 5 1 5 答案 B 4 已知数列 an 满足a1 0 an 1 n N N 则a20等于 an 3 3an 1 A 0 B C D 33 3 2 解析 a1 0 an 1 an 3 3an 1 用心 爱心 专心2 a2 a3 a4 0 33 从而知 3 为最小正周期 从而a20 a3 6 2 a2 3 答案 B 5 2009 广东 已知等比数列 an 满足an 0 n 1 2 且a5 a2n 5 22n n 3 则当n 1 时 log2a1 l og2a3 log2a2n 1 A n 1 2 B n2 C n 1 2 D n 2n 1 解析 a5 a2n 5 22n a an 0 2n an 2n log2a1 log2a3 log2a2n 1 log2 a1a3 an 1 log221 3 2n 1 log22n2 n2 故 选 B 答案 B 二 填空题 6 设数列 an 的前n项和为Sn Sn n N N 且a4 54 则a1 a1 3n 1 2 解析 由于Sn n N N 则a4 S4 S3 27a1 且 a1 3n 1 2 a1 81 1 2 a1 27 1 2 a4 54 则a1 2 答案 2 7 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若a5 5a3 则 S9 S5 解析 设等差数列的公差为d 首项为a1 则由a5 5a3知a1 d 9 3 2 S9 S5 9 a1 4d 5 a1 2d 答案 9 8 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若S4 10 S5 15 则a4的最大值为 解析 设等差数列的首项为a1 公差为d 则S4 4a1 6d 10 即 2a1 3d 5 S5 5a1 10d 15 即a1 2d 3 又a4 a1 3d 用心 爱心 专心3 因此求a4的最值可转化为在线性约束条件Error 限制之下的线性目标函数的最值问题 作出可行域如图 可知在当a4 a1 3d 经 过点A 1 1 时有最大值 4 答案 4 9 2009 福建 五位同学围成一圈依序循环报数 规定 第一位同学首次报出的数为 1 第二位同学首次报出的数也为 1 之后每位同学所 报出的数都是前两位同学所报出的数之和 若报出的数为 3 的倍数 则报该数的同学需拍手一次 已知甲同学第一个报数 当五位同学依序循环报到第 100 个数时 甲同学拍手的总 次数为 解析 1 1 2 3 5 8 13 21 该数列被 3 除所得的余数构成的数列为 1 1 2 0 2 2 1 0 所得新数列中每 4 个数出现一个 0 而又有 5 名同学 因而甲同学报的数为 3 的倍 数的间隔为 20 所以甲同学报的数为 3 的倍数的数依次是第16 36 56 76 96 次 共 5 个数 故答案为 5 答案 5 三 解答题 10 2010 济南模拟 已知等比数列 an 的前n项和为Sn k 2n m k 0 且a1 3 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 求数列 bn 的前n项和Tn n an 解 1 方法一 依题意有Error 解得a2 2k a3 4k 公比为q 2 2 k 3 代入 得m 3 a3 a2 a2 3 2k 3 an 3 2n 1 方法二 n 2 时 an Sn Sn 1 2n 1 k 由a1 3 得k 3 an 3 2n 1 又a1 2k m 3 m 3 2 bn Tn n an n 3 2n 1 1 3 1 2 2 3 22 n 2n 1 Tn 1 2 1 3 1 2 2 22 n 1 2n 1 n 2n 得Tn 1 2 1 3 1 1 2 2 22 1 2n 1 n 2n 用心 爱心 专心4 Tn 2 3 1 1 1 2n 1 1 2 n 2n 4 3 1 1 2n n 2n 1 11 2010 浙江五校联考 已知数列 an 的前n项和是Sn 且Sn an 1 1 2 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn log3 1 Sn 1 求适合方程 的n的值 1 b1b2 1 b2b3 1 bnbn 1 25 51 解 当n 1 时 a1 S1 由S1 a1 1 得a1 1 2 2 3 当n 2 时 Sn 1 an Sn 1 1 an 1 1 2 1 2 Sn Sn 1 an 1 an 即an an 1 an an an 1 1 2 1 2 1 3 an 是以 为首项 为公比的等比数列 2 3 1 3 故an n 1 2 n 2 3 1 3 1 3 2 1 Sn an n bn log3 1 Sn 1 1 2 1 3 log3 n 1 n 1 1 3 1 bnbn 1 1 n 1 n 2 1 n 1 1 n 2 1 b1b2 1 b2b3 1 bnbn 1 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 1 n 2 1 2 1 n 2 解方程 得n 100 1 2 1 n 2 25 51 12 已知函数f x x 1 设数列 an 满足a1 1 an 1 f an 数列 bn 满足 x 3 x 1 bn an Sn b1 b2 bn n N N 3 1 用数学归纳法证明 bn 3 1 n 2n 1 2 证明 Sn1 2 x 1 因为a1 1 所以an 1 n N N 用心 爱心 专心5 下面用数学归纳法证明不等式bn 3 1 n 2n 1 当n 1 时 b1 1 不等式成立 3 假设当n k时 不等式成立 即bk 那么bk 1 ak 1 3 1 k 2k 13 bk 3 1 ak 3 1 ak 3 1 2 3 1 k 1 2k 所以 当n k 1 时