【龙门亮剑】2011高三数学一轮理数 第九章 第七节 多面体、球(课时提能精练) 全国版

专心 爱心 用心1 本栏目内容 学生用书中以活页形式单独装订成册 一 选择题 每小题 6 分 共 36 分 1 2010 年南充模拟 已知球面上的三个点 A B C 且 AB 6 BC 8 AC 10 球半径 R 15 则球心到平面 ABC 的距离是 A 10 B 10 2 C 15 D 15 2 解析 由题意截面圆的半径为 5 球心到截面距离 d 10 152 522 答案 B 2 2008 年江西 连结球面上两点的线段称为球的弦 半径为 4 的球的两条弦 AB CD 的长度分别等于 2 4 M N 分别为 AB CD 的中点 每条弦的两端都在球面上运动 73 有下列四个命题 弦 AB CD 可能相交于点 M 弦 AB CD 可能相交于点 N MN 的最大值为 5 MN 的最小值为 1 其中真命题的个数为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 解析 当 AB CD 相交时 是一个球的一个截面圆的两条弦 由 AB CD 28 得 是真命题 是假命题 当以 AB CD 为直径的两个小圆所在平面互相平行且在球 48 心 O 的两侧时 MN 最大 此时 M O N 三点共线 OM 3 ON 42 r 7 2 2 故 MN 的最大值为 5 当以 AB CD 为直径的两个小圆所在平面互相平行 42 2 r 3 2 且在球心 O 的同侧时 MN 最小 故 MN 的最小值为 1 是真命题 故选 C 答案 C 3 2008 年湖北 用与球心距离为 1 的平面去截球 所得的截面面积为 则球的体积 为 A B 8 3 8 2 3 C 8 D 2 32 3 解析 S圆 r2 1 r 1 而截面圆圆心与球心的距离 d 1 球的半径为 R r2 d22 V R3 故选 B 4 3 8 2 3 答案 B 4 2008 年湖南 长方体 ABCD A1B1C1D1的 8 个顶点在同一个球面上 且 AB 2 AD AA1 1 则顶点 A B 间的球面距离是 3 A 2 B 22 C D 2 2 2 4 解析 记长方体的外接球球心为 O 半径为 R 连结 OA OB 则有 2R 2 22 3 2 12 8 R2 2 OA2 OB2 2 在 AOB 中 OA2 OB2 AB2 4 AOB 因此 顶点 2 A B 间的球面距离等于 选 C 22 2 2 答案 C 专心 爱心 用心2 5 已知三棱锥 S ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上 球心 O 在 AB 上 SO 底面 ABC AC r 则球的体积与三棱锥体积之比是 2 A B 2 C 3 D 4 解析 SO 底面 ABC SO 为三棱锥的高线 SO r 又 O 在 AB 上 AB 2r AC r 2 ACB 90 BC r 2 VS ABC r r r r3 1 3 1 222 1 3 又 球的体积 V r3 4 3 4 V VS ABC 4 3 r3 1 3r3 答案 D 6 球的直径为 d 体积为 V球 一正方体的棱长为 a 体积为 V正 若它们的表面积 相同 则有 A d a V球 V正 B d a V球 V正 C d a V球 V正 D d a V球 V正 解析 由于球的体积为 R3 V球 表面积为 4 R2 因直径为 d 故表面积为 d2 4 3 而正方体的表面积为 6a2 d2 d a 从而正方体的体积为 a3 d3 6 6 而 V球 3 d3 4 3 d 2 6 1 V球 V正 6 答案 A 二 填空题 每小题 6 分 共 18 分 7 在半径为 R 的球内有一内接正三棱锥 它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上 一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动 经过其余三点后返回 则经过的最短路程 是 解析 沿球面距离运动其路程最短 2 SAABBCCSSAAB 2 R 2R 2 3 R 7 3 专心 爱心 用心3 答案 R 7 3 8 2008 年浙江 如图所示 已知球 O 的面上四点 A B C D DA 平面 ABC AB BC DA AB BC 则球 O 3 的体积等于 解析 将四面体补成一个球的内接正方体 由题意可得 DC 为 正方体的体对角线 即球 O 的直径 则 4R2 3 3 3 9 可得 R2 R 故 V 3 9 4 3 2 4 3 3 2 9 2 答案 9 2 9 球面上有三个点 其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 经过这三点的小 1 6 圆周长为 4 那么这个球的半径为 解析 如图所示 O 为球心 设球面上 A B C 三点任意两点的球面距离都等于大 圆周长的 则 AOB BOC COA 1 6 3 四面体 O ABC 是正四面体 经过 A B C 三点的小圆周长为 4 小圆的圆心为 O1 小圆半径 O1A 2 又 O1A AB AB 3 2 4 3 4 3 3 球的半径为 4 3 3 答案 4 3 3 三 解答题 10 11 每题 15 分 12 题 16 分 共 46 分 10 球面上三点 A B C 组成这个球的一个截面的内接三角 形 AB 18 BC 24 AC 30 且球心到该截面的距离为球半径的一 半 1 求球的体积 2 求 A C 两点的球面距离 解析 1 AB2 BC2 AC2 过 A B C 三点的截面圆的半径为 15 设球的半径为 R 根据题意 R2 2 152 R2 152 R 2 3 4 R2 300 R 10 3 V球 R3 10 3 4 000 4 3 4 333 2 由 1 可知 AOC 120 A C 两点的球面距离为 2 R 10 1 3 2 33 20 3 3 专心 爱心 用心4 11 如图所示 球 O 的截面 BCD 把球的直径分成 1 3 的两部分 BC 是截面圆的直径 D 为圆周上的一点 CA 是球 O 的直径 若 D 分 为 1 2 求 AC 与 BD 所成角的余弦值 BCBDDC 解析 在 BCD 内作 CE BD 交圆面于 E 点 连结 BE AE 则 AC 与 CE 所成角为 AC 与 BD 所成角 BC 为小圆的直径 CE BD 设小圆面圆心为 O1 球半径为 R 面 BCD 将球 O 的直径分成 1 3 OO1 R BC R 1 2 3 2 又 D 分成为 1 2 BCBDDC BD R 又 AB 2OO1 R 3 4 在 Rt ACE 中 AE 2R CE R cos ACE 3 4 3 8 即 AC 与 BD 所成角的余弦值为 3 8 12 正三棱锥 A BCD 的高为 1 底面边长为 2 内有一个球 O 与四个面都相切 6 求棱锥的全面积和球的表面积 解析 方法一 过侧棱 AB 与球心 O 作截面 如图 在正三棱锥中 BE 是底面正三 角形的高 O1是底面正三角形的中心 且 AE 为斜高 因为底面边长为 2 6 O1E 且 AE 23 S棱锥全 3 2 2 2 1 263 3 46 9 6 23 作 OF AE 于 F 设内切球半径为 r 则 OF r AO 1 r Rt AFO Rt AO1E FO O1E AO AE r 2 1 r 3 r 2 S球 8 5 2 66 方法二 在 Rt AO1E 中 设 E 则 sin 3 3 cos 6 3 tan 2 2 连结 OE 在 Rt OO1E 中 OO1